Дельта-функция

Де́льта-фу́нкция (или дельта-мера, δ-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция) — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Например, плотность единичной точечной массы m, находящейся в точке a одномерного евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1},}$ записывается с помощью ${\displaystyle \delta }$-функции в виде ${\displaystyle m\delta (x-a).}$ Дельта-функция также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.

Несмотря на распространённую форму записи ${\displaystyle \delta (x),x\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \delta }$-функция не является функцией вещественной переменной, а определяется как обобщённая функция: непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций. Можно ввести производную для δ-функции, которая тоже будет обобщённой функцией, и интеграл, определяемый как функция Хевисайда. Нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящиеся к ${\displaystyle \delta }$-функции.

Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных функций в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная функция.

Введена английским физиком Полем Дираком.

Существуют различные взгляды на понятие дельта-функции. Получающиеся при этом объекты, строго говоря, различны, однако обладают рядом общих характерных свойств. Все указанные ниже конструкции естественно обобщаются на случаи пространств большей размерности ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\ n>1)}$.

Дельта-функцию (функция Дирака) одной вещественной переменной можно определить как функцию ${\displaystyle \delta (x)}$, удовлетворяющую следующим условиям:

• ${\displaystyle \delta (x)=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,&x=0,\\0,&x\neq 0;\\\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\,dx=1.}$

То есть эта функция не равна нулю только в точке ${\displaystyle x=0}$, где она обращается в бесконечность таким образом, чтобы её интеграл по любой окрестности ${\displaystyle x=0}$ был равен 1. В этом смысле понятие дельта-функции аналогично физическим понятиям точечной массы или точечного заряда. Для понимания интеграла полезно представить себе некую фигуру на плоскости с единичной площадью, например, треугольник. Если уменьшать основание данного треугольника и увеличивать высоту так, чтобы площадь была неизменной, то в предельном случае мы получим треугольник с малым основанием и очень большой высотой. По предположению его площадь равна единице, что и показывает интеграл. Вместо треугольника можно без ограничения общности использовать любую фигуру. Аналогичные условия верны и для дельта-функций, определённых на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Эти равенства не принято считать определением дельта-функции, однако во многих учебниках по физике она определяется именно так, и этого достаточно для точного определения дельта-функции. Отметим, что из данного определения дельта-функции вытекает следующее равенство

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y)}$

(фильтрующее свойство) для любой функции f. Действительно, в силу свойства ${\displaystyle \delta (x-y)=0}$ при ${\displaystyle x\neq y}$ значение этого интеграла не изменится, если функцию ${\displaystyle f(x)}$ заменить функцией ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)}$, которая равна ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x=y}$, а в остальных точках имеет произвольные значения. Например, берём ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(y)=\operatorname {const} }$, затем выносим ${\displaystyle f(y)}$ за знак интеграла и, используя второе условие в определении дельта-функции, получаем нужное равенство.

Производные от дельта-функции также почти всюду равны 0 и обращаются в ${\displaystyle \pm \infty }$ при ${\displaystyle x=0}$.

Дельта-функция определяется как линейный непрерывный функционал на некотором функциональном пространстве (пространстве основных функций). В зависимости от цели и желаемых свойств, это может быть пространство функций с компактным носителем, пространство функций, быстро убывающих на бесконечности, гладких функций на многообразии, аналитических функций и т. д. Для того, чтобы были определены производные дельта-функции с хорошими свойствами, во всех случаях основные функции берутся бесконечно дифференцируемыми, пространство основных функций также должно быть полным метрическим пространством. Общий подход к обобщённым функциям см. в соответствующей статье. Такие обобщённые функции также называют распределениями.

Мы рассмотрим самый простой вариант. В качестве пространства основных функций рассмотрим пространство ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ всех бесконечно дифференцируемых функций на отрезке. Последовательность ${\displaystyle \varphi _{n}\in {\mathcal {E}}}$ сходится к ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {E}}}$, если на любом компакте ${\displaystyle K\in \mathbb {R} }$ функции ${\displaystyle \varphi _{n}}$ сходятся к ${\displaystyle \varphi }$ равномерно вместе со всеми своими производными:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi _{n}=\varphi \iff \sup _{j}\sup _{x\in K}\left|\varphi _{n}^{(j)}(x)-\varphi ^{(j)}(x)\right|{\xrightarrow {n\to \infty }}\,0.}$

Это локально выпуклое метризуемое пространство. Дельта-функцию определим как функционал ${\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}^{\prime }}$, такой что

${\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {E}}:\;\langle \delta ;\;\varphi \rangle =\varphi (0).}$

Непрерывность означает, что если ${\displaystyle \varphi _{n}\to \varphi }$, то ${\displaystyle \langle \delta ;\;\varphi _{n}\rangle \to \langle \delta ;\;\varphi \rangle }$. Здесь ${\displaystyle \langle \delta ;\;\varphi \rangle }$ — значение функционала на функции ${\displaystyle \varphi }$.

Используемому для работы с дельта-функцией интегральному выражению можно придать смысл, близкий к интуитивному, в рамках теории алгебры обобщённых функций Коломбо (англ. Colombeau algebra)^[1].

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — множество бесконечно дифференцируемых функций ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ с компактным носителем, то есть не равных нулю лишь на ограниченном множестве. Рассмотрим множество функций

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left\{\varphi \in {\mathcal {D}}\,{\bigg |}\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)\,dx=1,\;\int _{\mathbb {R} }x\varphi (x)\,dx=0\right\}.}$

Обобщённая функция — это класс эквивалентности функций ${\displaystyle R\colon {\mathcal {A}}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle R\colon (\varphi ,\;x)\mapsto R(\varphi ,\;x),}$ бесконечно дифференцируемых по x при каждом ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {A}}}$ и удовлетворяющих некоторому условию умеренности (полагая ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\varphi (x\varepsilon ^{-1}),}$ ${\displaystyle R(\varphi _{\varepsilon },\;x)}$ и все её производные по x достаточно медленно растут при ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$). Две функции полагаются эквивалентными, если ${\displaystyle R_{1}-R_{2}\in {\mathcal {N}}}$, где ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ — ещё один класс функций с ограничениями на рост ${\displaystyle R(\varphi _{\varepsilon },\;x)}$ при ${\displaystyle \varepsilon \to 0.}$

Дельта-функция определяется как ${\displaystyle \delta (\varphi ,\;x)=\varphi (-x).}$ Преимущество подхода Коломбо в том, что его обобщённые функции образуют коммутативную ассоциативную алгебру, при этом на множество обобщённых функций естественно продолжаются понятия интегрирования, дифференцирования, пределов, даже значения в точке. В этом смысле на дельта-функцию действительно можно смотреть как на функцию, равную 0 везде, кроме точки 0, и равную бесконечности в нуле, так как теория Коломбо включает в себя теорию бесконечно больших и бесконечно малых чисел, аналогично нестандартному анализу.

Аналогичная теория обобщённых функций была изложена в работе Ю. В. Егорова^[2]. Хотя она не эквивалентна теории Коломбо, конструкция значительно проще и обладает большинством желаемых свойств.

Обобщённая функция — это класс эквивалентности последовательностей ${\displaystyle f=(f_{1},\;f_{2},\;\ldots ),\;f_{i}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ).}$ Последовательности ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ считаются эквивалентными, если для любого компакта ${\displaystyle \Omega \Subset \mathbb {R} }$ функции последовательностей совпадают на ${\displaystyle \Omega }$ начиная с некоторого номера:

${\displaystyle f\sim {\tilde {f}}\iff \forall \Omega \Subset \mathbb {R} \ \exists N\ \forall k>N\colon f_{k}|_{\Omega }={\tilde {f}}_{k}|_{\Omega }.}$

Всевозможные операции над последовательностями (умножение, сложение, интегрирование, дифференцирование, композиция, …) определяются покомпонентно. Например, интеграл по множеству I определяется как класс эквивалентности последовательности

${\displaystyle \int _{I}f(x)\,dx=[(a_{1},\;a_{2},\;\ldots )],\;a_{i}=\int _{I}f_{i}(x)\,dx.}$

Две обобщённые функции слабо равны, если для любой бесконечно гладкой функции ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{I}(f_{k}(x)-{\tilde {f}}_{k}(x))\varphi (x)\,dx=0.}$

При этом дельта-функция определяется любой дельта-образной последовательностью (см. ниже), все такие обобщённые функции слабо равны.

• Дельта-функция чётная.
• Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, содержащему в себе ноль, то есть интервалу вида ${\displaystyle (-a_{1},\;a_{2}),}$ где ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ — произвольные действительные положительные числа, равен 1.
• ${\displaystyle x\delta ^{\prime }(x)=-\delta (x).}$
• ${\displaystyle \delta (f(x))=\sum _{k}{\frac {\delta (x-x_{k})}{|f'(x_{k})|}}}$, где ${\displaystyle x_{k}}$ — простые нули функции ${\displaystyle f(x)}$.

• Первообразной одномерной дельта-функции является функция Хевисайда:

${\displaystyle \theta (x)=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}0,&x<0,\\1,&x\geqslant 0.\\\end{array}}\right.}$

• Фильтрующее свойство дельта-функции:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}$

Пусть ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1.}$

Тогда последовательность

${\displaystyle f_{n}(x)=nf(nx)}$

слабо сходится к ${\displaystyle \delta }$-функции.

Выбор интегрируемой функции ${\displaystyle f(x),}$ определённый интеграл которой в пределах от ${\displaystyle {-\infty }}$ до ${\displaystyle {+\infty }}$ равен 1 произволен.

Например, в качестве ${\displaystyle f(x)}$ можно выбрать функцию sinc: ${\displaystyle f(x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$ дающую последовательность:

${\displaystyle f_{n}(x)=n{\frac {\sin(n\pi x)}{n\pi x}}={\frac {\sin(n\pi x)}{\pi x}}.}$

При требовании, чтобы все функции в последовательности были всюду положительны, можно в качестве исходной функции выбрать, например, нормированную функцию Гаусса или иную любую всюду неотрицательную функцию, интеграл которой равен 1:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}},}$

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {n}{\sqrt {\pi }}}e^{-(nx)^{2}}.}$

Во многих приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:

${\displaystyle \delta (t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\,d\omega .}$

По определению производной дельта-функции ${\displaystyle \delta (x)}$:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta ^{\prime }(x-a)\,dx=-f^{\prime }(a)}$

(распространение интегрирования по частям на случай подынтегральных выражений, содержащих дельта-функцию).

Аналогично для n-й производной дельта-функции:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta ^{[n]}(x-a)\,dx=-\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial f}{\partial x}}\delta ^{[n-1]}(x-a)\,dx.}$

А проинтегрировав так по частям n раз, получим в конце концов:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta ^{[n]}(x-a)\,dx=\left.(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}f(x)}{\partial x^{n}}}\right|_{x=a}.}$

Для производной дельта-функции имеет место тождество:

${\displaystyle f(x)\delta ^{\prime }(x)=f(0)\delta ^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)\delta (x),}$

которое можно получить дифференцируя произведение ${\displaystyle f(x)\delta (x)}$.

• В этом параграфе мы будем применять нормировку, соответствующую соглашению о единичном коэффициенте в обратном преобразовании, то есть имея в виду ${\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega .}$
• Формулы этого параграфа имеют соответствующие аналоги для многомерного преобразования Фурье.

К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:

${\displaystyle F\left\{\delta (t-t_{0})\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (t-t_{0})\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-i\omega \cdot t_{0}}.}$

Таким образом, спектр (Фурье-образ) дельта-функции, центрированной в точке ${\displaystyle t_{0}}$, является «волной» в пространстве частот, обладающей «периодом» ${\displaystyle {\frac {2\pi }{t_{0}}}}$. В частности, спектр (Фурье-образ) дельта-функции, центрированной в нуле, является константой (нестрого говоря — «волной» с бесконечно большим «периодом»):

${\displaystyle F\left\{\delta (t)\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-i\omega \cdot 0}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}.}$

Соответственно, наоборот — дельта-функция является Фурье-образом чистой гармонической функции или константы.

В n-мерном пространстве в декартовых координатах (ортонормированном базисе):

${\displaystyle \int \delta ^{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\,d^{n}x=1;}$

${\displaystyle \delta ^{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\delta (x_{1})\delta (x_{2})\ldots \delta (x_{n}).}$

В двумерном пространстве:

${\displaystyle \iint \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{2}(x,\;y)\,dx\,dy=1;}$

${\displaystyle \delta ^{2}(ax,\;by)={\frac {1}{\left|ab\right|}}\delta ^{2}(x,\;y);}$

${\displaystyle \delta ^{2}(x,\;y)=\delta (x)\delta (y).}$

В полярных координатах:

${\displaystyle \delta ^{2}(r,\;\varphi )={\frac {\delta (r)}{2\pi \left|r\right|}}}$ — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r=0),

${\displaystyle {\frac {\delta (r-r_{0})\delta (\varphi -\varphi _{0})}{|r|}}}$ — с особенностью в точке общего положения ${\displaystyle (r_{0},\;\varphi _{0});}$ при r=0 доопределяется нулём.

В трёхмерном пространстве:

${\displaystyle \iiint \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{3}(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1;}$

${\displaystyle \delta ^{3}(x,\;y,\;z)=\delta (x)\delta (y)\delta (z).}$

В цилиндрической системе координат:

${\displaystyle \delta ^{3}(r,\;\theta ,\;z)={\frac {\delta (r)\delta (z)}{2\pi r}}}$ — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при ${\displaystyle r=0,\;z=0}$),

${\displaystyle {\frac {\delta (r-r_{0})\delta (\varphi -\varphi _{0})\delta (z-z_{0})}{|r|}}}$ — с особенностью в точке общего положения ${\displaystyle (r_{0},\;\varphi _{0},\;z_{0});}$ при r=0 доопределяется нулём.

В сферической системе координат:

${\displaystyle \delta ^{3}(r,\;\theta ,\;\varphi )={\frac {\delta (r)}{4\pi r^{2}}}}$ — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r=0).

В формулах с особенностью в начале координат нередко используют вдвое большие коэффициенты (1/π для цилиндрической и полярной, 1/2π для сферической). Это связано с тем, что предполагается вдвое меньший результат интегрирования в случае, если особая точка находится точно на границе интервала интегрирования.

Вблизи заряженной точки поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Вопрос о поле точечной заряженной частицы сравнительно сложен, поэтому рассмотрим сначала более простой пример.

Пусть частица, способная перемещаться вдоль прямой, при ударе пренебрежимо малой длительности скачком приобретает какую-то скорость. Зададимся вопросом: как рассчитать ускорение, приобретённое телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид:

Данный график почти всюду является графиком функции Хевисайда. Производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией, график которой условно можно изобразить как

Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. В общем случае ускорение при ударе можно записать как

${\displaystyle a(t)=\nu \delta (t-t_{a}).\ }$

Если нужно найти суммарную массу (суммарный заряд) некоторого распределения плотности (или плотности заряда), содержащего, наряду с непрерывной компонентой ${\displaystyle \rho _{\mathrm {contin} }}$, ещё и точечные массы (заряды), то удобно вместо формулы, раздельно учитывающей непрерывную конечную плотность и дискретные вклады:

${\displaystyle M=\int \rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )\,dV+\sum _{i}m_{i}}$,

где ${\displaystyle \mathbf {x} }$ — радиус-вектор положения рассматриваемого элемента (для определённости обозначения соответствуют массе, а не заряду), писать просто:

${\displaystyle M=\int \rho (\mathbf {x} )\,dV}$,

имея в виду, что ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$ включает как непрерывную, так и дельтообразные, то есть сосредоточенные в геометрических точках (по одной для каждого точечного объекта ${\displaystyle m_{i}}$), составляющие:

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=\rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )+\sum _{i}m_{i}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i})}$.

• Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе (${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$) квантовой механики волновые функции локализуются в волновые пакеты с дельтообразными (то есть имеющими в пределе форму дельта-функции) огибающими, и области их локализации движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона.
• Преобразование Фурье единицы является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний. В квантовой механике преобразования Фурье волновых функций играют первостепенную принципиальную и техническую роль, именно для неё Дирак впервые ввёл дельта-функцию.
• Дельта-функции играют роль собственных функций оператора с непрерывным спектром в представлениях, где этот оператор диагонален. Таким образом, они играют роль базиса в диагональном представлении оператора.
• Важным применением дельта-функции является их участие в аппарате функций Грина линейных операторов. Для линейного оператора ${\displaystyle L}$, действующего на обобщённые функции над многообразием ${\displaystyle M}$, уравнение, определяющее функцию Грина ${\displaystyle g}$ с источником в точке ${\displaystyle x_{0},}$ имеет вид

${\displaystyle L\,g(x,\;x_{0})=\delta (x-x_{0}).}$

Особенно часто встречается применение этого аппарата к оператору Лапласа (электростатика, теплопроводность, диффузия, механическая теория упругости) и подобным ему операторам, таким как Оператор Д’Аламбера (акустика, электродинамика, квантовая теория поля, где функция Грина часто носит специальное название пропагатора).

• Для лапласиана в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ функцией Грина является функция ${\displaystyle 1/r}$, так что

${\displaystyle \Delta \left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} ),}$

где ${\displaystyle r}$ — расстояние до начала координат. Этот факт используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала

${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )=\int {\frac {\varrho (\mathbf {x} ^{\prime })}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}\,d^{3}x^{\prime }}$

удовлетворяет уравнению Пуассона:

${\displaystyle \Delta \Phi =-4\pi \varrho .}$

	В Викисловаре есть статья «дельта-функция»

• Обобщённая функция
• Функция Грина
• Символ Кронекера

• Дирак П. А. М. Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 1932 (есть много переизданий).
• Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — Том 2. — ISBN 5-9221-0185-4.
• Weisstein, Eric W. Delta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных уравнений. — Том 1.
• Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы в частных производных.
• Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними.
• Краснопевцев Е. А. Математические методы физики. Избранные вопросы.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Оформить список литературы. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.