Центар масе

Центар масе је тачка на објекту (или систему) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ у којој се може сматрати да је концентрисана читава маса објекта. Захваљујући овоме, читав објекат се може третирати као материјална тачка, чија је маса једнака укупној маси система, и његово кретање се може поредити са кретањем овакве материјалне тачке. У центру масе је нападна тачка гравитационе силе која делује на тело.

Тежиште представља тачку на објекту у којој би се налазио центар масе када би објекат био константне густине.

Грчки физичар и математичар Архимед је први увео појам центра масе и открио својства полуге. Закон полуге дефинише добијање вишеструке силе на једном њеном крају, променом растојања између ослонца и крајева полуге. Закон је сачињен од седам постулата који су наведени у Архимедовом делу "О равнотежи равних тела или о тежиштима равних тела". Архимед је под тежиштем разумео тачку која има особину да остане у равнотежи кад се за њу обеси тело без обзира на положај који му је дат.

,,Дајте ми ослонац и довољно дугачку полугу и променићу свет."^[1]

Најједноставнији пример јесте пример клацкалице: Имамо дате две тачке ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle P}$ на крајевима клацкалице са својим масама ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}\ (m_{1},m_{2}\neq 0)}$ што ћемо означити са ${\displaystyle S(m_{1}),\ P(m_{2})}$ и нека је ${\displaystyle T}$ тачка ослонца чији се положај тражи да би клацкалица била у равнотежи. За ${\displaystyle T}$ важи:

${\displaystyle |ST|:|TP|=m_{2}:m_{1}\Longleftrightarrow m_{1}{\overrightarrow {TS}}+m_{2}{\overrightarrow {TP}}={\overrightarrow {0}}}$

Из наведене еквиваленције се закључује да се у тежишту маса ${\displaystyle T}$ силе поништавају.

Увођењем произвољне тачке ${\displaystyle O,}$ може се извести дефиниција тежишта маса тачака ${\displaystyle S(m_{1})}$ и ${\displaystyle P(m_{2})}$:

${\displaystyle m_{1}({\overrightarrow {TO}}+{\overrightarrow {OS}})+m_{2}({\overrightarrow {TO}}+{\overrightarrow {OP}})={\overrightarrow {0}}}$

Из ове формуле се лако израчунава вектор положаја тачке ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {OT}}={\frac {1}{m_{1}+m_{2}}}(m_{1}{\overrightarrow {OS}}+m_{2}{\overrightarrow {OP}})}$

Центар масе ${\displaystyle n}$ тачака се израчунава формулом:

${\displaystyle {\overrightarrow {OT}}={\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}}$

• Тежишна дуж је дуж која спаја теме са центром наспрамне странице.
  • ${\displaystyle S_{2}}$ - центар масе тачака ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle Q}$
  • ${\displaystyle SS_{1}}$ - тежишна дуж из ${\displaystyle S}$
• Тежиште троугла је центар маса троугла са једнаким оптерећењима/масама у теменима троугла.

Теорема: Тежишне дужи се секу у центру маса.

Аналогно претходном случају може се израчунати тежиште масе и за три тачке ${\displaystyle S(m_{1}),}$ ${\displaystyle P(m_{2})}$ и ${\displaystyle Q(m_{3})}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {0}}=m_{1}{\overrightarrow {TS}}+m_{2}{\overrightarrow {TP}}+m_{3}{\overrightarrow {TQ}}}$

Ово се физички може гледати као троугао од чврстог материјала који је у равнотежи уколико је ослонац у тачки ${\displaystyle T}$, а маса сконцентрисана у теменима.

Увођењем тачке ${\displaystyle O}$ помоћу претходне формуле се може изести формула за израчунавање вектора положаја:

${\displaystyle {\overrightarrow {OT}}={\frac {1}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}(m_{1}{\overrightarrow {OS}}+m_{2}{\overrightarrow {OP}}+m_{3}{\overrightarrow {OQ}})}$

Код хомогених тела центар масе се налази у пресеку дијагонала.

Уколико је хомогено тело у облику латиничног слова "L" центар масе се проналази у неколико корака:

1. Тело се подели на два четвороугла као на слици (слика 2) . Одреди се центар масе оба четвороугла (центар масе четвороугла је у пресеку његових дијагонала). Дуж ${\displaystyle AB}$ спаја тежишта ова два четвороугла.
2. Тело се подели на два четвороугла као на слици (слика 3). Одреди се центар масе оба четвороугла (центар масе четвороугла је у пресеку његових дијагонала). Дуж ${\displaystyle CD}$ спаја тежишта ова два четвороугла
3. Пресечна тачка ${\displaystyle (O)}$ дужи ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ је центар масе овог тела

У зависности од објекта за који се израчунава центар масе постоје два случаја. У дискретном случају када је дато ${\displaystyle n}$ материјалних тела (${\displaystyle n}$ је коначан број), сваки са масом ${\displaystyle m_{i}}$ који су распоређени у некој равни тако да се свако материјално тело налази у тачки ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

${\displaystyle M=\sum m_{i}}$ је укупна маса система. Свако тело мора имати момент силе око сваке осе. Одакле следи:

Момент око ${\displaystyle x}$-осе:

${\displaystyle \mu _{x}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}}$

Момент око ${\displaystyle y}$-осе:

${\displaystyle \mu _{y}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}}$

Тачка ${\displaystyle T}$ која је центар масе система има координате ${\displaystyle T={\frac {1}{M}}(\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i},\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}).}$

У случају када је дат непрекидан објекат ове се формуле могу уопштити тако што се уместо суме користи ингеграл.

Механички систем представља скуп материјалних тачака или тела где су положаји и кретања свих материјалних тачака или тела међусобно зависни. При томе се претпоставља постојање сила интеракције између појединих честица (тела). Круто тело се може сматрати механичким системом честица од којих је и састављено. Класичан пример механичког система је Сунчев систем. У њему су сва тела повезана међусобним силама интеракције.

Кретање система ће сигурно зависити, осим од сила које делују на њега, од укупне масе система и расподеле масе у систему. Маса система је једнака аритметичкој средини маса свих честица (тела) које га чине ${\displaystyle m=\sum _{k}m_{k}}$. При разматрању кретања крутих тела и других механичких система од важности је тачка која се назива центром масе. Ако се систем састоји од коначног броја тачака, чије масе су ${\displaystyle m_{1},m_{2}...,m_{k}...,m_{n}}$ (${\displaystyle n}$ је укупан број тих тачака), центром масе се назива тачка ${\displaystyle C}$ чији је вектор положаја ${\displaystyle {\vec {r}}_{c}}$ одређен изразом

${\displaystyle {\vec {r}}_{c}}$= ${\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\vec {r}}_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}}$= ${\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\vec {r}}_{k}}{m}}}$

где су ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}}$..., ${\displaystyle {\vec {r}}_{k}}$..., ${\displaystyle {\vec {r}}_{n}}$ вектори положаја у односу на одабрану тачку ${\displaystyle O.}$

У Декартовом координатном систему, координате положаја центра масе су одређене са:

${\displaystyle x_{C}=\ {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}x_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}}$

${\displaystyle y_{C}=\ {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}y_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}}$

${\displaystyle z_{C}=\ {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}z_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}}$

Треба приметити да центар масе није материјална тачка, већ се ради о геометријској тачки.

Центар масе не мора бити ни на једној од материјалних тачака (или телу, ако је оно у питању). Центар масе карактерише расподелу масе у механичком систему (или телу). У случају крутих тела, која имају континуалну расподелу масе, мора се размишљати на "диференцијални" начин. У мислима тело ће се поделити на елементарне масе ${\displaystyle dm,}$ па израз за центар масе тела поприма облик

${\displaystyle {\vec {r}}_{c}}$=${\displaystyle {\frac {\int \limits _{m}\,{\vec {r}}\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}}$

У Декартовим координатама, координате положаја центра масе тела су дате са

${\displaystyle x_{C}=\ {\frac {\int \limits _{m}\,x\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}}$

${\displaystyle y_{C}=\ {\frac {\int \limits _{m}\,y\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}}$

${\displaystyle z_{C}=\ {\frac {\int \limits _{m}\,z\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}}$

Центар масе има важан утицај у астрономији и астрофизици, где се обично назива и барицентар. Барицентар је тачка између два објекта у којој они балансирају између себе; то је центар масе где два или више небеских тела круже једни око других.

Маса Месеца, иако 81,3 пута мања од масе Земље, није занемарљива. Она делује на Земљу и заправо Месец не кружи око Земље, већ Месец и Земља осцилирају око једне заједничке тачке - барицентра. И заправо тачка у којој се налази барицентар обилази Сунце по елиптичној путањи док центри Месеца и Земље осцилирају око те тачке.

• Motion of the Center of Mass shows that the motion of the center of mass of an object in free fall is the same as the motion of a point object.
• The Solar System's barycenter, simulations showing the effect each planet contributes to the Solar System's barycenter.
• Center of Gravity at Work, video showing bjects climbing up an incline by themselves.

Центар масе на Викимедијиној остави.