Интервалы между простыми числами

Интервалы между простыми числами — это разности между двумя последовательными простыми числами. n-й интервал, обозначаемый ${\displaystyle g_{n}}$, — это разность между (n + 1)-м и n-м простыми числами, то есть

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.}$

Мы имеем: ${\displaystyle g_{1}=1,g_{2}=g_{3}=2,g_{4}=4}$. Последовательность ${\displaystyle g_{n}}$ интервалов между простыми хорошо изучена. Иногда рассматривают функцию ${\displaystyle g(p_{n})}$ вместо ${\displaystyle g_{n}}$

Первые 30 интервалов между простыми числами следующие:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 последовательность A001223 в OEIS.

Для любого простого числа P, символом P# мы будем обозначать праймориал P, то есть произведение всех простых чисел, не превосходящих P. Если Q — это простое число, следующее за P, то последовательность

${\displaystyle P\#+2,P\#+3,\dots ,P\#+(Q-1)}$

является последовательностью из ${\displaystyle Q-2}$ последовательных составных чисел, поэтому существуют интервалы между простыми длины не меньше, чем ${\displaystyle Q-1}$. Следовательно, существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, и для любого простого P существует n такое, что ${\displaystyle g_{n}\geqslant P}$ (Очевидно, что для этого мы можем выбрать n таким, что ${\displaystyle p_{n}}$ будет наибольшим простым числом, не превосходящим ${\displaystyle P\#+2}$.). Другой способ увидеть, что существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, использует тот факт, что множество простых чисел имеет нулевую плотность, согласно теореме о распределении простых чисел.

На самом деле, интервал между простыми величины P может встретиться между простыми, гораздо меньшими, чем P#. Например, самая первая последовательность из 71 последовательных составных чисел находится между 31398 и 31468, в то время как 71# является 27-значным числом.

Уже среднее значение интервалов между простыми растёт как натуральный логарифм n.

С другой стороны, гипотеза о простых близнецах утверждает, что ${\displaystyle g_{n}=2}$ для бесконечно многих n.

Интервалы между простыми могут быть оценены сверху и снизу с помощью функции Якобсталя (последовательность A048670 в OEIS).

На 16 апреля 2022 года наибольший известный интервал между 208095-значными числами, определёнными как вероятно простые, имеет длину 7186572 и M = 14.9985. Он был найден Michiel Jansen с помощью программы, созданной J. K. Andersen.^[1][2]

На 8 марта 2013 года наибольший известный интервал между 18662-значными доказанными простыми числами имеет длину 1113106 и M = 25.90. Он был найден P. Cami, M. Jansen и J. K. Andersen.^[3][4]

Отношение M=g_n/ln(p_n) показывает, во сколько раз данный интервал g_n отличается от среднего интервала между простыми вблизи простого числа p_n. На 2017 год наибольшее известное значение M=41,93878373 обнаружено для интервала длиной 8350, следующего за 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Этот рекорд найден в процессе распределённых вычислений Gapcoin^[5].

Отношение S=g_n/ln²p_n (oтношение Крамера — Шенкса — Грэнвилля) изучают в связи с гипотезой Крамера, утверждающей, что ${\displaystyle g_{n}=O(\ln ^{2}p_{n})}$. Если не рассматривать аномально высокие значения S, наблюдающиеся для ${\displaystyle p_{n}=2,3,7,}$ то наибольшее известное значение S=0,9206386 обнаружено для интервала длиной 1132, следующего за 16-значным простым числом 1693182318746371. Этот рекорд нашёл в 1999 году Bertil Nyman^[6] (последовательность A111943 в OEIS содержит это и все предшествующие простые числа ${\displaystyle p_{n}\geq 23}$, соответствующие рекордным значениям S).

Будем говорить, что ${\displaystyle g_{n}}$ является максимальным интервалом, если для всех ${\displaystyle k<n}$ будет ${\displaystyle g_{k}<g_{n}}$. Между первыми ${\displaystyle n}$ простыми числами наблюдается приблизительно ${\displaystyle 2\ln n}$ максимальных интервалов^[7]; см. также последовательность A005250 в OEIS.

Первые 81 максимальных интервалов
(n не приводится; см. последовательность A005669 в OEIS)

От 1 до 30 # gn pn 1 1 2 2 2 3 3 4 7 4 6 23 5 8 89 6 14 113 7 18 523 8 20 887 9 22 1129 10 34 1327 11 36 9551 12 44 15683 13 52 19609 14 72 31397 15 86 155921 16 96 360653 17 112 370261 18 114 492113 19 118 1349533 20 132 1357201 21 148 2010733 22 154 4652353 23 180 17051707 24 210 20831323 25 220 47326693 26 222 122164747 27 234 189695659 28 248 191912783 29 250 387096133 30 282 436273009

От 31 до 60 # gn pn 31 288 1294268491 32 292 1453168141 33 320 2300942549 34 336 3842610773 35 354 4302407359 36 382 10726904659 37 384 20678048297 38 394 22367084959 39 456 25056082087 40 464 42652618343 41 468 127976334671 42 474 182226896239 43 486 241160624143 44 490 297501075799 45 500 303371455241 46 514 304599508537 47 516 416608695821 48 532 461690510011 49 534 614487453523 50 540 738832927927 51 582 1346294310749 52 588 1408695493609 53 602 1968188556461 54 652 2614941710599 55 674 7177162611713 56 716 13829048559701 57 766 19581334192423 58 778 42842283925351 59 804 90874329411493 60 806 171231342420521

От 61 до 80 # gn pn 61 906 218209405436543 62 916 1189459969825483 63 924 1686994940955803 64 1132 1693182318746371 65 1184 43841547845541059 66 1198 55350776431903243 67 1220 80873624627234849 68 1224 203986478517455989 69 1248 218034721194214273 70 1272 305405826521087869 71 1328 352521223451364323 72 1356 401429925999153707 73 1370 418032645936712127 74 1442 804212830686677669 75 1476 1425172824437699411 76 1488 5733241593241196731 77 1510 6787988999657777797 78 1526 15570628755536096243 79 1530 17678654157568189057 80 1550 18361375334787046697 81 1552 18470057946260698231 82 83 84 85 86 87 88 89 90

19 июня 2021 года Craig Loizides сообщил о нахождении 81-го кандидата (g_n=1552 p_n=18470057946260698231) и 15 июля 2021 года — о нахождении 82-го кандидата (g_n=1572 p_n=18571673432051830099), отметив, что эти результаты были получены с помощью его собственного кода для графического процессора, и не являются 100% достоверными.^[8]

25 августа 2023 года стартовал проект по проверке этих двух результатов с помощью программы Gapfinder для ОС Windows, работающей на центральном процессоре. Завершение проекта ожидается в 2024-м году.^[9]

83-й (g_n=1614 p_n=70835512978308848889799) и 84-й кандидаты (g_n=1638 p_n=70835517346711648260809) также были найдены Craig Loizides в 2021 году. Они состоят уже из 23 десятичных цифр, и их проверка потребует неопределенно долгого времени.^[10]

Сложность поиска и подтверждения рекордов выше 80-го заключается в переходе через пороговое значение 2⁶⁴ (разрядная сетка ЭВМ), что требует создания/использования специализированного программного обеспечения, при этом выполнение математических операций над числами длиннее 64 бит существенно замедляется.

Уже во второй тысяче имеется интервал, длиной 34 числа, в котором нет простых чисел — (1327—1361). Причём, этот интервал удерживает свой рекорд длины до десятой тысячи. Лишь в девятой тысяче имеется второй интервал такой же длины — (8467—8501), а в десятой — более длинный интервал (36 чисел) — (9551—9587), который и является самым длинным интервалом первых десяти тысяч. Имеется также интервал длиной 32 числа — (5591—5623).

Постулат Бертрана утверждает, что для любого k всегда существует хотя бы одно простое число между k и 2k, поэтому, в частности, ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}$, откуда ${\displaystyle g_{n}<p_{n}}$.

Теорема о распределении простых чисел говорит, что «средняя длина» интервалов между простым p и следующим простым числом имеет порядок ${\displaystyle \ln p}$. Фактическая длина интервалов может быть больше или меньше этого значения. Однако, из теоремы о распределении простых чисел можно вывести, верхнюю оценку для длины интервалов простых чисел: для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое N, что для всех ${\displaystyle n>N}$ будет ${\displaystyle g_{n}<\varepsilon p_{n}}$.

Хохайзель первым показал^[11] что существует такое постоянное ${\displaystyle \theta <1}$

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\ln x}}}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$

отсюда следует, что

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },}$

для достаточно большого n.

Отсюда следует, что интервалы между простыми становятся сколь угодно меньше по отношению к простым: частное ${\displaystyle {\frac {g_{n}}{p_{n}}}}$ стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

Hoheisel получил возможное значение 32999/33000 для ${\displaystyle \theta }$. Эта оценка была улучшена до 249/250 Хайльброном^[12], и до ${\displaystyle \theta ={\frac {3}{4}}+\varepsilon }$ для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ Чудаковым^[13].

Основное улучшение было получено Ингемом^[14], который показал, что если

${\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}$

для некоторой константы ${\displaystyle c>0}$, где O используется в смысле нотации O большое, то

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\ln x}}}$

для любого ${\displaystyle \theta >{\frac {1+4c}{2+4c}}}$. Здесь, как обычно, ${\displaystyle \zeta }$ обозначает дзета функцию Римана, а ${\displaystyle \pi (x)}$ — функция распределения простых чисел не превосходящих x. Известно, что допускается ${\displaystyle c>{\frac {1}{6}}}$, откуда в качестве ${\displaystyle \theta }$ можно взять любое число, большее ${\displaystyle {\frac {5}{8}}}$. Из результата Ингама сразу следует, что всегда существует простое число между числами ${\displaystyle n^{3}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ для достаточно больших n. Заметим, что ещё не доказана гипотеза Линделёфа, которая утверждает, что в качестве c может быть выбрано любое положительное число, но из неё следует, что всегда существует простое число между ${\displaystyle n^{2}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ для достаточно больших n (см. также Гипотеза Лежандра). Если эта гипотеза верна, то возможно, что необходима ещё более строгая гипотеза Крамера. Одним из достигнутых приближений к гипотезе Лежандра является доказанный факт о том, что ${\displaystyle g(p_{n})=O({p_{n}}^{\frac {21}{40}})}$.^[15]

Мартин Хаксли показал, что можно выбрать ${\displaystyle \theta ={\frac {7}{12}}}$^[16].

Последний результат принадлежит Бакеру, Харману и Пинцу, показавшим, что ${\displaystyle \theta }$ может быть взято равным 0,525.^[15]

В 2005, Дэниел Голдстон, Янос Пинц и Джем Йылдырым доказали, что

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{\ln p_{n}}}=0}$

и позже улучшили это^[17] до

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2}}}<\infty }$

В 2013 Чжан Итан представил статью, где доказывается, что^[18]

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }g_{n}<70\,000\,000.}$

Этот результат многократно улучшался вплоть до

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }g_{n}<247.}$

В частности, отсюда следует, что множество всех пар простых чисел, разницы между которыми не превосходит 246, бесконечно^[19][20].

Роберт Ранкин доказал, что существует константа ${\displaystyle c>0}$ такая, что неравенство

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2}}}}$

сохраняется для бесконечно многих значений n. Наилучшее известное значение для c на текущий момент — это ${\displaystyle c=2e^{\gamma }}$, где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера-Маскерони.^[21] Пауль Эрдёш предложил приз в $5000 за доказательство или опровержение того, что константа c в неравенстве выше может быть сколь угодно большой.^[22]

Здесь возможны ещё лучшие результаты, чем те, которые могут быть получены при предположении истинности гипотезы Римана. Харальд Крамер доказал, что если гипотеза Римана верна, то интервалы ${\displaystyle g(p_{n})}$ удовлетворяют соотношению

${\displaystyle g(p_{n})=O({\sqrt {p_{n}}}\ln p_{n}),}$

(здесь используется нотация O большое). Позже он предположил, что интервалы растут гораздо меньше. Грубо говоря, он предположил, что

${\displaystyle g(p_{n})=O(\ln ^{2}p_{n}).}$

В данный момент на это указывают численные расчёты. Для более детальной информации см. Гипотеза Крамера.

Гипотеза Андрицы утверждает, что

${\displaystyle g(p_{n})<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}$

Это слабое усиление гипотезы Лежандра, которая утверждает, что между любой парой квадратов натуральных чисел существует хотя бы одно простое число.

Интервал ${\displaystyle g_{n}}$ между n-м и (n + 1)-м простым числом является примером арифметической функции. В таком контексте обычно её обозначают ${\displaystyle d_{n}}$ и называют разностью между простыми^[22]. Разность между простыми не является ни мультипликативной, ни аддитивной арифметической функцией^[фр.].

• Гипотеза Римана
• Гипотеза Крамера
• Гипотеза Лежандра
• Гипотеза Фирузбэхт
• Гипотеза Харди — Литтлвуда
• Открытые проблемы в теории чисел

• Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers — Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
• Weisstein, Eric W. Prime Difference Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3143
• Chris Caldwell, Gaps Between Primes