Dubbelt Mersennetal

Dubbelt Mersennetal är inom matematiken ett Mersennetal av formen

${\displaystyle M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1}$

där p är en Mersenneprimtalsexponent.

Talföljden av dubbla Mersennetal börjar med:^[1]

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$

${\displaystyle M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}$

(talföljd A077586 i OEIS)

Ett dubbelt Mersennetal som även är primtal kallas för dubbelt Mersenneprimtal. Eftersom ett Mersennetal M_p kan vara primtal om och endast om p är ett primtal (se artikeln Mersenneprimtal för ett bevis) kan ett Mersennetal ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ vara primtal om M_p i sig är ett Mersenneprimtal. De första värdena för p, för vilka M_p är ett primtal är p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. Av dessa är ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ känt för att vara primtal för p = 2, 3, 5, 7. För p = 13, 17, 19, 31 har explicita faktorer funnits som visar att motsvarande dubbla Mersennetal är inte primtal. Således, den minsta kandidaten för nästa dubbla Mersenneprimtal är ${\displaystyle M_{M_{61}}}$ eller 2^{2305843009213693951} − 1. Cirka 1,695 × 10^{694127911065419641} är för stort för alla nu kända primtalstest. Talet har ingen primtalsfaktor lägre än 4 × 10³³.^[2] Det finns förmodligen inga andra dubbla Mersenneprimtal än de fyra redan kända.

Skriv ${\displaystyle M(p)}$ istället för ${\displaystyle M_{p}}$. Ett specialfall av dubbla Mersennetal är den rekursivt definierade följden:

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), … (talföljd A007013 i OEIS)

som kallas Catalan–Mersennetal.^[3] Det sägs att^[1] Catalan kom med denna följd efter upptäckten av prima av M(127)=M(M(M(M(2)))) av Lucas år 1876.^[4] Catalan förmodade att de, upp till en viss gräns, är alla primtal.^{[förtydliga]}

Även om de fem första termerna (upp till ${\displaystyle M(127)}$) är primtal, kan inga kända metoder avgöra om något mer av dessa tal är primtal (i någon rimlig tid) bara för att talen i fråga är alltför stora, om inte prima av M(M(127)) motbevisas.

I Futurama-filmen The Beast with a Billion Backs ses det dubbla Mersennetalet ${\displaystyle M_{M_{7}}}$ i kort som "ett elementärt bevis på Goldbachs hypotes". I filmen kallas detta tal för ett "marsianprimtal" (engelska: martian prime).

• Perfekt tal
• Fermattal
• Wieferichprimtal

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Double Mersenne number, 17 december 2013.

• Dickson, L. E. (1971) [1919], History of the Theory of Numbers, New York: Chelsea Publishing 

• Weisstein, Eric W., "Double Mersenne Number", MathWorld. (engelska)
• Tony Forbes, En sökning efter en faktor av MM61.
• Status för faktorisering av dubbla Mersennetal (engelska)
• Sök efter dubbla Mersenneprimtal (engelska)
• Operazione Doppi Mersennes (inloggning krävs) (engelska)