Álgebra linear

Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes.

História

Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a eliminação gaussiana, citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O método dos mínimos quadrados, usado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.

O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da álgebra abstrata. Matrizes e tensores foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na relatividade geral, estatística e mecânica quântica fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.

Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis. Uma equação linear nas incógnitas x₁,x₂,...,x_n é uma equação que pode se colocada na forma de equação abaixo:

a na seguinte forma padrão.

a₁x₁+ a₂x₂+ ... + a_nx_n= b

Dizemos que a constante a_k é o coeficiente de x_k e b é o termo constante da equação.^[1]

Geometria analítica

A geometria analítica, também pode ser chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.

Espaços vetoriais

Espaços vetoriais são um tema central na matemática moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em álgebra abstrata e análise funcional. A álgebra linear também tem sua representação concreta em geometria analítica.

Transformação linear

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Teoremas fundamentais

Teorema do Núcleo e da Imagem
Teorema Espectral
Teorema dos Valores Singulares
Teorema de Cayley-Hamilton
Todo espaço vetorial possui uma base.^[2]
Quaisquer duas bases do espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.^[3]
Uma matriz quadrada é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero.^[4]
A matriz é inversível se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um isomorfismo.

Aplicações

Referências

↑ Silva, Wahl (2020). O essencial da álgebra linear. Brasil: Editora S.L.W. p. 28. 30 páginas
↑ The existence of a basis is straightforward for finitely generated vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.
↑ Dimension theorem for vector spaces
↑ «Cópia arquivada». Consultado em 10 de fevereiro de 2010. Arquivado do original em 30 de janeiro de 2010