В 1909 году умер его отец, Макар Кузьмич Распопов. Вдова Евдокия Ивановна Распопова бедно жила и отдала сына на воспитание в бездетную семью писаря Якова Киселёвых, которые усыновили его и дали свою фамилию. Она осталась со старшим сыном Василием и дочерью Степанидой. Вскоре умер приемный отец. Саша остался с приемной матерью Дарьей Гордеевной, пригласившей на жительство и себе в помощь его старшую сестру Стешу[2].
Окончил Падеринское двухклассное училище. В 1924 году с родственниками переехал в Омск. Старший брат Распопов Василий Макарович поступил в Омскую школу красных командиров.
С марта 1930 года служил командиром взвода полковой школы и помощником начальника штаба полка по мобилизационной работе 9-го отдельного Сибирского конвойного полка войск ОГПУ СССР в Новосибирске.[3] С ноябре 1932 по апрель 1933 года был начальником полковой школы 8-го Омского железнодорожного полка ОГПУ в Омске, затем убыл на учёбу в академию.
3 мая 1942 года присвоено воинское звание генерал-майор.
В ноябре 1942 года генерал-майор А. Я. Киселёв был направлен в Свердловск и назначен заместителем командующего Отдельной армией войск НКВД, которая начала там формироваться[4]. После завершения формирования 5 февраля 1943 года армия была передана из НКВД в Рабоче-крестьянскую Красную армию и переименована в 70-ю армию[5](а генерал Киселёв стал заместителем её командующего). 15 февраля прибыл с армией на Центральный фронт, где участвовал в Севской наступательной операции.
Указом ПрезидиумаВерховного Совета СССР от 23 мая 1945 года за образцовое командование дивизией в ходе Западно-Карпатской операции и проявленные при этом личное мужество и героизм генерал-майору Александру Яковлевичу Киселёву посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Падеринская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Союза Киселева А.Я.», имя Героя присвоено Приказом Управления народного образования Администрации Кетовского района № 3-196 от 26 июля 2011 года[14].
В 2007 году в школе создан музей. В нём хранятся 4 альбома о Киселеве, один из которых подарен школе женой старшего брата Ф.Д. Распоповой, фотографии, письма.
Брат Распопов Василий Макарович (1902 — 23 марта 1943, Ленинградская область, Мгинский район, оз. Глухое), капитан, командир батальона 239-й стрелковой дивизии, Волховский фронт
Жена Киселёва Александра Никаноровна. Сыновья: Юрий, Владимир (умер в детстве), Александр.
Герои Советского Союза: Краткий биографический словарь / Пред. ред. коллегии И. Н. Шкадов. — М.: Воениздат, 1987. — Т. 1 /Абаев — Любичев/. — 911 с. — 100 000 экз. — ISBN отс., Рег. № в РКП 87-95382.
Коллектив авторов. Великая Отечественная: Комдивы. Военный биографический словарь. Командиры стрелковых, горнострелковых дивизий, крымских, полярных, петрозаводских дивизий, дивизий ребольского направления, истребительных дивизий. (Ибянский — Печененко). — М.: Кучково поле, 2015. — Т. 4. — С. 203—204. — 330 экз. — ISBN 978-5-9950-0602-2.
Золотые Звезды курганцев. — Челябинск, 1975. — С.128-130.
Золотое созвездие Зауралья [авт.-сост. Г. П. Устюжанин и др.]. — Курган: Парус-М, 2000. — 480 с. ISBN 5-86047-128-9. — С.199—204.
Через годы, через расстояния… О боевых делах и людях 140-й Сибирской дивизии. — Новосибирск, 1977.
Герои Отечества: cборник документальных очерков МВД России. — М.: Студия писателей МВД России, 2004. — 842 c. ISBN 5-901-809-18-1.
Соловьев Д. Ю. Все генералы Сталина. Том 19. — М., 2019. — С.19—20.