Se definește partea întreagă și partea fracționară a unui număr real astfel: Fie x un număr real.

1. Se numește parte întreagă a lui x cel mai apropiat întreg mai mic sau egal cu x.
2. Se numește parte fracționară a lui x diferența dintre număr și partea lui întreagă.

Definiția este sugerată de axioma lui Arhimede: Pentru orice număr real x, există un număr întreg n, unic, astfel încât n ≤ x < n + 1.

Gauss a introdus notatia ${\displaystyle \left[x\right]}$^[1].

• ${\displaystyle [x]}$ - partea întreagă a numărului real x.
• ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}}$ - partea fracționară a numărului real x.

• ${\displaystyle \left[35,67\right]=35}$
• ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}35,67\end{Bmatrix}}=0,67}$

• ${\displaystyle \left[-35,67\right]=-36}$
• ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}-35,67\end{Bmatrix}}=0,33}$

• Partea întreagă a oricărui număr real este un număr întreg, adică ${\displaystyle \left[x\right]\in \mathbb {Z} }$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left[x\right]={\begin{cases}{\mbox{...}}\\-2,&{\mbox{pentru }}x\in \left[-2,-1\right)\\-1,&{\mbox{pentru }}x\in \left[-1,0\right)\\0,&{\mbox{pentru }}x\in \left[0,1\right)\\1,&{\mbox{pentru }}x\in \left[1,2\right)\\2,&{\mbox{pentru }}x\in \left[2,3\right)\\{\mbox{...}}\end{cases}}}$

• Orice număr întreg mai mic sau egal cu x este mai mic sau egal decât partea întreagă a lui x: ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,n\leq x\Rightarrow \;n\leq [x]}$

• Partea întreagă a unui număr este egală cu numărul, dacă și numai dacă numărul este întreg, adică ${\displaystyle \left[x\right]=x\Leftrightarrow x\in \mathbb {Z} }$

• Din Axioma lui Arhimede, rezultă inegalitatea părții întregi: Orice număr real este încadrat de doi întregi consecutivi,

adică pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left[x\right]\leq \ x<\left[x\right]+1}$,

de unde rezultă că

${\displaystyle x-1<\left[x\right]\leq \ x}$

• Partea fracționară a unui număr real este un număr pozitiv subunitar sau nul: ${\displaystyle 0\leq {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}<1}$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

• Partea fracționară a unui număr întreg este nulă: ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} \Leftrightarrow {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}=0}$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$

Remarcă: Mulțimea numerelor reale se poate scrie ca reuniunea tuturor intervalelor care au capete numere întregi consecutive:

${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n\in \mathbb {Z} }^{}\left[n,n+1\right)}$

• Propoziția 1: Dacă ${\displaystyle x<y}$, atunci ${\displaystyle \left[x\right]\leq \left[y\right]}$

Demonstrație:

Din ${\displaystyle \left[x\right]\leq \ x\leq \ y}$, cum ${\displaystyle \left[x\right]}$ este un număr întreg mai mic sau egal decât y, rezultă că ${\displaystyle \left[x\right]+\left[y\right]\leq x+y}$, cum membrul stâng este un număr întreg și cel drept un număr real, rezultă ${\displaystyle \left[x\right]\leq \left[y\right]}$

• Propoziția 2: Partea întreagă a sumei a două numere reale este mai mare sau egală cu suma părților întregi ale fiecărui număr: ${\displaystyle \left[x+y\right]\geq \ \left[x\right]+\left[y\right]}$, pentru orice ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

Demonstrație:

Din ${\displaystyle \left[x\right]\leq \ x}$ și ${\displaystyle \left[y\right]\leq \ y}$, rezultă ${\displaystyle \left[x\right]+\left[y\right]\leq \ x+y}$. Cum membrul stâng este un număr întreg și membrul drept este un număr real, rezultă că membrul stâng este mai mic decât partea întreagă a membrului drept: ${\displaystyle \left[x\right]+\left[y\right]\leq \ \left[x+y\right]}$

• Propoziția 3: Orice termen număr întreg al unei sume "se pierde" de sub partea întreagă: ${\displaystyle \left[x+n\right]=\left[x\right]+n}$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ și ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$

Demonstrație:

Fie ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. Se notează ${\displaystyle k=\left[x\right]}$. La inegalitatea părții întregi se adună k în toți membrii: ${\displaystyle \left[x\right]\leq \ x<\left[x\right]+1|+k}$, ceea ce este echivalent cu ${\displaystyle \left[x\right]+k\leq \ x+k<\left[x\right]+k+1}$. Așadar, numărul real ${\displaystyle \left[x\right]+k}$ este situat între doi întregi consecutivi, deci, ${\displaystyle \left[x+n\right]=\left[x\right]+n}$.

• Propoziția 4: Orice termen număr întreg al unei sume "iese" de sub partea fracționară: ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x+n\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}}$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ și ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$

Demonstrație:

Fie ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x+n\end{Bmatrix}}=x+n-\left[x+n\right]=x+n-\left(\left[x\right]+n\right)=x+n-\left[x\right]-n=x-\left[x\right]={\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}}$

• Propoziția 5: Identitatea lui Hermite: ${\displaystyle \left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=\left[2x\right]}$

Demonstrație: Fie ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ cu ${\displaystyle \left[x\right]=n\Leftrightarrow n\leq x<n+1}$

• Dacă x se află în prima jumătate a intervalului, adică: ${\displaystyle n\leq x<n+{\frac {1}{2}}}$ , se obține ${\displaystyle n+{\frac {1}{2}}\leq x+{\frac {1}{2}}<n+1}$, deci ${\displaystyle \left[x+{\frac {1}{2}}\right]=n}$. Așadar, ${\displaystyle \left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=n+n=2n}$ (1).

${\displaystyle n\leq x<{\frac {2n+1}{2}}|\cdot 2\Leftrightarrow 2n\leq 2x<2n+1}$, deci ${\displaystyle \left[2x\right]=2n}$ (2).

Din (1) și (2) rezultă ${\displaystyle \left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=\left[2x\right]}$.

• Dacă x se află în a doua jumătate a intervalului, adica: ${\displaystyle n+{\frac {1}{2}}\leq x<n+1}$, rezultă ${\displaystyle n+1\leq x+1/2<n+{\frac {3}{2}}}$, deci ${\displaystyle \left[x+{\frac {1}{2}}\right]=n+1}$, deci ${\displaystyle \left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=2n+1}$ (3)

${\displaystyle {\frac {2n+1}{2}}\leq x<n+1|\cdot 2\Leftrightarrow 2n+1\leq 2x<2n+2}$, deci ${\displaystyle \left[2x\right]=2n+1}$ (4)

Din (3) și (4) rezultă ${\displaystyle \left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=\left[2x\right]}$.

Funcția ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle f(x)=\left[x\right]}$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ se numește funcția parte întreagă. Câteva proprietăți ale acestei funcții:

• Monotonie - monoton crescătoare pe ${\displaystyle \mathbb {R} }$: Dacă ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} ,x_{1}<x_{2}}$, atunci ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})}$.
• Injectivitate - nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
• Surjectivitate - este surjectivă, adică orice număr întreg este partea întreagă a cel puțin unui număr real: ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} }$, astfel încât ${\displaystyle n=f\left(x\right)}$.
• Continuitate: este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este ${\displaystyle \mathbb {R} }$ \ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Derivabilitate: fiind constantă pe porțiuni, are derivata nulă; domeniul de derivabilitate este ${\displaystyle \mathbb {R} }$ \ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Alte proprietăți:

${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$,${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} }$ (din Propoziția 2)

${\displaystyle f(x+n)=f(x)+f(n),\forall x\in \mathbb {R} }$,${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }$ (din Propoziția 3)

Funcția ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow [0,1)}$, ${\displaystyle f(x)={\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}}$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ se numește funcția parte fracționară. Câteva proprietăți ale acestei funcții:

• Monotonie - este strict crescătoare pe orice interval de forma ${\displaystyle [n,n+1)}$, unde ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$: Dacă ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [n,n+1),x_{1}<x_{2}}$, atunci ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$.
• Injectivitate - nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
• Surjectivitate - este surjectivă, adică orice număr subunitar pozitiv sau nul este partea fracționară a cel puțin unui număr real: ${\displaystyle \forall y\in [0,1)}$, ${\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} }$, astfel încât ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$.
• Continuitate: este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este ${\displaystyle \mathbb {R} }$ \ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Derivabilitate: fiind egală cu diferența dintre ${\displaystyle x}$ și un n umăr întreg, are derivata egală cu 1; domeniul de derivabilitate este ${\displaystyle \mathbb {R} }$ \ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Alte proprietăți:

${\displaystyle f(x+n)=f(x),\forall x\in \mathbb {R} }$,${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }$ (din Propoziția 4)

• "Matematica - TC + CD" - I.V. Maftei, A.V. Mihai, M.A. Nicolae, Cătălin-Petru Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN și Ed. NEDION - București, 2004
• "Matematica - TC + CD" - D. Savulescu, M. Chirciu, Ș. Alexe, N. Dragomir, T. Deaconu, A.R. Petrescu - Ed. Corint, București, 2008