Divizor

Un număr $x$ este numit divizor al altui număr $y$ , dacă $y$ se poate scrie ca produsul dintre $x$ și un alt număr întreg $t$ .

Dacă $a$ este un număr întreg vom numi numărul $b$ divizor al lui $a$ dacă există numărul $c$ întreg astfel ca $a = b \cdot c$ și se scrie $b$ | $a$ , de asemenea $c$ | $a$ .
Exemplu: 2 este divizor pentru 6 pentru că 6 = 2 · 3. Se scrie 2 | 6.
1 | $n$ , $n$ | $n$ și $n$ | 0 pentru orice număr întreg;
un număr prim are doi divizori naturali.

Mulțimea divizorilor

Mulțimea divizorilor lui a este formată din toți divizorii lui a.
- Notație $D$ _a.
- Exemplu : $D$ ₆ = { -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 }, $D$ ₅ = {-5, -1, 1, 5} ; 5 este număr prim pentru că are doi divizori naturali.
Numărul divizorilor:
- Dacă $n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$ este descompunerea în factori primi distincți ai lui $n$ ,iar $p_{j},j={\overline {1,r}}$ sunt numere prime distincte numărul divizorilor naturali se poate calcula cu formula : $\tau (n)=(k_{1}+1)\cdot (k_{2}+1)\cdots (k_{r}+1)$ .
Suma divizorilor:
- Dacă $n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$ $n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$ este descompunerea în factori primi distincți ai lui n, iar $p_{j},j={\overline {1,r}}$ $p_{j},j={\overline {1,r}}$ sunt numere prime distincte suma divizorilor naturali se poate calcula cu formula: ${\sigma (n)=\sum _{d|n}d\,\!}=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(k_{i}+1)}-1}{p_{i}-1}}$ ${\sigma (n)=\sum _{d|n}d\,\!}=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(k_{i}+1)}-1}{p_{i}-1}}$ .
  - Exemplu: pentru n = 20 = 2² · 5 avem $\ \tau (20)=6$ și $\ \sigma (20)=42$

Funcțiile de mai sus și indicatorul lui Euler sunt așa numite funcții aritmetice.

CMMDC: cel mai mare divizor comun a două numere naturale a , b este un număr d ce verifică:
- i) $d$ | $a$ , $d$ | $b$ (adică este divizor comun).
- ii) Dacă c | a și c | b atunci c | d (adică d este cel mai mare divizor comun ).
  - Notație: $d$ = ( $a,b$ ).
  - Exemplu: (12, 18 ) = 6.
  - Dacă ( $a , b$ ) = 1 se spune că $a$ și $b$ sunt prime între ele; (32, 15) = 1, deci 32 și 15 sunt prime între ele, sau altfel spus au ca factor comun doar pe 1.
  - Dacă un număr are doar un divizor atunci spunem despre el ca este număr prim.