Polprostor

Polprostor je v geometriji vsak izmed dveh delov v katera deli ravnina trirazsežni evklidski prostor. To lahko rečemo tudi tako: Polprostor je vsak izmed dveh delov v katera deli hiperravnina afini prostor.

Poznamo odprte in zaprte polprostore. Odprti polprostor je vsaka izmed dveh odprtih množic, ki ju dobimo z odštevanjem hiperravnine od afinega prostora. Zaprti polprostor je unija odprtega polprostora in hiperravnine, ki ga definira. V dvarazsežnem prostoru imenujemo polprostor polravnina, ki pa je seveda lahko odprt ali zaprt. Kadar je polprostor enorazsežen prostor, ga imenujemo poltrak (tudi žarek).

Polprostor lahko opišemo z linearno neenakostjo, ki jo dobimo iz linearne enačbe, ki določa hiperravnino.

Stroga neenakost

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b

določa odprti polprostor.

Pri tem pa neenakost

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq b

določa zaprti polprostor . Pri tem se seveda predpostavlja, da niso vsa števila a₁, a₂, ..., a_n enaka nič.

Lastnosti

Polprostor je konveksna množica
Vsaka konveksna množica se lahko opiše kot presek polprostorov

Zgornji in spodnji polprostor

Odprti (zaprti) zgornji polprostor je polprostor vseh (x₁, x₂, ..., x_n) tako, da je x_n > 0 (≥ 0). Odprti (zaprti) spodnji polprostor je definiran podobno. Zahteva se samo, da je x_n negativen (ne-pozitiven manjši ali enak nič).