Функция распределения

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина ${\displaystyle X}$ примет значение, меньшее или равное ${\displaystyle x}$, где ${\displaystyle x}$ — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Пусть дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, и на нём определена случайная величина ${\displaystyle X}$ с распределением ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$. Тогда функцией распределения случайной величины ${\displaystyle X}$ называется функция ${\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]}$, задаваемая формулой

${\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x]\right)}$.

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины ${\displaystyle X}$ называют функцию ${\displaystyle F(x)}$, значение которой в точке ${\displaystyle x}$ равно вероятности события ${\displaystyle \{X\leqslant x\}}$, то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых ${\displaystyle X(\omega )\leqslant x}$.

• ${\displaystyle F_{X}}$ непрерывна справа^[1]:

  ${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0+}F_{X}(x+\varepsilon )=F_{X}(x)}$

• ${\displaystyle F_{X}}$ не убывает на всей числовой прямой.
• ${\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0}$.
• ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1}$.
• Распределение случайной величины ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ однозначно определяет функцию распределения.
  • Верно и обратное: если функция ${\displaystyle F(x)}$ удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что ${\displaystyle F(x)}$ является её функцией распределения.
• По определению непрерывности справа, функция ${\displaystyle F_{X}}$ имеет правый предел ${\displaystyle F_{X}(x+)}$ в любой точке ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, и он совпадает со значением функции ${\displaystyle F_{X}(x)}$ в этой точке.
  • В силу неубывания, функция ${\displaystyle F_{X}}$ также имеет и левый предел ${\displaystyle F_{X}(x-)}$ в любой точке ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция ${\displaystyle F_{X}}$ либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Внимание! Ниже записаны свойства для другого определения функции распределения - для непрерывной слева!

Из свойств вероятности следует, что ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R} }$, таких что ${\displaystyle a<b}$:

• ${\displaystyle \mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F_{X}(x)}$;
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X\leqslant x)=F_{X}(x+0)}$;
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X>x)=1-F_{X}(x+0)}$;
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X=x)=F_{X}(x+0)-F_{X}(x)}$;
• ${\displaystyle \mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F_{X}(b+0)-F_{X}(a+0)}$;
• ${\displaystyle \mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F_{X}(b+0)-F_{X}(a)}$;
• ${\displaystyle \mathbb {P} (a<X<b)=F_{X}(b)-F_{X}(a+0)}$;
• ${\displaystyle \mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}$;

Если случайная величина ${\displaystyle X}$ дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

${\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots }$,

то функция распределения ${\displaystyle F_{X}}$ этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

${\displaystyle F_{X}(x)=\sum \limits _{i\colon x_{i}<x}p_{i}}$.

Эта функция непрерывна во всех точках ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, таких что ${\displaystyle x\not =x_{i},\;\forall i}$, и имеет разрыв первого рода в точках ${\displaystyle x=x_{i},\;\forall i}$.

Распределение ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ называется непрерывным, если такова его функция распределения ${\displaystyle F_{X}}$. В этом случае:

${\displaystyle \mathbb {P} (X=x)=0,\;\forall x\in \mathbb {R} }$,

и

${\displaystyle F_{X}(x-0)=F_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} }$,

а следовательно формулы имеют вид:

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in |a,b|)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}$,

где ${\displaystyle |a,b|}$ означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Распределение ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция ${\displaystyle f_{X}(x)}$, такая что:

${\displaystyle F_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!f_{X}(t)\,dt}$.

Функция ${\displaystyle f_{X}}$ называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если ${\displaystyle f_{X}\in C(\mathbb {R} )}$, то ${\displaystyle F_{X}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$, и

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} }$.

Иногда в иностранной литературе берётся такое определение функции распределения:

${\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x]\right)}$.

Определённая так функция распределения будет непрерывна справа, а не слева.

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ фиксированное вероятностное пространство, и ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ — случайный вектор. Тогда распределение ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$, называемое распределением случайного вектора ${\displaystyle X}$ или совместным распределением случайных величин ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, является вероятностной мерой на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Функция этого распределения ${\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$ задаётся по определению следующим образом:

${\displaystyle F_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathbb {P} (X_{1}<x_{1},\ldots ,X_{n}<x_{n})\equiv \mathbb {P} ^{X}\left(\prod \limits _{i=1}^{n}(-\infty ,x_{i})\right)}$,

где ${\displaystyle \prod }$ в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для ${\displaystyle n>1}$.

• Плотность вероятности

• Н.И.Чернова. Теория вероятностей. Свойства функций распределения