Teorema de Lindelöf

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Na matemática, o teorema de Lindelöf é um resultado da análise complexa, do matemático finlandês Ernst Leonard Lindelöf. Onde ele afirma que uma função holomorfa na meia-tira, no plano complexo que é delimitada no limite da fita, e não cresce "muito rápido" na direção ilimitada, deve permanecer limitada em toda a fita. O resultado é útil no estudo da função zeta de Riemann, e é um caso especial do Princípio de Phragmén–Lindelöf.

Deixe Ω ser um meia-tira no plano complexo:

${\displaystyle \Omega =\{z\in \mathbb {C} |x_{1}\leq \mathrm {Re} (z)\leq x_{2}{\text{ and }}\mathrm {Im} (z)\geq y_{0}\}\subsetneq \mathbb {C} .\,}$

Suponha que ƒ seja uma  função holomorfa (i.e. analítico) em Ω e que existem constantes M, A e B tais que

${\displaystyle |f(z)|\leq M{\text{ for all }}z\in \partial \Omega \,}$

e

${\displaystyle {\frac {|f(x+iy)|}{y^{A}}}\leq B{\text{ for all }}x+iy\in \Omega .\,}$

Então f é limitada por M em todos Ω:

${\displaystyle |f(z)|\leq M{\text{ for all }}z\in \Omega .\,}$

Fixar um ponto ${\displaystyle \xi =\sigma +i\tau }$ no interior de ${\displaystyle \Omega }$. Escolha ${\displaystyle \lambda >-y_{0}}$, um número inteiro ${\displaystyle N>A}$ e ${\displaystyle y_{1}>\tau }$ grande o suficiente tal que ${\displaystyle {\frac {By_{1}^{A}}{(y_{1}+\lambda )^{N}}}\leq {\frac {M}{(y_{0}+\lambda )^{N}}}}$. Aplicando o princípio do módulo máximo para a função ${\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{(z+i\lambda )^{N}}}}$ e a área retangular que ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |x_{1}\leq \mathrm {Re} (z)\leq x_{2}{\text{ and }}y_{0}\leq \mathrm {Im} (z)\leq y_{1}\}}$ onde podemos obter ${\displaystyle |g(\xi )|\leq {\frac {M}{(y_{0}+\lambda )^{N}}}}$, isto é, ${\displaystyle |f(\xi )|\leq M\left({\frac {|\xi +\lambda |}{y_{0}+\lambda }}\right)^{N}}$. Deixando ${\displaystyle \lambda \rightarrow +\infty }$ rendimentos ${\displaystyle |f(\xi )|\leq M}$ conforme necessário.

• Harold Edwards (2001). Riemann's Zeta Function. New York, NY: Dover. ISBN 0-486-41740-9