Делитель нуля

В общей алгебре элемент ${\displaystyle a}$ кольца называется^[1]:

левым делителем нуля, если существует ненулевое ${\displaystyle b}$ такое, что ${\displaystyle ab=0;}$

правым делителем нуля, если существует ненулевое ${\displaystyle b}$ такое, что ${\displaystyle ba=0.}$

Далее всюду в данной статье кольцо считается нетривиальным, то есть в нём имеются элементы, отличные от нуля.

Элемент, который одновременно является и правым, и левым делителем нуля, называется делителем нуля. Если умножение в кольце коммутативно, то понятия правого и левого делителя совпадают. Элемент кольца, который не является ни правым, ни левым делителем нуля, называется регулярным элементом^[2].

Ноль кольца называется несобственным (или тривиальным) делителем нуля. Соответственно, элементы, отличные от нуля и являющиеся делителями нуля, называются собственными (нетривиальными) делителями нуля.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором нет нетривиальных делителей нуля, называется областью целостности^[3].

Если ${\displaystyle a}$ не является левым делителем нуля, то равенство ${\displaystyle ab=ac}$ можно сократить на ${\displaystyle a;}$ аналогично с правым делителем нуля. В частности, в области целостности сокращение на ненулевой множитель всегда возможно^[3].

Множество регулярных элементов коммутативного кольца замкнуто относительно умножения.

Обратимые элементы кольца не могут быть делителями нуля^[2]. Обратимые элементы кольца часто называют «делителями единицы», поэтому предыдущее утверждение можно сформулировать иначе: делитель единицы не может быть одновременно делителем нуля. Отсюда следует, что ни в каком теле или поле делителей нуля быть не может^[4].

В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы может быть строго доказано).

Линейно упорядоченное кольцо со строгим порядком (то есть если произведение положительных элементов положительно) не содержит делителей нуля^[5], см. также ниже пример упорядоченного кольца с делителями нуля.

Нильпотентный элемент кольца всегда является (и левым, и правым) делителем нуля. Идемпотентный элемент кольца ${\displaystyle c}$, отличный от единицы, также является делителем нуля, поскольку ${\displaystyle c(1-c)=0.}$

Кольцо целых чисел не содержит нетривиальных делителей нуля и является областью целостности.

В кольце вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ по модулю ${\displaystyle m,}$ если k не взаимно просто с m, то вычет k является делителем нуля. Например, в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ элементы 2, 3, 4 — делители нуля:

${\displaystyle 2_{6}\cdot 3_{6}=0;\ 4_{6}\cdot 3_{6}=0}$

В кольце матриц порядка 2 или более также имеются делители нуля, например:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$

Поскольку определитель произведения равен произведению определителей сомножителей, произведение матриц будет нулевой матрицей только если определитель по крайней мере одного из сомножителей равен нулю. Несмотря на некоммутативность умножения матриц, понятия левого и правого делителей нуля в этом кольце совпадают; все делители нуля — это вырожденные матрицы с нулевым определителем.

Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)^[6][7].

• Ван дер Варден. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — М.: Мир, 1975. — 649 с.
  • Переиздание: СПб.: Лань, 2004, ISBN 5-8114-0552-9, 624 с.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1. — 370 с.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.

• Weisstein, Eric W. Zero Divisor (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.