Икосододекаэдр

Икосододекаэдр
Икосододекаэдр
	; (вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный, квазиправильный
Комбинаторика
32 грани; 60 рёбер; 30 вершин	Χ = 2
Грани	20 треугольников; 12 пятиугольников
Конфигурация вершины	3.5.3.5
Двойственный многогранник	ромботриаконтаэдр
	Развёртка
Классификация
Обозначения	aD
Символ Шлефли	r{3,5}
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)
	Медиафайлы на Викискладе

Икосододека́эдр^[1]^[2]^[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников.

В каждой из его 30 одинаковых вершин сходятся две пятиугольных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен $\pi +\arccos {\frac {3+16{\sqrt {5}}}{45}}\approx 1{,}17\pi .$

Икосододекаэдр имеет 60 рёбер равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142,62^{\circ }.$

Икосододекаэдр можно получить из икосаэдра, «срезав» с него 12 правильных пятиугольных пирамид; либо из додекаэдра, «срезав» с него 20 правильных треугольных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр икосаэдра и додекаэдра.

В координатах

Икосододекаэдр с длиной ребра $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

$\left(0;\;0;\;\pm 2\Phi \right),$
$\left(\pm 1;\;\pm \Phi ;\;\pm \Phi ^{2}\right),$

где $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ — отношение золотого сечения.

Начало координат $(0;0;0)$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если икосододекаэдр имеет ребро длины $a$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

S=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 29{,}3059828a^{2},

V={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 13{,}8355259a^{3}.

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=\Phi a\approx 1{,}6180340a,

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

\rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a.

Вписать в икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри икосододекаэдра с ребром $a$ (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен