Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

Ponto limite

Em matemática, um ponto limite ou ponto de acumulação é um ponto em um conjunto que pode ser aproximado tão bem quanto se queira por infinitos outros pontos do conjunto.

Por definição, todo ponto de acumulação é um ponto de fecho.

Definição formal

Seja um espaço topológico, um ponto é dito ser um ponto limite de um subconjunto de se toda vizinhança de intercepta o subconjunto por um ponto de , ou seja:
  • Em um espaço métrico, esta definição é equivalente a dizer que existe uma seqüência de pontos diferentes de convergindo para
  • Utiliza-se a notação para representar o conjunto dos pontos de acumulação de . Às vezes, este conjunto é chamado o derivado de .[1]

Definição no conjunto dos números reais (R)

A definição de ponto de acumulação no conjunto dos números reais é um caso especial da definição para espaço topológico porque no R estamos lidando com uma reta (uma dimensão), e não com um espaço com várias dimensões. Por isso, a "vizinhança" do ponto só pode estar à direita ou à esquerda deste ponto, e não acima ou abaixo, por exemplo, como poderia acontecer em espaços com duas dimensões.

Considere um conjunto X contido em R (, ou seja, X é um subconjunto de R, podendo ser inclusive o próprio R). Um número "a" pertencente a R chama-se ponto de acumulação do conjunto X quando todo intervalo aberto de centro a contém algum ponto x pertencente a X diferente de "a".[1] Simplificadamente, a é um ponto de acumulação de um conjunto quanto toda vizinhança de "a" contém algum elemento (diferente de a) que pertença a X. Se X for igual a R (ou seja, o conjunto considerado é a reta inteira dos números reais), então todo elemento de X=R é ponto de acumulação, pois toda vizinhança de qualquer elemento de X=R contém uma infinidade de elementos de X=R.

Teorema

Dados e , as seguintes afirmações são equivalentes:[1]

1) (O ponto é ponto de acumulação de ).

2), onde é uma sequência de elementos de X, dois a dois distintos.

3)Todo intervalo aberto contendo possui uma infinidade de elementos de .

Fatos

  • Um ponto de acumulação de um conjunto pode ou não pertencer a esse conjunto. Por exemplo, 2 é ponto de acumulação do intervalo (0, 2), embora não pertença a este intervalo, que é aberto.
  • Como o ponto de acumulação pressupõe uma vizinhança, nenhum ponto isolado de um conjunto é ponto de acumulação, pois não tem vizinhança e portanto é impossível encontrar pontos do conjunto X nela.[2]
  • Se então X é infinito.[3]
  • X é um conjunto fechado se, e somente se, (lê-se: se o derivado está contido, é uma parte do conjunto X).[4]

Ver também

Referências

  1. ↑ a b c LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 175. ISBN 9788524401183
  2. ↑ LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 177. ISBN 9788524401183
  3. ↑ LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 176. ISBN 9788524401183
  4. ↑ LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edição, 2004. Página 177. ISBN 9788524401183
  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. (2005). Análise matemática para licenciatura. São Paulo. Edgard Blücher. ISBN 8521203713

Read other articles:

2019 All-Ireland Senior Ladies' Football Championship final

Gaelic football match Football match2019 All-Ireland Senior Ladies' Football FinalEvent2019 All-Ireland Senior Ladies' Football Championship Dublin Galway 2-3 0-4 Dublin complete a three-in-a-row, winning their fourth title during the 2010s.Date15 September 2019VenueCroke Park, DublinPlayer of the MatchLyndsey Davey[1][2][3][4]RefereeBrendan Rice (Down)Attendance56,114 [5][6]Weather12 °C, heavy rain← 2018 2020 → The 2019 All-Ireland...

 

新潟県道7号新津村松線

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）出典検索?: 新潟県道7号新津村松線 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2012年12月） 主要地方道 新潟県道7号 新津村松...

 

Persaingan (ekonomi)

Industri penerbangan adalah contoh persaingan yang menyebabkan bertambahnya pilihan dan turunnya harga. Dalam ekonomi, persaingan atau kompetisi adalah bersaingnya para penjual yang sama-sama berusaha mendapatkan keuntungan, pangsa pasar, dan jumlah penjualan. Para penjual biasanya berusaha mengungguli persaingan dengan membedakan harga, produk, distribusi dan promosi. Menurut Adam Smith dalam The Wealth of Nations (1776), persaingan akan mendorong alokasi faktor produksi ke arah penggunaan y...

كاترين كينغ

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2019) كاترين كينغ معلومات شخصية اسم الولادة (بالإنجليزية: Catherine Helen Murdoch)‏  الميلاد 20 ديسمبر 1904  الوفاة 2 يناير 2000 (95 سنة)   مواطنة أستراليا  الحياة العملية �...

 

Радіоастрономічна обсерваторія Хартбістхук

Радіоастрономічна обсерваторія Хартбістхук Дата створення / заснування 1961[1] Країна  ПАР Адміністративна одиниця Крюгерсдорп Місце розташування Гаутенг Оператор National Research Foundationd Дата офіційного відкриття 1961 Офіційний сайт  Радіоастрономічна обсерваторія Ха

 

Universities in the United Kingdom

British Universities redirects here. For the cricket team of this name, see British Universities cricket team. Trinity College, Cambridge Universities in the United Kingdom have generally been instituted by royal charter, papal bull, Act of Parliament, or an instrument of government under the Further and Higher Education Act 1992 or the Higher Education and Research Act 2017. Degree awarding powers and the 'university' title are protected by law,[1] although the precise arrangements f...

المرتضى الشهرزوري

عبد الله بن القاسم بن المظفر معلومات شخصية الميلاد شعبان 465هـأبريل 1073مالموصل، العراق الوفاة ربيع الأول 511هـيوليو 1117مالموصل، العراق مواطنة  الدولة العباسية الحياة العملية الفترة العصر العباسي النوع أدب عربي تقليدي الحركة الأدبية الأدب في العصر العباسي الثاني (تجزؤ الخ�...

 

How Long (Betcha' Got a Chick on the Side)

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: How Long Betcha' Got a Chick on the Side – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2021) 1975 single by the Pointer SistersHow Long (Betcha' Got a Chick on the Side)Single by the Pointer Sistersfrom the album Steppin' B-sideEasy DaysR...

 

St Lawrence Parish Church, Hunworth

St Lawrence Parish Church is a Grade II* listed building in the village of Hunworth in Norfolk, England. The church is dedicated to Saint Lawrence who was martyred in 258 AD. History The exact date of the construction of the church is not known but the style of the aisle-less nave which is the oldest part of the current building, is early Norman and dates it to the 11th century. The church is constructed in flint work and the external south wall which also dates from the Norman period is typi...

العلاقات المغربية اللوكسمبورغية

العلاقات المغربية اللوكسمبورغية المغرب لوكسمبورغ   المغرب   لوكسمبورغ تعديل مصدري - تعديل   العلاقات المغربية اللوكسمبورغية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين المغرب ولوكسمبورغ.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولت...

 

Porong, Sidoarjo

PorongKecamatanNegara IndonesiaProvinsiJawa TimurKabupatenSidoarjoPemerintahan • CamatMulyadiPopulasi • Total63,345 jiwa (Des. 2.005) jiwaKode Kemendagri35.15.04 Kode BPS3515040 Desa/kelurahan13 / 6 Porong adalah sebuah kecamatan di Kabupaten Sidoarjo, Provinsi Jawa Timur, Indonesia. Porong terletak sekitar 12 kilometer di sebelah selatan pusat kota Sidoarjo. Kecamatan ini berbatasan dengan Kecamatan Krembung di sebelah barat, Kabupaten Pasuruan di selatan, Kecama...

 

Gempa bumi Samudra Hindia 2016

Gempa bumi Samudra Hindia 2016ShakeMap gempa bumi Samudra Hindia 2016 dari USGS.Waktu UTC??ISCUSGS-ANSSTanggal *2 Maret 2016 (2016-03-02)Waktu awal *19.49.46 WIBTanggal setempatWaktu setempatKekuatan7,8 Mw[1]Kedalaman10 km (6,2 mi)Episentrum4°54′30″S 94°16′30″E / 4.9082°S 94.275°E / -4.9082; 94.275Koordinat: 4°54′30″S 94°16′30″E / 4.9082°S 94.275°E / -4.9082; 94.275Korb...

ديك قاي

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (فبراير 2019) ديك قاي معلومات شخصية الميلاد 4 أبريل 1937  سيدني  تاريخ الوفاة سنة 2018  الجنسية أستراليا  الحياة العملية الفرق فريق جنوب ويلز الجديد للكريكت  [ل...

 

Geneva Protocol

Treaty prohibiting the use of chemical and biological weapons in international armed conflicts For other uses, see Geneva Protocol (disambiguation). Geneva Protocols redirects here. Not to be confused with Geneva Conventions. Geneva ProtocolProtocol for the Prohibition of the Use in War of Asphyxiating, Poisonous or other Gases, and of Bacteriological Methods of WarfareDrafted17 June 1925[1]Signed17 June 1925[1]LocationGeneva[1]Effective8 February 1928[1]Condit...

 

Transjakarta Corridor 6

Bus rapid transit route in Indonesia Transjakarta Corridor 6Ragunan – Dukuh Atas 2The Kuningan Timur BRT station is one of the stations that serves corridor 6OverviewSystemTransJakartaOperator PT. Transportasi Jakarta (TJ, infrastructures, fleets, drivers, and officers) Mayasari Bakti (MB/MYS, fleets and drivers) Steady Safe (SAF, fleets and drivers) Bianglala Metropolitan (BMP, fleets and drivers) Perum DAMRI (DMR, fleets and drivers) Began serviceJanuary 27, 2007RouteRoute typeStreet-leve...

Pandemi Covid-19 di Belanda

Artikel ini mendokumentasikan suatu wabah penyakit terkini. Informasi mengenai hal itu dapat berubah dengan cepat jika informasi lebih lanjut tersedia; laporan berita dan sumber-sumber primer lainnya mungkin tidak bisa diandalkan. Pembaruan terakhir untuk artikel ini mungkin tidak mencerminkan informasi terkini mengenai wabah penyakit ini untuk semua bidang. Artikel ini memerlukan pemutakhiran informasi. Harap perbarui artikel dengan menambahkan informasi terbaru yang tersedia. Pembaruan tera...

 

Magic Fly (video game)

1990 video game 1990 video gameMagic FlyDeveloper(s)Electronic ArtsPublisher(s)Electronic ArtsPlatform(s)Amiga, Atari STRelease1990 Magic Fly is video game for the Amiga and Atari ST published by Electronic Arts in 1990. Gameplay Magic Fly is a game in which the player pilots a ship into the interior of an asteroid.[1] Reception Allen L. Greenberg reviewed the game for Computer Gaming World, and stated that Magic Fly is a welcome addition to the small group of science-fiction combat/f...

 

Raden Adipati Surya

Kontributor utama artikel ini tampaknya memiliki hubungan dekat dengan subjek. Artikel ini mungkin memerlukan perapian untuk mematuhi kebijakan konten Wikipedia, terutama dalam hal sudut pandang netral. Silakan dibahas lebih lanjut di halaman pembicaraan artikel ini.Artikel ini kemungkinan ditulis dari sudut pandang penggemar dan bukan sudut pandang netral. Mohon rapikan untuk menghasilkan standar kualitas yang lebih tinggi dan untuk membuat pemakaian nada yang netral. (Pelajari cara dan kapa...

6th SS Mountain Division

6th SS Mountain Division Nord6. SS-Gebirgs-Division NordLambang divisi (Hagall rune)AktifSeptember 1941 – May 1945Negara Nazi GermanyCabang Waffen-SSTipe unitGebirgsjägerPeranPerang gunungJumlah personelDivisiTokohTokoh berjasaMatthias KleinheisterkampLothar DebesDivisi Gunung SS ke-6 Nord ( bahasa Jerman : 6. SS-Gebirgs-Division Nord) [1] adalah sebuah unit Jerman dari Waffen-SS selama Perang Dunia II, dibentuk pada Februari 1941 sebagai SS Kampfgruppe Nord (Pertempuran ...

 

Miranova proga A

Miranova proga A full slope in snow (right sleeve from top to valley) Place: Maribor, Slovenia Mountain: Pohorje Member: Club5+ Opened: January 1978 Competition: Golden Fox Giant slalom Start: 740 m (2,428 ft) (AA) Finish: 340 m (1,115 ft) Vertical drop: 400 m (1,312 ft) Most wins: Anja Pärson (2x) Martina Ertl (2x) Tina Maze (2x)    Sonja Nef (2x) Slalom Start: 540 m (1,772 ft) (AA) Finish: 340 m (1,115 ft) Vertical drop: 200 ...

 
Kembali kehalaman sebelumnya