Gráfico tridimensional do valor absoluto da função gama complexa Em análise complexa , o resíduo de uma função analítica f numa singularidade p é um número complexo que permite calcular o valor de um integral de linha de f cuja imagem esteja na vizinhança de p . Há métodos simples de cálculo de resíduos e, por outro lado, o conhecimento dos resíduos de f permite calcular integrais de f ao longo de lacetes arbitrários, através do teorema dos resíduos .
Como exemplo, considere a integral de contorno
∮ ∮ -->
C
e
z
z
5
d
z
{\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}
onde C é uma curva de Jordan em torno de 0.
Agora calculamos essa integral utilizando os teoremas padrões de integral disponíveis. Assim, a série de Taylor para e z
∮ ∮ -->
C
1
z
5
(
1
+
z
+
z
2
2
!
+
z
3
3
!
+
z
4
4
!
+
z
5
5
!
+
z
6
6
!
+
⋯ ⋯ -->
)
d
z
.
{\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}
Trazendo o termo 1/z 5 para dentro da série, obtemos
∮ ∮ -->
C
(
1
z
5
+
z
z
5
+
z
2
2
!
z
5
+
z
3
3
!
z
5
+
z
4
4
!
z
5
+
z
5
5
!
z
5
+
z
6
6
!
z
5
+
⋯ ⋯ -->
)
d
z
=
{\displaystyle \oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz=}
∮ ∮ -->
C
(
1
z
5
+
1
z
4
+
1
2
!
z
3
+
1
3
!
z
2
+
1
4
!
z
+
1
5
!
+
z
6
!
+
⋯ ⋯ -->
)
d
z
.
{\displaystyle \oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}
A integral agora toma uma forma muito mais simples. Lembre-se que
∮ ∮ -->
C
1
z
a
d
z
=
0
,
a
∈ ∈ -->
Z
,
para
a
≠ ≠ -->
1.
{\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{a}}\,dz=0,\quad a\in \mathbb {Z} ,{\mbox{ para }}a\neq 1.}
Então, a integral em torno de C de todos os termos que não estão na forma cz −1 são iguais a zero e a integral é reduzida a
∮ ∮ -->
C
1
4
!
z
d
z
=
1
4
!
∮ ∮ -->
C
1
z
d
z
=
1
4
!
(
2
π π -->
i
)
=
π π -->
i
12
.
{\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}
O valor 1/4! é conhecido como o resíduo de e z z 5 em z = 0, e denotado como
R
e
s
(
f
,
0
)
,
o
u
R
e
s
0
e
z
z
5
o
u
R
e
s
z
=
0
e
z
z
5
,
.
{\displaystyle \mathrm {Res} (f,0),\mathrm {ou} \ \mathrm {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}}\mathrm {ou} \ \mathrm {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},.}
Seja
Ω Ω -->
{\displaystyle \Omega }
subconjunto aberto do plano complexo
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
z
0
{\displaystyle z_{0}}
Ω Ω -->
{\displaystyle \Omega }
f
:
Ω Ω -->
∖ ∖ -->
{
z
0
}
→ → -->
C
{\displaystyle f:\Omega \setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} }
uma função holomorfa , que apresenta em
z
0
{\displaystyle z_{0}}
singularidade isolada e possui uma única expansão local na série de Laurent
f
(
z
)
=
∑ ∑ -->
n
=
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
a
n
(
z
− − -->
z
0
)
n
.
{\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}.}
O resíduo de
f
{\displaystyle f}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
a
− − -->
1
{\displaystyle a_{-1}}
Bibliografia
L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.
Ruel V. Churchill, Complex variables and applications, McGrall Hill, 1960
