Евдокс Книдский

Евдокс Книдский
др.-греч. Εὔδοξος ὁ Κνίδιος
Дата рождения	ок. 408 год до н. э.
Место рождения	Книд, Древняя Греция
Дата смерти	ок. 355 год до н. э.
Место смерти	Книд, Древняя Греция
Страна	Гексаполис
Род деятельности	математик, писатель, философ, географ
Научная сфера	математик, механик, астроном
Ученики	Каллипп, Менехм, Динострат
Медиафайлы на Викискладе

Евдо́кс Кни́дский (в части источников: Эвдокс, др.-греч. Εὔδοξος, лат. Eudoxus; ок. 408 год до н. э. — ок. 355 год до н. э.) — древнегреческий математик, механик и астроном. Занимался также врачеванием, философией и музыкой; был известен как оратор и законовед.

Неоднократно упоминается у античных авторов. Сочинения самого Евдокса до нас не дошли, но его математические открытия изложены в «Началах Евклида». Среди его учеников были Каллипп, Менехм и Динострат.

Научная школа Евдокса сыграла большую роль в развитии античной астрономии и математики. Историки науки относят Евдокса к числу основоположников интегрального исчисления и теоретической астрономии^[1]. В частности, Евдокс создал теорию геометрических величин (античный аналог вещественных чисел), метод исчерпывания (прообраз анализа криволинейных фигур) и первую теоретическую модель движения небесных тел, переработанный вариант которой был позднее изложен в «Альмагесте» Птолемея.

В честь Евдокса названы:

• кривая Евдокса;
• кратер на Луне;
• кратер на Марсе^[англ.].

О жизни Евдокса известно немного. Родился в Книде, на юго-западе Малой Азии. Учился медицине у Филистиона в Сицилии, потом математике (у пифагорейца Архита в Италии), далее присоединился к школе Платона в Афинах^[2]. Около года провёл в Египте, изучал астрономию в Гелиополе. Позднее Евдокс переселился в город Кизик на Мраморном море, основал там собственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии^[3].

Около 368 года до н. э. Евдокс вместе с частью учеников вернулся в Афины. Умер в родном Книде, окружённый славой и почётом. Диоген Лаэртский сообщает некоторые подробности: скончался Евдокс на 53-м году жизни, были у него три дочери и сын по имени Аристагор^[4].

Евдокса можно считать создателем античной теоретической астрономии как самостоятельной науки. В Кизике им была построена обсерватория, в которой впервые в Элладе велись систематические наблюдения за небом. Школа Евдокса выпустила первый в Греции звёздный каталог^[5]. Гиппарх упоминал названия двух астрономических трудов Евдокса: «Явления» и «Зеркало»^[6].

Евдокс первым решил задачу Платона, предложившего астрономам построить кинематическую модель, в которой видимые движения Солнца, Луны и планет получались бы как результат комбинации равномерных круговых движений. Модель Евдокса состояла из 27 взаимосвязанных сфер, вращающихся вокруг Земли (теория гомоцентрических сфер). Согласие этой модели с наблюдениями было для того времени неплохим; исключением было движение Марса, который неравномерно движется по орбите, далёкой от круговой, и её крайне трудно приблизить равномерным вращением сфер.

Теорию Евдокса с математической точки зрения усовершенствовал Каллипп, у которого число сфер возросло до 34. Дальнейшее усовершенствование теории было связано с Аристотелем, который разработал механизм передачи вращения от наружных сфер к внутренним; при этом число сфер возросло до 56. В дальнейшем Гиппарх и Клавдий Птолемей отказались от теории гомоцентрических сфер в пользу теории эпициклов, которая позволяет более точно смоделировать неравномерность видимого движения небесных тел.

Евдокс считал Землю шарообразным телом, ему приписывается одна из первых оценок длины земного меридиана в 400 000 стадиев^[7], или примерно 70 000 км. Евдокс пытался определить сравнительную величину небесных тел. Он знал, что Солнце больше Луны, но ошибочно полагал, что отношение их диаметров равно 9:1^[5]. Ему же приписывают определение угла между эклиптикой и небесным экватором, то есть, с современной точки зрения, наклона земной оси к плоскости земной орбиты, равного 24°^[8]. Евдоксу приписывают также изобретение горизонтальных солнечных часов.

Евдокс был знаком с вавилонской астрологией, относился к ней презрительно и чётко отделял от астрономии: «не следует доверять ни в малейшей степени халдеям и их предсказаниям и утверждениям о жизни человека, основанным на дне его рождения»^[9].

Евдокс получил фундаментальные результаты в различных областях математики. Например, при разработке своей астрономической модели он существенно продвинул сферическую геометрию^[5]. Однако особенно большое значение имели созданные им две классические теории.

Числовые системы древних греков ограничивались натуральными числами и их отношениями (дробями, рациональными числами). Однако ещё пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть отношение их длин не может быть представлено рациональным числом. Стало понятно, что пифагорейская арифметика должна быть каким-то образом расширена с тем, чтобы включать все результаты измерений. Это и сделал Евдокс. Его теория дошла до нас в изложении Евклида (Начала, книга V)^[10].

В дополнение к числам Евдокс ввёл более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона^[11]. Этот подход снимает проблему несоизмеримости. По существу, теория отношений Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин^[12]. Признание иррациональностей как особого вида чисел произошло много позднее, под влиянием индийских и исламских математических школ^[10].

В начале своего построения Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). Однородность величин сформулирована в виде аксиомы, известной также как аксиома Архимеда: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга»^[10]. Сам Архимед при изложении этой аксиомы сослался на Евдокса^[13].

Далее Евдокс рассматривает отношения между величинами и определяет для них равенство^[14]:

Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой, каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.

В переводе на современный математический язык это означает, что отношения ${\displaystyle a:b}$ и ${\displaystyle c:d}$ равны, если для любых натуральных ${\displaystyle m,n}$ выполняется одно из трёх соотношений:

• либо ${\displaystyle ma<nb}$ и ${\displaystyle mc<nd}$;
• либо ${\displaystyle ma=nb}$ и ${\displaystyle mc=nd}$;
• либо ${\displaystyle ma>nb}$ и ${\displaystyle mc>nd}$.

Фактически описанное свойство означает, что между ${\displaystyle a:b}$ и ${\displaystyle c:d}$ нельзя вставить рациональное число. До Евдокса использовалось другое определение, через равенство последовательных вычитаний^[15]; это определение эквивалентно определению Евдокса, но сложнее в использовании. Современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений ${\displaystyle a:b}$ и ${\displaystyle c:d}$^[16].

Далее Евдокс аккуратно выводит свойства отношений: транзитивность, упорядоченность и т. д.

Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел поразительно похожа на изложение Евдокса. Соответствие между ними устанавливается так: пусть заданы две величины Евдокса ${\displaystyle a,b}$; дробь ${\displaystyle m/n}$ отнесём к классу ${\displaystyle A}$, если ${\displaystyle ma>nb}$, иначе — к классу ${\displaystyle B}$. Тогда классы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ определяют дедекиндово сечение поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Осталось отождествить отношение по Евдоксу ${\displaystyle b:a}$ с этим дедекиндовым числом^[17].

Отметим, однако, что у Евдокса отсутствует аналог аксиомы непрерывности, и ниоткуда не следует, что всякое сечение ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ определяет вещественное число^[17].

Это своего рода античный анализ криволинейных фигур. Обоснование этого метода не опирается на актуальные бесконечно малые, но неявно включает понятие предела. Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода не было специального названия. Евклид изложил теорию метода исчерпывания в X книге «Начал», а в XII книге применил для доказательства нескольких теорем.

Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи^[18].

В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур^[18][19].

С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса)^[18].

Наиболее плодотворным этот метод стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий^[18]. В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем — математическим анализом.

• Астрономия Древней Греции
• История математики
• Математика в Древней Греции

• Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 306—346.
• Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963.
• Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: ГИФМЛ, 1959.
• Гейберг И. Л. Естествознание и математика в классической древности. — М.—Л.: ОНТИ, 1936.
• Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов, книга VIII. — М.: Иностранная литература, 1979.
• Еремеева А. И., Цицин Ф. А. История астрономии. — М.: Изд-во МГУ, 1989. — ISBN 5-211-00347-0.
• Житомирский С. В. Античная астрономия и орфизм. — М.: Янус-К, 2001. — ISBN 5-8037-0072-X.
• Житомирский С. В. Планетарная гипотеза Евдокса и древняя мифология // Астрономия древних обществ. — М.: Наука, 2002. — С. 311—314. — ISBN 5-02-008768-8.
• Зайцев А. И. Роль Евдокса Книдского в становлении астрономической науки в Древней Греции // Некоторые проблемы истории античной науки : Сборник научных трудов / Отв. ред. А. И. Зайцев, Б. И. Козлов. — Л.: Главная астрономическая обсерватория, 1989. — С. 116—120. Архивировано 8 июля 2013 года.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Колчинский И.Г., Корсунь А.А., Родригес М.Г. Астрономы: Биографический справочник. — 2-е изд., перераб. и доп. — Киев: Наукова думка, 1986. — 512 с.
• Лишевский В. П. Первый астроном // Земля и Вселенная. — 1992. — № 5. — С. 43—44.
• «Начала» Евклида. — М.—Л.: ГТТИ, 1948. — Т. V.
• Паннекук А. История астрономии. — М.: Наука, 1966.

• Fowler D. H. Eudoxus: Parapegmata and Proportionality // Ancient and Medieval trends in the exact sciences. — Stanford: CSLI Publications, 2000. — P. 33—48.
• Goldstein B. R., Bowen A. C. A new view of early Greek astronomy // Isis. — 1983. — № 74 (273). — P. 330—340.
• Knorr W. R. Plato and Eudoxus on the planetary motions // Journal for the History of Astronomy. — 1990. — № 21. — P. 313—329.
• Mendell H. Reflections on Eudoxus, Callippus and their Curves: Hippopedes and Callippopedes // Centaurus. — 1998. — № 40. — P. 177—275.
• Riddel R. C. Eudoxan mathematics and the Eudoxan spheres // Archive for History of Exact Sciences. — 1979. — № 20. — P. 1—19.
• Wright L. The astronomy of Eudoxus: geometry or physics? // Stud. Hist. and Phil. Sci. — 1973. — № 4. — P. 165—172.
• Yavetz I. On the homocentric spheres of Eudoxus // Archive for History of Exact Sciences. — 1998. — № 52. — P. 221—278.
• Yavetz I. A new role for the hippopede of Eudoxus // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — № 56. — P. 69—93.

• Родин А. В. Евдокс (Новая философская энциклопедия)  (неопр.). Дата обращения: 27 июня 2015.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Евдокс Книдский (англ.) — биография в архиве MacTutor.
• McConnell C. S. Models of Planetary Motion from Antiquity to the Renaissance (англ.). Дата обращения: 8 ноября 2014. Архивировано из оригинала 19 июля 2011 года.
• Mendell H. Eudoxos of Knidos (Eudoxus of Cnidus): astronomy and homocentric spheres (англ.). Дата обращения: 8 ноября 2014. Архивировано 16 мая 2011 года.
• Vicentini M. Models for planetary motion: from the homocentric spheres to epicycles and heliocentric orbits (англ.) (недоступная ссылка — история). Дата обращения: 8 ноября 2014.

Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии.