Srinivasa Aiyangar Ramanujan
Född 22 december 1887 [ 1] [ 2] [ 3] Erode , Indien Död 26 april 1920 [ 1] [ 2] [ 3] Kumbakonam [ 4] Indien Medborgare i Brittiska Indien Utbildad vid Trinity College, Cambridge , 1916 [ 5] [ 6] Town Higher Secondary School , 1904 [ 5] Government Arts College, Kumbakonam , no value , 1905 [ 5] Pachaiyappa's College , no value , 1907 [ 5] Universitetet i Cambridge Sysselsättning Matematiker [ 7] Arbetsgivare Chennai Port (1912–1914) [ 5] Trinity College, Cambridge (1916–1919) [ 5] Noterbara verk Landau–Ramanujans konstant , Ramanujans theta-funktion , Rogers–Ramanujan-identiteterna , Ramanujan-Soldners konstant , Ramanujans summa , Ramanujan–Nagells ekvation , Ramanujan–Peterssons förmodan , Hardy-Ramanujans sats , Rogers–Ramanujans kedjebråk och Ramanujans taufunktion Maka Janaki Utmärkelser Fellow of the Royal Society (1918) (1918) Namnteckning Redigera Wikidata
Srinivasa Aiyangar Ramanujan (engelskt uttal: [ˈsriːniˌvɑːsə_rɑːˈmɑːnʊdʒən] listen (fil ) 22 december 1887 i Erode i nuvarande Tamil Nadu , död i tuberkulos 26 april 1920 i Kumbakonam , var en indisk autodidakt matematiker .[ 8]
Biografi
Ramanujan är mest känd för att han hade en enastående intuitiv förmåga vad gällde arbete med tal och formler.
Ramanujan var enligt sin levnadstecknare P. V. Seshu Aiyar äldsta barnet till en bokhållare hos en klädhandlare i staden Kumbakonam cirka 25 mil sydväst om Chennai och modern var en kvinna med ”utpräglat sunt förnuft” från Erode, troligen är det hans födelseort[ 9] brahmanska familjer. Ramanujan började skolan vid fem års ålder och fick vid sju års ålder en friplats vid stadsgymnasiet. Han lär ha varit lugn och meditativ; med ett utomordentligt minne och intresse för bland annat magiska kvadrater [ 10] Synopsis of Pure mathematics , vilket anges ha öppnat matematikens värld för honom. Han kom in vid högskolan i Kumbakonam och fick ett stipendium , som han förlorade året därpå på grund av bristande kunskaper i engelska. Han begav sig till Madras där han tenterade för den preliminära filosofiska examen, men misslyckades. Under några år fortsatte han sitt självständiga arbete med matematik, gifte sig 1909 och måste ta fast anställning för försörjningens skull. En matematikintresserad distriktsfogde, Ramachandra Rao, kom att bistå Ramanujan både ekonomiskt och med kontakter. Åren 1911–1912 fick Ramannujan artiklar publicerade i Journal of the Indian Mathematical Society och i januari 1913 fick han hjälp att skriva ett brev till den engelske matematikern Godfrey Harold Hardy som sedan försökte få över honom till Cambridge i England , vilket han vägrade på grund av kastfördomar och moderns vägran att ge sitt bifall. I maj 1913 erhöll Ramannujan med hjälp av sina vänner ett stipendium, så han kunde sluta sin tjänst som kanslist vid hamnstyrelsen. Slutligen gav modern sitt tillstånd och han for till England. Hans kunskaper i modern matematik var häpnadsväckande begränsade, liksom deras djup och originalitet inom hans intressesfär, som huvudsakligen rörde talteorin och ofta bestod av formler utan bevis[ 11]
Våren 1917 sviktade för första gången Ramannujans hälsa på grund av tuberkulos och han var inlagd på sjukhem och sanatorier . Han valdes in i Royal Society och blev ledamot av Trinity College , vilket uppmuntrade honom. Året därpå skedde förbättring i hälsotillståndet och han återupptog sitt arbete, men återvände 1919 till Indien, där han avled året därpå.
En ofta berättad anekdot är den när hans vän, den engelske matematikern G.H. Hardy , kom till honom då han låg sjuk. Hardy sade att han hade åkt med en taxi med nummer 1729, vilket syntes Hardy vara ett helt ointressant tal. Ramanujan svarade då genast att det tvärtom är ett mycket intressant tal, då det är det minsta heltal som kan skrivas som summan av två kuber på två olika sätt. Sådana tal kallas med utgångspunkt från detta "taxital ". (Anmärkning: 1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³)
En annan matematiker, John Edensor Littlewood , lär ha kommenterat anekdoten med att varje positivt heltal är en av Ramanujans personliga vänner .
Ramanujan formulerade Brocards problem 1913 oberoende av dess tidigare franske upptäckare Henri Brocard .
Srinivasa Ramanujans liv porträtteras i filmen The Man Who Knew Infinity (2015)
Matematiska resultat
Ramanujan bevisade flera fascinerande elementära resultat:
(
3
x
2
+
5
x
y
− − -->
5
y
2
)
3
+
(
4
x
2
− − -->
4
x
y
+
6
y
2
)
3
+
(
5
x
2
− − -->
5
x
y
− − -->
3
y
2
)
3
=
(
6
x
2
− − -->
4
x
y
+
4
y
2
)
3
{\displaystyle (3x^{2}+5xy-5y^{2})^{3}+(4x^{2}-4xy+6y^{2})^{3}+(5x^{2}-5xy-3y^{2})^{3}=(6x^{2}-4xy+4y^{2})^{3}}
(
n
+
a
)
2
+
x
a
+
x
(
n
+
a
)
2
+
(
x
+
n
)
a
+
(
x
+
n
)
(
n
+
a
)
2
+
(
x
+
2
n
)
a
+
(
x
+
2
n
)
… … -->
{\displaystyle {\sqrt {(n+a)^{2}+x\,a+x\,{\sqrt {(n+a)^{2}+(x+n)\,a+(x+n)\,{\sqrt {(n+a)^{2}+(x+2n)\,a+(x+2n)\,{\sqrt {\dots }}}}}}}}}
=
x
+
n
+
a
.
{\displaystyle =x\,+\,n\,+\,a.}
Han upptäckte flera approximationer för pi :
9
5
+
9
5
=
3.1416
+
{\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}}
3
4
+
2
4
+
1
2
+
(
2
3
)
2
4
=
2143
22
4
=
3.14159
2652
+
.
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}.}
Några identiteter för rötter:
3
+
2
5
4
3
− − -->
2
5
4
4
=
5
4
+
1
5
4
− − -->
1
=
1
2
(
3
+
5
4
+
5
+
125
4
)
,
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),}
28
3
− − -->
27
3
=
1
3
(
98
3
− − -->
28
3
− − -->
1
)
,
{\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),}
32
5
5
− − -->
27
5
5
3
=
1
25
5
+
3
25
5
− − -->
9
25
5
,
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},}
2
3
− − -->
1
3
=
1
9
3
− − -->
2
9
3
+
4
9
3
.
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.}
Kombinatorik
Ramanujan studerade Bernoullitalen och upptäckte flera av deras fascinerande egenskaper:
(
m
+
3
m
)
B
m
=
{
m
+
3
3
− − -->
∑ ∑ -->
j
=
1
m
/
6
(
m
+
3
m
− − -->
6
j
)
B
m
− − -->
6
j
,
om
m
≡ ≡ -->
0
(
mod
6
)
;
m
+
3
3
− − -->
∑ ∑ -->
j
=
1
(
m
− − -->
2
)
/
6
(
m
+
3
m
− − -->
6
j
)
B
m
− − -->
6
j
,
om
m
≡ ≡ -->
2
(
mod
6
)
;
− − -->
m
+
3
6
− − -->
∑ ∑ -->
j
=
1
(
m
− − -->
4
)
/
6
(
m
+
3
m
− − -->
6
j
)
B
m
− − -->
6
j
,
om
m
≡ ≡ -->
4
(
mod
6
)
.
{\displaystyle {{m+3} \choose {m}}B_{m}={\begin{cases}{{m+3} \over 3}-\sum \limits _{j=1}^{m/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},&{\mbox{om}}\ m\equiv 0{\pmod {6}};\\{{m+3} \over 3}-\sum \limits _{j=1}^{(m-2)/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},&{\mbox{om}}\ m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{{m+3} \over 6}-\sum \limits _{j=1}^{(m-4)/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},&{\mbox{om}}\ m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}}
Ramanujan upptäckte ett flertal oändliga serier för π , såsom
1
π π -->
=
2
2
9801
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
(
4
k
)
!
(
1103
+
26390
k
)
(
k
!
)
4
396
4
k
.
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}.}
Ett annat av hans resultat för oändliga serier är
[
1
+
2
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
cos
-->
(
n
θ θ -->
)
cosh
-->
(
n
π π -->
)
]
− − -->
2
+
[
1
+
2
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
cosh
-->
(
n
θ θ -->
)
cosh
-->
(
n
π π -->
)
]
− − -->
2
=
2
Γ Γ -->
4
(
3
4
)
π π -->
{\displaystyle \left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}+\left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}={\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi }}}
för alla
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
Γ Γ -->
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
gammafunktionen . Han bevisade ett flertal redan kända resultat för hypergeometriska serier , men även flera nya:
1
− − -->
5
(
1
2
)
3
+
9
(
1
× × -->
3
2
× × -->
4
)
3
− − -->
13
(
1
× × -->
3
× × -->
5
2
× × -->
4
× × -->
6
)
3
+
⋯ ⋯ -->
=
2
π π -->
{\displaystyle 1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {2}{\pi }}}
1
+
9
(
1
4
)
4
+
17
(
1
× × -->
5
4
× × -->
8
)
4
+
25
(
1
× × -->
5
× × -->
9
4
× × -->
8
× × -->
12
)
4
+
⋯ ⋯ -->
=
2
3
2
π π -->
1
2
Γ Γ -->
2
(
3
4
)
.
{\displaystyle 1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {2^{\frac {3}{2}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.}
Det första resultatet var redan känt, men det andra var antagligen ett nytt resultat.
Andra resultat:
4
π π -->
=
1123
882
− − -->
22183
882
3
1
2
1
⋅ ⋅ -->
3
4
2
+
44443
882
5
1
⋅ ⋅ -->
3
2
⋅ ⋅ -->
4
1
⋅ ⋅ -->
3
⋅ ⋅ -->
5
⋅ ⋅ -->
7
4
2
⋅ ⋅ -->
88
2
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {{4} \over {\pi }}={{1123} \over {882}}-{{22183} \over {882^{3}}}{{1} \over {2}}{{1\cdot 3} \over {4^{2}}}+{{44443} \over {882^{5}}}{{1\cdot 3} \over {2\cdot 4}}{{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} \over {4^{2}\cdot 88^{2}}}\cdots }
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
(
2
k
k
)
1
2
2
k
(
2
k
+
1
)
2
=
π π -->
2
log
-->
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{2k \choose k}{{1} \over {2^{2k}(2k+1)^{2}}}={{\pi } \over {2}}\log 2}
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
(
2
k
k
)
3
k
2
4
k
(
2
k
+
1
)
2
=
π π -->
3
3
log
-->
(
3
)
− − -->
2
π π -->
2
27
+
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
1
(
3
k
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{2k \choose k}{{3^{k}} \over {2^{4k}(2k+1)^{2}}}={{\pi } \over {3{\sqrt {3}}}}\log(3)-2{{\pi ^{2}} \over {27}}+\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(3k+1)^{2}}}}
lim
x
→ → -->
∞ ∞ -->
e
x
3
9
− − -->
x
12
∏ ∏ -->
k
=
1
x
(
k
x
)
k
2
=
e
ζ ζ -->
(
3
)
4
π π -->
2
.
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{{{x^{3}} \over {9}}-{x \over {12}}}\prod _{k=1}^{x}{\biggl (}{{k} \over {x}}{\biggr )}^{k^{2}}=e^{{\zeta (3)} \over {4\pi ^{2}}}.}
Integraler
Ramanujan räknade ut massor med intressanta integraler, såsom
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
1
+
x
2
/
(
b
+
1
)
2
1
+
x
2
/
(
a
)
2
× × -->
1
+
x
2
/
(
b
+
2
)
2
1
+
x
2
/
(
a
+
1
)
2
× × -->
⋯ ⋯ -->
d
x
=
π π -->
2
× × -->
Γ Γ -->
(
a
+
1
2
)
Γ Γ -->
(
b
+
1
)
Γ Γ -->
(
b
− − -->
a
+
1
2
)
Γ Γ -->
(
a
)
Γ Γ -->
(
b
+
1
2
)
Γ Γ -->
(
b
− − -->
a
+
1
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\cfrac {1+{x}^{2}/({b+1})^{2}}{1+{x}^{2}/({a})^{2}}}\times {\cfrac {1+{x}^{2}/({b+2})^{2}}{1+{x}^{2}/({a+1})^{2}}}\times \cdots \;\;dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma (a+{\frac {1}{2}})\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (a)\Gamma (b+{\frac {1}{2}})\Gamma (b-a+1)}}.}
Ramanujan härledde ett stort antal intressanta formler för kedjebråk :
1
+
1
1
⋅ ⋅ -->
3
+
1
1
⋅ ⋅ -->
3
⋅ ⋅ -->
5
+
1
1
⋅ ⋅ -->
3
⋅ ⋅ -->
5
⋅ ⋅ -->
7
+
1
1
⋅ ⋅ -->
3
⋅ ⋅ -->
5
⋅ ⋅ -->
7
⋅ ⋅ -->
9
+
⋯ ⋯ -->
+
1
1
+
1
1
+
2
1
+
3
1
+
4
1
+
5
1
+
⋯ ⋯ -->
=
e
⋅ ⋅ -->
π π -->
2
{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots +{1 \over 1+{1 \over 1+{2 \over 1+{3 \over 1+{4 \over 1+{5 \over 1+\cdots }}}}}}={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2}}}}
φ φ -->
+
2
− − -->
φ φ -->
=
e
− − -->
2
π π -->
/
5
1
+
e
− − -->
2
π π -->
1
+
e
− − -->
4
π π -->
1
+
e
− − -->
6
π π -->
1
+
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\sqrt {\varphi +2}}-\varphi ={\cfrac {e^{-2\pi /5}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\,\cdots }}}}}}}}}
där
φ φ -->
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
gyllene snittet ;
1
1
+
e
− − -->
2
π π -->
5
1
+
e
− − -->
4
π π -->
5
1
+
e
− − -->
6
π π -->
5
⋱ ⋱ -->
=
(
5
1
+
5
5
3
4
(
5
− − -->
1
2
)
5
2
− − -->
1
− − -->
5
+
1
2
)
⋅ ⋅ -->
e
2
π π -->
/
5
.
{\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{\displaystyle 1+{\frac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{\displaystyle 1+{\frac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{\ddots }}}}}}}}={\Biggl (}{\frac {\sqrt {5}}{1+^{5}{\sqrt {5^{\frac {3}{4}}({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})^{\frac {5}{2}}-1}}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}{\Biggr )}\cdot e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.}
Q-serier
1
ψ ψ -->
1
[
a
b
;
q
,
z
]
=
∑ ∑ -->
n
=
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
(
a
;
q
)
n
(
b
;
q
)
n
z
n
=
(
b
/
a
,
q
,
q
/
a
z
,
a
z
;
q
)
∞ ∞ -->
(
b
,
b
/
a
z
,
q
/
a
,
z
;
q
)
∞ ∞ -->
{\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}
om |q | < 1 och |b /a | < |z | < 1.
Rogers–Ramanujan-identiteterna :
G
(
q
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
q
n
2
(
q
;
q
)
n
=
1
(
q
;
q
5
)
∞ ∞ -->
(
q
4
;
q
5
)
∞ ∞ -->
=
1
+
q
+
q
2
+
q
3
+
2
q
4
+
2
q
5
+
3
q
6
+
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \,}
och
H
(
q
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
q
n
2
+
n
(
q
;
q
)
n
=
1
(
q
2
;
q
5
)
∞ ∞ -->
(
q
3
;
q
5
)
∞ ∞ -->
=
1
+
q
2
+
q
3
+
q
4
+
q
5
+
2
q
6
+
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots \,}
Övriga q -serier:
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
p
(
5
k
+
4
)
q
k
=
5
(
q
5
)
∞ ∞ -->
5
(
q
)
∞ ∞ -->
6
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)q^{k}=5{\frac {(q^{5})_{\infty }^{5}}{(q)_{\infty }^{6}}}}
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
p
(
7
k
+
5
)
q
k
=
7
(
q
7
)
∞ ∞ -->
3
(
q
)
∞ ∞ -->
4
+
49
q
(
q
7
)
∞ ∞ -->
7
(
q
)
∞ ∞ -->
8
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)q^{k}=7{\frac {(q^{7})_{\infty }^{3}}{(q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7})_{\infty }^{7}}{(q)_{\infty }^{8}}}}
där p(n) är partitionsfunktionen . Simpla korollarium av det här är kongruenserna
p
(
5
k
+
4
)
≡ ≡ -->
0
(
mod
5
)
{\displaystyle p(5k+4)\equiv 0{\pmod {5}}}
p
(
7
k
+
5
)
≡ ≡ -->
0
(
mod
7
)
.
{\displaystyle p(7k+5)\equiv 0{\pmod {7}}.}
Ramanujan upptäckte dessutom en tredje kongruens,
p
(
11
k
+
6
)
≡ ≡ -->
0
(
mod
11
)
.
{\displaystyle p(11k+6)\equiv 0{\pmod {11}}.}
Eisensteinserier
Låt
L
(
q
)
=
1
− − -->
24
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
n
q
n
1
− − -->
q
n
=
E
2
(
τ τ -->
)
{\displaystyle L(q)=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}=E_{2}(\tau )}
M
(
q
)
=
1
+
240
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
n
3
q
n
1
− − -->
q
n
=
E
4
(
τ τ -->
)
{\displaystyle M(q)=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{4}(\tau )}
N
(
q
)
=
1
− − -->
504
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
n
5
q
n
1
− − -->
q
n
=
E
6
(
τ τ -->
)
,
{\displaystyle N(q)=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{6}(\tau ),}
då är
q
d
L
d
q
=
L
2
− − -->
M
12
{\displaystyle q{\frac {dL}{dq}}={\frac {L^{2}-M}{12}}}
q
d
M
d
q
=
L
M
− − -->
N
3
{\displaystyle q{\frac {dM}{dq}}={\frac {LM-N}{3}}}
q
d
N
d
q
=
L
N
− − -->
M
2
2
.
{\displaystyle q{\frac {dN}{dq}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}.}
De här formlerna leder till korollarium för aritmetiska funktioner . Om vi definierar
σ σ -->
p
(
0
)
=
1
2
ζ ζ -->
(
− − -->
p
)
,
{\displaystyle \sigma _{p}(0)={\frac {1}{2}}\zeta (-p),\;}
då är
∑ ∑ -->
k
=
0
n
σ σ -->
(
k
)
σ σ -->
(
n
− − -->
k
)
=
5
12
σ σ -->
3
(
n
)
− − -->
1
2
n
σ σ -->
(
n
)
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\frac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\frac {1}{2}}n\sigma (n).}
Ramanujan upptäckte funktioner kända som falska modulära former . Ett exempel är följande funktion:
f
(
q
)
=
∑ ∑ -->
n
≥ ≥ -->
0
q
n
2
(
− − -->
q
;
q
)
n
2
{\displaystyle f(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}} \over (-q;q)_{n}^{2}}}
A000025 i OEIS ).Han upptäckte flera relationer mellan dem. Några exempel är följande (för definitionerna på dessa funktioner se själva artikeln ):
2
ϕ ϕ -->
(
− − -->
q
)
− − -->
f
(
q
)
=
f
(
q
)
+
ψ ψ -->
(
− − -->
q
)
=
θ θ -->
4
(
q
)
∏ ∏ -->
r
>
0
(
1
+
q
r
)
− − -->
1
4
χ χ -->
(
q
)
− − -->
f
(
q
)
=
3
θ θ -->
4
2
(
0
q
3
)
∏ ∏ -->
r
>
0
(
1
− − -->
q
r
)
− − -->
1
2
ρ ρ -->
(
q
)
+
ω ω -->
(
q
)
=
3
(
q
− − -->
1
2
3
8
θ θ -->
2
[
0
,
q
3
2
]
)
2
∏ ∏ -->
r
>
0
(
1
− − -->
q
2
r
)
− − -->
1
v
(
± ± -->
q
)
± ± -->
q
ω ω -->
(
q
2
)
=
1
2
q
− − -->
1
4
θ θ -->
2
(
0
,
q
)
∏ ∏ -->
r
>
0
(
1
+
q
2
r
)
f
(
q
8
)
± ± -->
2
q
ω ω -->
(
± ± -->
q
)
± ± -->
2
q
3
ω ω -->
(
− − -->
q
4
)
=
θ θ -->
3
(
0
,
± ± -->
q
)
θ θ -->
3
(
0
,
q
2
)
2
∏ ∏ -->
r
>
0
(
1
− − -->
q
4
r
)
− − -->
2
{\displaystyle {\begin{aligned}2\phi (-q)-f(q)&=f(q)+\psi (-q)=\theta _{4}(q)\prod _{r>0}\left(1+q^{r}\right)^{-1}\\4\chi (q)-f(q)&=3\theta _{4}^{2}\left(0q^{3}\right)\prod _{r>0}\left(1-q^{r}\right)^{-1}\\2\rho (q)+\omega (q)&=3\left(q^{-{\frac {1}{2}}{\frac {3}{8}}}\theta _{2}\left[0,q^{\frac {3}{2}}\right]\right)^{2}\prod _{r>0}\left(1-q^{2r}\right)^{-1}\\v(\pm q)\pm q\omega \left(q^{2}\right)&={\frac {1}{2}}q^{-{\frac {1}{4}}}\theta _{2}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{2r}\right)\\f\left(q^{8}\right)\pm 2q\omega (\pm q)\pm 2q^{3}\omega \left(-q^{4}\right)&=\theta _{3}(0,\pm q)\theta _{3}\left(0,q^{2}\right)^{2}\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\end{aligned}}}
Matematiska begrepp uppkallade efter Ramanujan
Det finns ett stort antal funktioner, konstanter, satser och förmodanden uppkallade efter Ramanujan. Några exempel är:
Referenser
Noter
^ [a b MacTutor History of Mathematics archive , läst: 22 augusti 2017.[källa från Wikidata]
^ [a b SNAC , SNAC Ark-ID: w66x1fd4 , läs online , läst: 9 oktober 2017.[källa från Wikidata]
^ [a b Find a Grave Find A Grave-ID : 21850 , läs online , läst: 9 oktober 2017.[källa från Wikidata]
^ Srinivasa Ramanujan Biography läs online , läst: 24 februari 2018.[källa från Wikidata] ^ [a b c d e f MacTutor History of Mathematics archive .[källa från Wikidata]
^ Mathematics Genealogy Project [källa från Wikidata] ^ SRINIVASA RAMANUJAN Mathematician läs online , läst: 24 februari 2018.[källa från Wikidata] ^ Maria Gunther (25 juni 2016). ”En osannolik och romantisk matematisk vänskap” . Dagens Nyheter . http://www.dn.se/nyheter/vetenskap/en-osannolik-och-romantisk-matematisk-vanskap/ . Läst 26 juni 2016 . ^ ”Papers of Srinivasa Ramanujan (1887–1920), mathematician” (på engelska). Trinity College, Cambridge, England. Arkiverad från originalet den 18 september 2018. https://web.archive.org/web/20180918114607/https://www.trin.cam.ac.uk/library/wren-digital-library/modern-manuscripts/ramanujan/ . Läst 2017.06.15 . ^ Srinivasan P. K. (25 november 1993). ”Ramanujan and revelation” (på engelska). The Hindu, Young World : s. 1. ^ ”Ramanujan, Srinivasa”. Nationalencyklopedin ISBN 91-7133-749-0 ^ ”Minor Planet Center 4130 Ramanujan” (på engelska). Minor Planet Center. https://www.minorplanetcenter.net/db_search/show_object?object_id=4130 . Läst 5 oktober 2023 .
Litteratur
G. H. Hardy: "A Mathematician's Apology", Cambridge University Press, 1940 (omtryckt 1941, 1948, 1967, 1969).
Matematikantologin Sigma : en matematikens kulturhistoria , red: James R. Newman, (svensk översättning Forum, första upplagan 1959) har i band 1 ett avsnitt, nr 18, om Ramanujan på sid 320–330.
C. P. Snow: "Variety of Men", Macmillan, 1967 (Penguin Books, 1969) med kapitlet "G. H. Hardy".
.jpg)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bc388f8ce31e8849701e4f98abebb3bb2cf5f3)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027f261d646f8a48895ad0b0153bfc6748cb93dc)
![{\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3444106b707ba14d569e2cf1de20d8dbc40e5448)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58849bde3247783bf5d785a1e9559aaab78b6b6)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa95e59c7524f055171a2618cb32705c4a8e7772)
![{\displaystyle \left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}+\left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}={\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33c82cda7dc8c5d5f428fe85aa38d96b6893fd1)
![{\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1501ead1fa67d4b8da9f766d8a902d660e7c124f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\phi (-q)-f(q)&=f(q)+\psi (-q)=\theta _{4}(q)\prod _{r>0}\left(1+q^{r}\right)^{-1}\\4\chi (q)-f(q)&=3\theta _{4}^{2}\left(0q^{3}\right)\prod _{r>0}\left(1-q^{r}\right)^{-1}\\2\rho (q)+\omega (q)&=3\left(q^{-{\frac {1}{2}}{\frac {3}{8}}}\theta _{2}\left[0,q^{\frac {3}{2}}\right]\right)^{2}\prod _{r>0}\left(1-q^{2r}\right)^{-1}\\v(\pm q)\pm q\omega \left(q^{2}\right)&={\frac {1}{2}}q^{-{\frac {1}{4}}}\theta _{2}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{2r}\right)\\f\left(q^{8}\right)\pm 2q\omega (\pm q)\pm 2q^{3}\omega \left(-q^{4}\right)&=\theta _{3}(0,\pm q)\theta _{3}\left(0,q^{2}\right)^{2}\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c65cd4ae0efa273ab27100325002fd29cdda83f)
