Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

Axioma paralelelor

Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă.
Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.

Axioma paralelelor a fost enunțată în antichitate de către gânditorul Euclid, în cartea sa Elementele, fiind cea de-a cincea și ultima axiomă dată de autor la începutul lucrării. Importanța ei probabil că era evidentă și pentru Euclid, pentru că primele 28 de propoziții pe care le prezintă pot fi demonstrate și fără ea. Astăzi, geometria care nu respectă axiomele lui Euclid se numește „neeuclidiană”, iar cea care nu respectă axioma paralelelor (dar le respectă pe celelalte) se numește „absolută”. Consecințe ale acestei axiome sunt congruența laturilor și unghiurilor opuse într-un paralelogram.

Încercările de demonstrare a acestei axiome erau criticate de Aristotel. De-a lungul a 2000 de ani încercările de a demonstra acest rezultat au dus la un pas foarte mare în înțelegerea caracteristicilor matematicii ca sistem deductiv.

Enunț

Două drepte tăiate de o secantă se întâlnesc de acea parte a secantei pentru care suma unghiurilor interne de aceeași parte a secantei e mai mică decât suma a două unghiuri drepte.

Alte enunțuri echivalente

Anumite proprietăți ale geometriei plane sunt echivalente cu această axiomă, adică pot fi demonstrate într-un sistem în care ea este valabilă, iar dacă una dintre aceste proprietăți este presupusă ca axiomă a unui sistem, atunci în acel sistem este valabilă axioma lui Euclid.

Cea mai cunoscută axiomă echivalentă este a lui John Playfair:

Printr-un punct exterior unei drepte trece exact o paralelă la dreapta dată.

Este posibil ca Euclid să nu fi ales această exprimare pentru că nu specifică și cum se construiește dreapta paralelă cu cea dată, ori la grecii antici un obiect (geometric) nu putea să existe dacă nu se cunoștea o metodă de a-l construi.

Iată unele dintre exprimările echivalente axiomei lui Euclid:

  1. Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.
  2. Există un triunghi a cărui sumă a unghiurilor este 180°.
  3. Suma unghiurilor oricărui triunghi este aceeași.
  4. Există o pereche de triunghiuri asemenea, dar care nu sunt congruente.
  5. Orice triunghi poate fi circumscris.
  6. Dacă trei unghiuri ale unui patrulater sunt drepte, al patrulea este de asemenea drept.
  7. Există un patrulater cu toate unghiurile drepte.
  8. Există o pereche de drepte care sunt la distanță constantă.
  9. Două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele.
  10. Oricare ar fi două drepte paralele, o dreaptă care intersectează una dintre ele o intersectează și pe a doua.
  11. Într-un triunghi dreptunghic suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (Teorema lui Pitagora).
  12. Nu există o limită superioară pentru aria unui triunghi.[1]

Aceste enunțuri par evidente, și multe așa-zise demonstrații ale axiomei lui Euclid le-au folosit (în mod eronat). Totuși, acelea care folosesc conceptul de paralelism nu mai sunt atât de evidente dacă se face diferența între cele trei definiții folosite în mod obișnuit pentru paralelism: distanță constantă, lipsa unui punct de intersecție sau unghiuri egale la intersecția cu o a treia dreaptă - de fapt chiar echivalența acestor afirmații este un sinonim pentru axioma lui Euclid.

Note

  1. ^ Euclid's Fifth Postulate

Read other articles:

1927–28 New South Wales rugby union tour of the British Isles, France and Canada

1927–28 New South Wales rugby union tour of the British Isles, France and CanadaTour captain(s)Johnnie WallaceSummaryP W D L Total37 31 01 05Test match05 03 00 02OpponentP W D L  Ireland1 1 0 0 Wales1 1 0 0 Scotland1 0 0 1 England1 0 0 1 France1 1 0 0 Between July 1927 and March 1928 the New South Wales Waratahs, the top Australian representative rugby union side of the time, conducted a world tour encompassing Ceylon, Britain, France and Canada on which they played...

 

Saeco

Italian manufacturer For the road bicycle racing team, see Saeco (cycling team). SaecoTypePrivateIndustryHome appliancesFoundedGaggio Montano, Italy, 1981; 42 years ago (1981)FounderSergio Zappella and Arthur SchmedHeadquartersGaggio Montano, ItalyArea servedWorldwideProductsEspresso machinesParentEvoca Group, Philips The Saeco AuLika professional machine. The Saeco Conica Coffee grinder - Coffeemill. Philips Saeco S.p.A., or short Saeco, is an Italian manufacturer of manual...

 

الدوري الإيطالي 1939–40

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (أغسطس 2019) هذه المقالة تحتاج للمزيد من الوصلات للمقالات الأخرى للمساعدة في ترابط مقالات الموسوعة. فضلًا ساعد في تحسي...

Scandinavium goeteborgense

?Scandinavium goeteborgense Біологічна класифікація Домен: Бактерії (Bacteria) Тип: Протеобактерії (Proteobacteria) Клас: Гамма-протеобактерії (γ Proteobacteria) Ряд: Enterobacteriales Родина: Enterobacteriaceae Рід: ScandinaviumMarathe et al., 2019 Вид: S. goeteborgense Біноміальна назва Scandinavium goeteborgenseMarathe et al., 2019 Посилання Віківиди: Scandinaviu...

 

Bayerischer Rundfunk

Bayerischer Rundfunk Siège de BR à Munich. Création 18 septembre 1922 Fondateurs Robert Riemerschmid (d) Forme juridique Organisme de droit public Siège social Munich Allemagne Direction Katja Wildermuth Actionnaires Bavière Activité Médias de masse Produits Télévision hertzienne, radiodiffusion, site web Société mère ARD Effectif 3 402 (2015) TVA européenne [ DE129523494][1] Site web http://www.br.de/ modifier - modifier le code - voir Wikidata  La Bayerischer Run...

 

Портрет дівчини в хутрі (Тіціан)

«Портрет дівчини в хутрі» Автор Тіціан Час створення бл. 1535 Розміри 93 × 63 см Матеріал полотно, олія Місцезнаходження Музей історії мистецтв (Відень) «Портрет дівчини в хутрі» (італ. Ritratto di fanciulla in pelliccia) — картина венеціанського живописця Тіціана. Створена приблизно у 1535...

Landhuizen van Curaçao

Landhuis Brievengat, het grootste landhuis van Curaçao. Voor de verdediging werd het omringd door een verhoogd terras. De landhuizen van Curaçao (Papiaments: kas di shon (het huis van de heer) of kas grandi (het grote huis), waren de hoofdgebouwen van de plantages van het eiland. Ze dateren van de 17e tot en met de 19e eeuw en waren -op enkele uitzonderingen na- geïnspireerd op de Hollandse boerderijen. Door hun unieke koloniale architectuur en de verbondenheid met de geschiedenis vormen d...

 

Iglesia ni Cristo Museum (Santa Ana, Manila)

Church in Manila, PhilippinesIglesia ni Cristo MuseumThe Iglesia ni Cristo Museum, 2014LocationPunta, Santa Ana, ManilaCountryPhilippinesDenominationIglesia ni CristoHistoryStatuskapilya (chapel) before conversion to museumDedicated1937ArchitectureFunctional statusmuseumSpecificationsNumber of spires6AdministrationDistrictMaynila[1] The Iglesia ni Cristo Museum is a museum in Punta, Santa Ana, Manila. The building of the museum was originally used as a place of worship and is the firs...

 

Інок Вічного вогню

Інок Вічного вогнюBlack Friar of the Flame Жанр науково-фантастичне оповіданняdФорма оповіданняАвтор Айзек АзімовМова англійськаОпубліковано 1942Країна  США «Інок Вічного вогню» (англ. Black Friar of the Flame) — науково-фантастичне оповідання американського письменника Айзека Азімов...

Gdynia Arena

Gdynia ArenaPolsat Plus Arena GdyniaLocationGdynia, PolandCapacity5,500OpenedDecember 22, 2008TenantsArka Gdynia (basketball) Gdynia Arena (known in Poland as Hala Sportowo-Widowiskowa Gdynia and for sponsorship reasons as the Polsat Plus Arena Gdynia since August 2022) is an indoor arena that is located in Gdynia, Poland. It is the home of the professional Euroleague Basketball club Arka Gdynia. The arena opened on December 22, 2008, and it has a seating capacity of 5,500 for basketball game...

 

منظمة تقاعد موظفي الخدمة المدنية الإيرانية

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (مارس 2020) منظمة تقاعد موظفي الخدمة المدنية الإيرانية تعديل مصدري - تعديل   منظمة تقاعد موظفي الخدمة المدنية (CSPO) هي كيان قانوني مستقل يخضع لإدارة وزارة الرعاية والضما...

 

Zener effect

The I-V curve for a diode showing avalanche and Zener breakdown. In electronics, the Zener effect (employed most notably in the appropriately named Zener diode) is a type of electrical breakdown, discovered by Clarence Melvin Zener. It occurs in a reverse biased p-n diode when the electric field enables tunneling of electrons from the valence to the conduction band of a semiconductor, leading to numerous free minority carriers which suddenly increase the reverse current.[1] Mechanism ...

Mary Marvel

Fictional superheroine Mary Marvel / Lady Shazam / Mary ShazamMary Marvel as depicted in The New Champion of Shazam! #3 (January 2023). Art by Jen Bartel.Publication informationPublisherFawcett Comics (1942–1953)DC Comics (1972–present)First appearanceCaptain Marvel Adventures #18 (Dec. 1942)Created byOtto BinderMarc SwayzeIn-story informationAlter egoMary Bromfield (current)Mary Willow Batson (previous)SpeciesHumanTeam affiliationsJustice LeagueMarvel / Shazam FamilyBlack Marvel FamilySu...

 

Ahmad Fauzi (politikus)

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. Drs.Ahmad FauziAnggota Dewan Perwakilan Rakyat Daerah Provinsi BantenPetahanaMulai menjabat 2 September 2019PresidenJoko WidodoGubernurWahidin Halim Informasi pribadiLahir9 Maret 1969 (umur 54)Tegal, Jawa TengahKebangsaan IndonesiaPartai...

 

Flag of Kazakhstan

National flag Republic of KazakhstanҚазақстан Республикасының мемлекеттік туыQazaqstan Respublikasynyñ memlekettık tuyГосударственный Флаг Республики КазахстанGosudarstvennyy Flag Respubliki KazakhstanUseNational flag and civil ensign Proportion1:2Adopted4 June 1992; 31 years ago (1992-06-04)DesignA gold sun with 32 rays above a soaring golden steppe eagle, both centered on a turquoise field. The h...

The Malkin Jewel

2012 single by The Mars VoltaThe Malkin JewelSingle by The Mars Voltafrom the album Noctourniquet ReleasedFebruary 14, 2012Recorded2009–2011GenrePsychedelic rock, progressive rock, noise rock, punk bluesLength4:42LabelWarner Bros.Songwriter(s)Cedric Bixler-Zavala, Omar Rodríguez-LópezProducer(s)Omar Rodríguez-LópezThe Mars Volta singles chronology Since We've Been Wrong (2009) The Malkin Jewel (2012) Blacklight Shine (2022) Professional ratingsReview scoresSourceRatingRolling Stone[...

 

Role-playing video game

Video game genre CRPG redirects here. For the sub-component of the Canadian Forces reserve, see Canadian Rangers. For Chinese role-playing games, see History of Eastern role-playing video games § China. A party of characters approaching a monster in Legend of Grimrock (2012) Part of a series onRole-playing video games Subgenres Action RPG Soulslike Dungeon crawl Monster-taming MUD MMORPG Roguelike Tactical RPG Topics Social interaction in MMORPGs Character creation Dialogue tree GNS the...

 

Penjara Kalisosok

Tahanan dibawa ke penjara Surabaya (tahun 1910-1930) Penjara Kalisosok adalah bekas penjara yang terletak di kawasan utara Surabaya, Indonesia. Penjara ini dibangun pada masa pendudukan Belanda dan pernah digunakan menjadi tempat penahanan sejumlah tokoh kemerdekaan Indonesia seperti Soekarno, Wage Rudolf Soepratman dan Kiai Haji Mas Mansur. Tokoh yang terakhir bahkan wafat di penjara ini pada tahun 1946. Pranala luar (Indonesia) Penjara Kalisosok Dijual, Pemkot Tidak Berdaya Artikel bertopik...

Fernando Peyroteo

Portuguese footballer (1918–1978) In this Portuguese name, the first or maternal family name is Baptista de Seixas and the second or paternal family name is Peyroteo de Vasconcelos. Fernando Peyroteo Peyroteo in 1945Personal informationFull name Fernando Baptista de Seixas Peyroteo de VasconcelosDate of birth (1918-03-10)10 March 1918Place of birth Humpata, AngolaDate of death 28 November 1978(1978-11-28) (aged 60)Place of death Lisbon, PortugalPosition(s) StrikerYouth career1932�...

 

Speechless (Ciara song)

2010 single by CiaraSpeechlessSingle by Ciarafrom the album Basic Instinct A-sideGimmie DatReleasedSeptember 7, 2010 (2010-09-07)Studio Boom Boom Room (Burbank) Nash Estate (Atlanta) Triangle Sound (Atlanta) GenreR&BLength4:10LabelLaFaceSongwriter(s) Ciara Terius The-Dream Nash C. Tricky Stewart Producer(s) Tricky Stewart The-Dream Ciara singles chronology Ride (2010) Speechless (2010) Gimmie Dat (2010) Music videoSpeechless on YouTube Speechless is a song by American s...

 
Kembali kehalaman sebelumnya