Princípio diamante

Em matemática, e particularmente na teoria axiomática dos conjuntos, o princípio diamante (◊) é um princípio combinatório introduzido por Björn Jensen (1972) que é verdadeiro no universo construível^[1] ^[2] e que implica a hipótese do continuum.^[3]

Jensen extraiu o princípio de diamante de sua prova de que V = L implica a existência de uma árvore de Suslin^{[nota 1]} ^[4] ^[5].

Definição

O princípio diamante ◊ (ouro) diz que existe uma seqüência-◊, em outras palavras, conjuntos de A_α⊆α para α<ω₁ tal que para qualquer subconjunto A de ω₁ o conjunto de α com A∩α = A_α é estacionário em ω₁.

Mais geralmente, para um determinado número cardinal $\kappa$ e um conjunto estacionário^{[nota 2]} $S\subseteq \kappa$ , a declaração ◊_S (por vezes escrita como ◊ (S) ou ◊_κ(S)) é a afirmação de que há uma seqüência $\langle A_{\alpha }:\alpha \in S\rangle$ de tal forma que:

cada $A_{\alpha }\subseteq \alpha$
para cada $A\subseteq \kappa ,\{\alpha \in S:A\cap \alpha =A_{\alpha }\}$ é fixo em $\kappa$

O princípio ◊_ω₁ é o mesmo que ◊.

Propriedades e utilização

Jensen demonstrou que o princípio diamante ◊ implica a existência de árvores Suslin. Ele também mostrou que ◊ implica a HC. Também ♣ + HC implica ◊, mas Saharon Shelah deu modelos de ♣ + ¬ HC, deste modo ◊ (naipe ouro) e ♣ (naipe paus) não são equivalentes (sim, ♣ é mais fraco que ◊).^{[nota 3]} ^[6]

Akemann & Weaver^[7] utilizaram ◊ para construir uma C^*-algebra servindo como um contra-exemplo para o problema de Mark Aronovich Naimark.^{[nota 4]}

Teoria dos conjuntos combinatória

Teoria dos conjuntos combinatória preocupa-se com extensões da combinatória finita para conjuntos infinitos. Isto inclui o estudo da aritmética de cardinais e o estudo de extensões do teorema de Ramsey tais como o teorema de Erdos-Rado.

Teoria descritiva dos conjuntos

Ver também

Notas

↑ Uma árvore Suslin é uma árvore de altura ω1 de tal forma que cada ramo e cada de anti-corrente é no máximo enumerável. (Uma anti-corrente é um conjunto de elementos tais que quaisquer dois são incomparáveis.). Toda árvore de Suslin é uma árvore Aronszajn.
↑ conjunto estacionário ou fixo é um número cardinal de inúmeras co-finalidades , $S\subseteq \kappa \,,$ and $S\,$ cruza com cada clube definido em $\kappa \,,$ e depois em w $S\,$ é chamado de "conjunto estacionário" a.
↑ ♣_S (naipe paus) é uma família de princípios combinatórios que são mais fracos versões do correspondente ◊_S (naipe ouro), que foi introduzida em 1975 por Ostaszewski.
↑ O problema de Naimark é uma questão em análise funcional. Ele pergunta se todos os C*-álgebra que tem apenas uma representação irredutível até uma equivalência unitária é isomorfo a álgebra de operadores compactos em algum espaço de Hilbert.

Referências

↑ HISTÓRIA DA FÍSICA E CIÊNCIAS AFINS SEÇÃO ESPECIAL: HOMENAGEM A KURT GÖDEL (1906-1978) por Sílvio R. Dahmen publicado na Revista Brasileira de Ensino de Física - Rev. Bras. Ensino Fís. vol.28 no.4 São Paulo (2006) [[1]]
↑ Kurt Gödel: A sua influência na Informática (tal como a conhecemos)por Luís Caires, Universidade Nova de Lisboa (2006)[2]
↑ KURT GÖDEL Constructor de Universos por Miguel Monsalve G. & José Alexander Vargas M. (2009) [[3]]
↑ Assaf Rinot, Jensen's diamond principle and its relatives, online
↑ The failure of diamond on a reflecting stationary set por Moti Gitik e Assaf Rinot (2011) [[4]]
↑ A. J. Ostaszewski, Em contavelmente compactos espaço perfeitamente normal, Jornal da Sociedade Matemática de Londres, 1975 (2) 14, pp. 505-516.
↑ Akemann, Charles e Weaver, Nik - Consistency of a counterexample to Naimark's problem (2004) no jornal cientifico Proceedings of the National Academy of Sciences, no volume 101, revista 20, paginas 7522–7525