NP-полная задача

NP-полная задача — в теории алгоритмов задача с ответом «да» или «нет» из класса NP, к которой можно свести любую другую задачу из этого класса за полиномиальное время (то есть при помощи операций, число которых не превышает некоторого полинома в зависимости от размера исходных данных). Таким образом, NP-полные задачи образуют в некотором смысле подмножество «типовых» задач в классе NP: если для какой-то из них будет найден «полиномиально быстрый» алгоритм решения, то и любую другую задачу из класса NP можно будет решить так же «быстро».

Формальное определение

Алфавитом называется всякое конечное множество символов (например, { ${0,1}$ } или { ${a,b,c}$ }). Множество всех возможных слов (конечных строк, составленных из символов этого алфавита) над некоторым алфавитом $\Sigma$ обозначается $\Sigma ^{*}$ . Языком $L$ над алфавитом $\Sigma$ называется всякое подмножество множества $\Sigma ^{*}$ , то есть $L\subset \Sigma ^{*}$ .

Задачей распознавания для языка $L$ называется определение того, принадлежит ли данное слово языку $L$ .

Пусть $L_{1}$ и $L_{2}$ — два языка над алфавитом $\Sigma$ . Язык $L_{1}$ называется сводимым (по Карпу) к языку $L_{2}$ , если существует функция, $f\colon \Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}$ , вычислимая за полиномиальное время, обладающая следующим свойством:

$x\in L_{1}$ тогда и только тогда, когда $f(x)\in L_{2}$ . Сводимость по Карпу обозначается как $L_{1}{\leq }_{p}L_{2}$ или $L_{1}\varpropto L_{2}$ .

Язык $L_{2}$ называется NP-трудным, если любой язык из класса NP сводится к нему. Язык называют NP-полным, если он NP-труден, и при этом сам лежит в классе NP.

Неформально говоря, то что задача $A$ сводится к задаче $B$ , означает, что задача $A$ «не сложнее» задачи $B$ (так как, если мы можем решить $B$ , то можем решить и $A$ ). Таким образом, класс NP-трудных задач включает NP-полные задачи и задачи, которые «сложнее» их (то есть те задачи, к которым могут быть сведены NP-полные задачи). Класс NP включает NP-полные задачи и задачи, которые «легче» их (то есть те задачи, которые сводятся к NP-полным задачам).

Из определения следует, что, если будет найден алгоритм, решающий некоторую (любую) NP-полную задачу за полиномиальное время, то все NP-задачи окажутся в классе P, то есть будут решаться за полиномиальное время.

NP-полнота в сильном смысле

Задача называется NP-полной в сильном смысле, если у неё существует подзадача, которая:

не является задачей с числовыми параметрами (то есть максимальное значение величин, встречающихся в этой задаче, ограничено сверху полиномом от длины входа)
является NP-полной.

Класс таких задач называется NPCS. Если гипотеза P ≠ NP верна, то для NPCS-задачи не существует псевдополиномиального алгоритма^{[источник не указан 2686 дней]}.

Гипотеза P ≠ NP

Вопрос о совпадении классов P и NP уже более пятидесяти лет является одной из центральных открытых проблем. Научное сообщество склоняется к отрицательному ответу на этот вопрос^[1] — в этом случае решать NP-полные задачи за полиномиальное время не удастся.

Примеры NP-полных задач

См. также

Равенство классов P и NP

Примечания

↑ William I. Gasarch. The P=?NP poll. (неопр.) // SIGACT News. — 2002. — Т. 33, № 2. — С. 34—47. — doi:10.1145/1052796.1052804. Архивировано 15 июня 2007 года.
↑ Erik D. Demaine, Susan Hohenberger, David Liben-Nowell. Tetris is Hard, Even to Approximate (англ.). preprint.
↑ Abel, Z.; Demaine, E.D.; Demaine, M.L.; Eisenstat, S.; Lynch, J.; Schardl, T.B. (2013). "Finding a Hamiltonian Path in a Cube with Specified Turns is Hard". Journal of Information Processing. 21 (3): 368—377. Архивировано 5 декабря 2023. Дата обращения: 5 декабря 2023.

Литература

Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи Архивная копия от 4 ноября 2019 на Wayback Machine. М.: Мир, 1982.
Томас Х. Кормен и др. Глава 34. NP-полнота // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — 1296 с. — ISBN 0-07-013151-1.
Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М.: «Вильямс», 2002. — 528 с. — ISBN 0-201-44124-1.