Период повторяемости, интервал повторения — оценка интервала времени между такими событиями, как землетрясение, наводнение или изменение расхода воды, сходной интенсивности или силы. Это статистическая величина, обозначающая средний интервал повторения в течение длительного периода времени. Как правило, её вычисление требуется для анализа риска (в том числе для оценки проектов в зонах с определенным риском), а также измерения сейсмостойкости сооружений в случае повторения землетрясений (с соответствующей интенсивностью).
Уравнение
Интервал повторения =
, где
- n — количество лет наблюдений;
- m — ранг, интенсивность рассматриваемого события. Для наводнений он обычно измеряется в м³/с, для штормовых приливов — с точки зрения высоты подъёма воды, и т.д. для других событий.
Период повторяемости как ожидаемая частота
Теоретически период повторяемости есть обратная вероятность того, что событие наступит в течение года. Например, 10-летнее наводнение имеет
или 10% вероятность наступления в течение года, а 50-летнее наводнение имеет 0,02 или 2% вероятности наступления в течение года.
Таким образом, несмотря на то, что 10-летнее событие произойдет, в среднем, раз в 10 лет, а интенсивность 100-летнего события настолько велика, что оно ожидается только через каждые 100 лет, это всего лишь статистическая величина: ожидаемое количество 100-летних событий за период n лет равно n/100, в смысле математического ожидания. Это не значит, что 100-летние наводнения случаются регулярно, каждые 100 лет. Несмотря на «период повторяемости», в любой 100-летний период, 100-летний шторм может произойти один раз, два раза, или не случится совсем, и вероятность каждого события можно вычислить, как показано ниже.
Расчётный период повторяемости отличается от статистического показателя: он рассчитывается на основе выборки наблюдений, и отличается от теоретического значения при нормальном распределении. То есть он означает не то, что событие определённой интенсивности или больше происходит с 1% вероятности, а только то, что событие наблюдалось только один раз за 100 лет. Это различие важно в случае наблюдений редких событий: например, если аналогичное событие наблюдалось 400 лет назад, то при дальнейших наблюдениях оно может быть классифицировано как 200-летнее событие (если сопоставимое событие происходит чаще) или 500-летнее событие (если не происходит сопоставимого события в течение 100 лет).
Кроме того, невозможно определить интенсивность и период повторяемости 1000-летних событий на основе наблюдений, ввиду наличия единичных записей о них, поэтому вместо этого следует использовать статистическую модель для прогнозирования величины таких (ненаблюдаемых) событий.
Распределение вероятностей
В рассматриваемый период n лет, вероятность наступления данного числа событий k на данном интервале времени T подчиняется закону биномиального распределения. В периоде длительного времени (при увеличении n), сходится к распределению Пуассона.
, где
- T период повторяемости
- m ранг, интенсивность
- n количество наблюдений
Если вероятность наступления события обозначить через р, то вероятность не наступления события равна
.
Биномиальное распределение может быть использовано, чтобы найти вероятность наступления события r раз за период в n лет.
,
где
— биномиальный коэффициент.
Пример
При периоде повторяемости события в 50 лет,
.
Таким образом, вероятность того, что такое событие происходит только один раз в 10 лет, равна
![{\displaystyle \approx 10\times 0.02\times 0.834}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa86cac1a0f7d0c0d3ce167e377e7909997bcd3)
![{\displaystyle \approx 0.167}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19e4438d06bb92f127c399a62452975a30e82b1)
Анализ рисков
Период повторяемости также полезен для анализа рисков (таких, как природные, неотъемлемые, или гидрологические риски)[1]. При расчёте прочности сооружений период повторяемости используется по отношению к проектному сроку жизни сооружения. Это вероятность того, что наступит по крайней мере одно событие, интенсивность которого превысит проектные нормы в течение ожидаемого срока эксплуатации конструкции. Эта вероятность является дополнением к вероятности того, что никакое событие не превысит проектных норм.
Уравнение для оценки этого риска может быть выражено как
![{\displaystyle {\overline {R}}=1-(1-{1 \over T})^{n}=1-(1-P(X\geq {x_{T}}))^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd5217df4f9fd2d89b07a58f44a0372e2c3910d)
где
— выражение вероятности появления события;
- n — ожидаемое время эксплуатации сооружения.
См. также
Примечания
- ↑ Larry W. Mays. Water Resources Engineering. — 2. — John Wiley & Sons, 2010. — 890 p. — ISBN 0470460644, 9780470460641.
Ссылки
- CumFreq, компьютерная программа для расчёта кумулятивных частот, периодов повторяемости и доверительных интервалов