4-ток , четырёхток в специальной и общей теории относительности — лоренц-ковариантный четырёхвектор , который объединяет плотность тока электрических зарядов (или 3-вектор плотности тока любых других частиц) и объёмную плотность заряда (или объёмную концентрацию частиц).
J
μ μ -->
=
(
c
ρ ρ -->
,
j
)
,
{\displaystyle J^{\mu }=\left(c\rho ,\;\mathbf {j} \right),}
где
c
{\displaystyle c}
скорость света ,
ρ ρ -->
{\displaystyle \rho }
j
=
ρ ρ -->
u
{\displaystyle \mathbf {j} =\rho \,\mathbf {u} }
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
В специальной теории относительности локальное сохранение электрического заряда выражается уравнением непрерывности , которое означает равенство нулю инвариантной дивергенции 4-тока:
D
⋅ ⋅ -->
J
=
∂ ∂ -->
μ μ -->
J
μ μ -->
=
∂ ∂ -->
ρ ρ -->
∂ ∂ -->
t
+
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
j
=
0
,
{\displaystyle D\cdot J=\partial _{\mu }J^{\mu }={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}
где
D
{\displaystyle D}
4-градиентом и определяемый как
(
1
c
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
t
,
∇ ∇ -->
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\;\mathbf {\nabla } \right)}
соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам. Вышеприведённое уравнение можно короче записать как
J
μ μ -->
,
μ μ -->
=
0
{\displaystyle J^{\mu }{}_{,\mu }=0}
с обычным обозначением частной производной по данной координате как запятой перед соответствующим индексом.
В общей теории относительности уравнение непрерывности записывается так:
J
μ μ -->
;
μ μ -->
=
0
,
{\displaystyle J^{\mu }{}_{;\mu }=0\,,}
где точка с запятой перед индексом означает ковариантную производную по соответствующей координате.
Аналогом 4-тока в релятивистской бикватернионной алгебре служит бикватернион тока , имеющий в скалярно-векторном представлении следующий вид:
J
=
4
π π -->
(
ρ ρ -->
,
j
)
.
{\displaystyle J=4\pi \left(\rho ,\;\mathbf {j} \right).}
Используется система единиц, в которой скорость света
c
=
1
{\displaystyle c=1}
уравнения Максвелла выражаются в виде:
D
F
=
J
¯ ¯ -->
,
{\displaystyle D\mathbf {F} ={\overline {J}},}
где
F
=
E
+
i
H
{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +i\mathbf {H} }
вектор Римана-Зильберштейна ),
D
{\displaystyle D}
4-градиента ):
D
=
(
∂ ∂ -->
t
,
∇ ∇ -->
)
{\displaystyle D=(\partial _{t},\nabla )}
D
F
=
(
∂ ∂ -->
t
,
∇ ∇ -->
)
F
=
(
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
F
,
∂ ∂ -->
t
F
+
i
∇ ∇ -->
× × -->
F
)
=
(
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
E
+
i
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
H
,
∂ ∂ -->
t
E
+
i
∂ ∂ -->
t
H
+
i
∇ ∇ -->
× × -->
E
− − -->
∇ ∇ -->
× × -->
H
)
,
{\displaystyle D\mathbf {F} =(\partial _{t},\nabla )\mathbf {F} =\left(\nabla \cdot \mathbf {F} ,\partial _{t}\mathbf {F} +i\nabla \times \mathbf {F} \right)=\left(\nabla \cdot \mathbf {E} +i\nabla \cdot \mathbf {H} ,\partial _{t}\mathbf {E} +i\partial _{t}\mathbf {H} +i\nabla \times \mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} \right),~~}
J
¯ ¯ -->
=
4
π π -->
(
ρ ρ -->
,
− − -->
j
)
{\displaystyle {\overline {J}}=4\pi (\rho ,-\mathbf {j} )}
D
F
=
J
¯ ¯ -->
⇔ ⇔ -->
{
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
E
+
i
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
H
=
4
π π -->
ρ ρ -->
∂ ∂ -->
t
E
+
i
∂ ∂ -->
t
H
+
i
∇ ∇ -->
× × -->
E
− − -->
∇ ∇ -->
× × -->
H
=
− − -->
4
π π -->
j
⇔ ⇔ -->
{
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
E
=
4
π π -->
ρ ρ -->
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
H
=
0
∂ ∂ -->
t
E
− − -->
∇ ∇ -->
× × -->
H
=
− − -->
4
π π -->
j
∂ ∂ -->
t
H
+
∇ ∇ -->
× × -->
E
=
0
{\displaystyle D\mathbf {F} ={\overline {J}}~\Leftrightarrow ~{\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} +i\nabla \cdot \mathbf {H} =4\pi \rho \\\partial _{t}\mathbf {E} +i\partial _{t}\mathbf {H} +i\nabla \times \mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} =-4\pi \mathbf {j} \end{cases}}~\Leftrightarrow ~{\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \\\nabla \cdot \mathbf {H} =0\\\partial _{t}\mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} =-4\pi \mathbf {j} \\\partial _{t}\mathbf {H} +\nabla \times \mathbf {E} =0\end{cases}}}
Последняя система уравнений и представляет собою уравнения Максвелла. Таким образом, мы доказали их эквивалентность исходному уравнению в бикватернионах.
Джексон Дж. Классическая электродинамика. — Москва: Мир, 1965.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — Москва: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4 .Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т. VIII). — Москва: Физматлит, 2005. — 656 с. — ISBN 5-9221-0123-4 .L. Silberstein. "Quaternionic Form of Relativity", Philos. Mag. S., 6, Vol. 23, № 137, pp. 790–809, 1912. 
