Температура Дебая

Температу́ра Деба́я — температура, при которой возбуждаются все моды колебаний в данном твёрдом теле. Дальнейшее увеличение температуры не приводит к появлению новых мод колебаний, а лишь ведёт к увеличению амплитуд уже существующих колебаний, то есть средняя энергия колебаний с ростом температуры растёт.

Температура Дебая — физическая константа вещества, характеризующая многие свойства твёрдых тел — теплоёмкость, электропроводность, теплопроводность, уширение линий рентгеновских спектров, упругие свойства и т. п. Введена в научный оборот в 1912 году П. Дебаем в его теории теплоёмкости (известной также как модель Дебая).

Температура Дебая определяется следующей формулой:

\Theta _{D}={\frac {h\nu _{D}}{k_{B}}},

где $h$ — постоянная Планка, $\nu _{D}$ — максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела, $k_{B}$ — постоянная Больцмана.

Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты.

Физическая интерпретация

При температурах ниже температуры Дебая теплоёмкость кристаллической решётки определяется в основном акустическими колебаниями и, согласно закону Дебая, пропорциональна кубу температуры.

При температурах намного выше температуры Дебая справедлив закон Дюлонга — Пти, согласно которому теплоёмкость постоянна и равна $3Nrk_{B}$ , где $N$ — количество элементарных ячеек в теле, $r$ — количество атомов в элементарной ячейке, $k_{B}$ — постоянная Больцмана.

При промежуточных температурах теплоёмкость кристаллической решётки зависит от других факторов, таких как дисперсия акустических и оптических фононов, количество атомов в элементарной ячейке и т. д. Вклад акустических фононов, в частности, даётся формулой

C_{V}(T)=3Nk_{B}f_{D}\left({\frac {\theta _{D}}{T}}\right)

,

где $\theta _{D}$ — температура Дебая, а функция

f_{D}(x)={\frac {3}{x^{3}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{4}e^{t}}{(e^{t}-1)^{2}}}{\textrm {d}}t

называется функцией Дебая.

При температурах намного ниже температуры Дебая, как указывалось выше, теплоёмкость пропорциональна кубу температуры

C_{V}(T)={\frac {12\pi ^{4}}{5}}Nk_{B}\left({\frac {T}{\theta _{D}}}\right)^{3}.

Оценка температуры Дебая

При выводе формулы Дебая для определения теплоёмкости кристаллической решётки принимаются некоторые допущения, а именно принимают линейный закон дисперсии акустических фононов, пренебрегают наличием оптических фононов и заменяют зону Бриллюэна сферой такого же объёма. Если $q_{D}$ — радиус такой сферы, то $\omega _{D}=q_{D}s$ , где $s$ — скорость звука, называется частотой Дебая. Температура Дебая определяется из соотношения

\hbar \omega _{D}=k_{B}\theta _{D}

.

Значения температуры Дебая для некоторых веществ приведены в таблице^[1]:

Алюминий	394 K
Кадмий	120 K
Хром	460 K
Медь	315 K
Золото	170 K
Железо	420 K
Галлий	240 K

Серебро	215 K
Таллий	96 K
Олово (белое)	170 K
Олово (серое)	260 K
Вольфрам	310 K
Цинк	234 K
Алмаз	2230 K^[2]^[3]

Мышьяк	285 K
Свинец	88 K
Марганец	400 K
Никель	375 K
Платина	230 K
Кобальт	385 K
Гадолиний	152 K

Источники

↑ Majumdar A. Microscale energy transport in solids // Microscale energy transport (англ.). — CRC Press, 1997. — P. 23. — 400 p. — (Series in Chemical and Mechanical Engineering). — ISBN 9781560324591.
↑ Debye Temperature | The Elements Handbook at KnowledgeDoor (англ.). KnowledgeDoor. Дата обращения: 8 февраля 2022. Архивировано 13 марта 2022 года.
↑ Tetsuya Tohei, Akihide Kuwabara, Fumiyasu Oba, Isao Tanaka. Debye temperature and stiffness of carbon and boron nitride polymorphs from first principles calculations (англ.) // Physical Review B. — 2006-02-23. — Vol. 73, iss. 6. — P. 064304. — doi:10.1103/PhysRevB.73.064304.