Категория 𝒪

Категория ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ — математический объект в теории представлений полупростых алгебр Ли. Это категория, чьи объекты — определённые представления полупростой алгебры Ли, а морфизмы — гомоморфизмы представлений.

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — (обычно комплексная) полупростая алгебра Ли с подалгеброй Картана^[англ.] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, а ${\displaystyle \Phi }$ — система корней^[англ.] и ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ — система положительных корней. Обозначим ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ пространство корней соответствующее корню ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ и ${\displaystyle {\mathfrak {n}}:=\oplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ — нильпотентная^[англ.] подалгебра.

Если ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль и ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$, то ${\displaystyle M_{\lambda }}$ is the весовое пространство^[англ.]

${\displaystyle M_{\lambda }=\{v\in M;\,\,\forall \,h\in {\mathfrak {h}}\,\,h\cdot v=\lambda (h)v\}.}$

Объекты категории ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ — ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модули ${\displaystyle M}$, такие что

1. ${\displaystyle M}$ — конечнопорождённый
2. ${\displaystyle M=\oplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}M_{\lambda }}$
3. ${\displaystyle M}$ локально ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$-конечен, т.е., для каждого ${\displaystyle v\in M}$, ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$-модуль порождённый ${\displaystyle v}$ — конечномерный.

Морфизмы этой категории — ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-гомоморфизмы этих модулей.

• У каждого модуля в категории ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ есть конечнопорождённое весовое пространство^[англ.].
• Каждый модуль в категории ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ — Нётеров модуль.
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ — абелева категория
• У ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ есть достаточно много проективных и инъективных объектов.
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ замкнута по отношению к подмодулям, частным и конечным прямым суммам
• Объекты в ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$-конечны, т.е., если ${\displaystyle M}$ объект и ${\displaystyle v\in M}$, то подпространство ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})v\subseteq M}$ порождённое ${\displaystyle v}$ под действием центра^[англ.] универсальной обёртывающей алгебры, конечномерное.

• Все конечномерные ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модули и их ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-гоморфизмы принадлежат категории ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$.
• Модуль Верма^[англ.] и обобщенные модули Верма^[англ.] и их ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-гомоморфизмы принадлежат категории ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$.

• Универсальная обёртывающая алгебра
• Категория старшего веса^[англ.]

• Humphreys, James E. (2008), Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category O (PDF), AMS, ISBN 978-0-8218-4678-0, Архивировано из оригинала (PDF) 21 марта 2012, Дата обращения: 23 сентября 2018 Архивная копия от 21 марта 2012 на Wayback Machine

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.