Bell teoremi fizikteki birbiriyle yakından ilişkili birkaç sonucu kapsayan bir terimdir ve bu sonuçların tümü kuantum mekaniği'nin, ölçümün doğası hakkında bazı temel varsayımların olduğu yerel gizli değişken teorileri ile uyumsuz olduğunu belirler. Buradaki "yerel", yerellik ilkesini, bir parçacığın yalnızca yakın çevresinden etkilenebileceği ve fiziksel alanların aracılık ettiği etkileşimlerin ışık hızından daha hızlı yayılamayacağı fikrini ifade eder. "Gizli değişkenler", kuantum teorisine dahil olmayan ancak yine de deneylerin sonucunu etkileyen kuantum parçacıklarının varsayılan özellikleridir. Bu sonuç ailesine adını veren fizikçi John Stewart Bell'in sözleriyle, "Eğer gizli değişkenli bir teori yerel ise, kuantum mekaniği ile uyuşmaz ve eğer kuantum mekaniği ile uyuşursa, yerel olmaz."^[1]

Terim, geniş bir şekilde bir dizi farklı türetmeye uygulanır; bunlardan ilki Bell tarafından 1964'te "Einstein Podolsky Rosen Paradoksu Üzerine" başlıklı bir makalede tanıtıldı. Bell'in makalesi, Albert Einstein, Boris Podolsky ve Nathan Rosen'in, kuantum fiziğinin "eksik" bir teori olduğunu savunarak önerdiği 1935 tarihli bir düşünce deneyine bir yanıttı.^[2][3] 1935'te, kuantum fiziğinin tahminlerinin olasılığa dayalı olduğu zaten kabul edilmişti. Einstein, Podolsky ve Rosen, bir çift parçacığın kuantum durumunun dolanık olacağı şekilde hazırlanmasını ve ardından parçacıkları gelişigüzel şekilde büyük bir mesafeye ayırmayı içeren bir senaryo sundular. Deneyci, parçacıklardan biri üzerinde gerçekleştirilebilecek olası kuantum mekaniksel ölçüm seçeneklerine sahiptir. Bir ölçüm seçtiklerinde ve bir sonuç elde ettiklerinde, diğer parçacığın kuantum durumu, diğer parçacık ne kadar uzakta olursa olsun, o sonuca bağlı olarak bir anda yeni bir duruma çöker. Bu, ya birinci parçacığın ölçümünün bir şekilde ikinci parçacıkla ışık hızından daha hızlı etkileşime girdiğini ya da dolanık parçacıkların ayrılmadan önce son kuantum durumlarını önceden belirleyen bazı ölçülmemiş özelliklere sahip olduğunu düşündürür. Bu nedenle, yerellik varsayıldığında, parçacığın gerçek fiziksel özelliklerinin tam bir tanımını veremediği için kuantum mekaniği eksik olmalıdır. Başka bir deyişle, elektronlar ve fotonlar gibi kuantum parçacıkları, kuantum teorisinde yer almayan bazı özellik veya nitelikler taşımalıdır ve kuantum teorisinin tahminlerindeki belirsizlikler, daha sonra "gizli değişkenler" olarak adlandırılan bu özelliklerle ilgili cehaletten veya bilinmezlikten kaynaklanacaktır.

Bell, kuantum dolanıklık analizini çok daha ileriye taşıdı. Ölçümler, dolanık bir çiftin iki ayrı parçacığı üzerinde bağımsız olarak yapılırsa, sonuçların her bir yarıdaki gizli değişkenlere bağlı olduğu varsayımının, iki ölçümdeki sonuçların nasıl ilişkilendirildiğine ilişkin matematiksel bir kısıtlama anlamına geldiği sonucuna vardı. Bu kısıtlama daha sonra Bell eşitsizliği olarak adlandırılacaktı. Bell daha sonra kuantum fiziğinin bu eşitsizliği ihlal eden korelasyonları tahmin ettiğini gösterdi. Sonuç olarak, gizli değişkenlerin kuantum fiziğinin tahminlerini açıklayabilmesinin tek yolu, onların "yerel olmaması"dır; bu, iki parçacığın ne kadar geniş bir alana ayrılırsa ayrılsınlar, bir şekilde anında etkileşime girebildiklerini söylemektir.^[4][5]

Sonraki yıllarda, Bell teoreminin birden çok varyasyonu öne sürülerek, genellikle Bell eşitsizlikleri (veya "Bell-tipi eşitsizlikler") olarak bilinen yakından ilişkili diğer koşullar ortaya kondu. Bell'in teoremini test etmek için tasarlanan ilk ilkel deney, 1972'de John Clauser ve Stuart Freedman tarafından yapıldı.^[6] Toplu olarak Bell testleri olarak bilinen daha gelişmiş deneyler, o zamandan beri birçok kez gerçekleştirildi. Sıklıkla, bu deneylerin amacı "boşlukları kapatmak", yani prensipte daha önceki Bell testlerinin bulgularının geçerliliğini etkileyebilecek deneysel tasarım veya kurulum sorunlarını iyileştirmekti. Bugüne kadar Bell testleri, fiziksel sistemlerin kuantum mekaniğine uyduğunu ve Bell eşitsizliklerini ihlal ettiğini tutarlı bir şekilde bulmuştur; yani bu deneylerin sonuçları herhangi bir yerel gizli değişken teorisiyle bağdaşmaz.^[7][8]

Korelasyonlar üzerinde Bell tipi bir kısıtlamayı kanıtlamak için gereken varsayımların kesin doğası, fizikçiler ve filozoflar tarafından tartışıldı. Bell'in teoreminin önemi şüphe götürmezken, kuantum mekaniğinin yorumlanması üzerindeki tüm sonuçları çözümlenmemiştir.

Temel fikir üzerinde birçok varyasyon vardır, bazıları diğerlerinden daha güçlü matematiksel varsayımlar kullanır.^[9] Önemli bir şekilde, Bell tipi teoremler herhangi bir yerel gizli değişkenler teorisine atıfta bulunmaz, bunun yerine kuantum fiziğinin klasik doğa resimlerinin ardındaki genel varsayımları ihlal ettiğini gösterir. Bell tarafından 1964'te ispatlanan orijinal teorem, deneye en uygun teorem değildir ve Bell tipi eşitsizlikler türünü daha sonraki bir örnekle tanıtmak uygundur.^[10]

Varsayımsal karakterler Alice ve Bob geniş ölçüde ayrılmış konumlarda duruyor. Meslektaşları Victor bir çift parçacık hazırlar ve birini Alice'e, diğerini Bob'a gönderir. Alice parçacığını aldığında, iki olası ölçümden birini yapmayı seçer (belki hangisine karar vermek için yazı tura atarak). Bu ölçümleri şu şekilde belirtin: ${\displaystyle A_{0}}$ ve ${\displaystyle A_{1}}$. Hem ${\displaystyle A_{0}}$ hem de ${\displaystyle A_{1}}$ "ikili" ölçümlerdir: ${\displaystyle A_{0}}$'ın sonucu ya ${\displaystyle +1}$ ya da ${\displaystyle -1}$'dir ve aynı şekilde ${\displaystyle A_{1}}$ için de geçerlidir. Bob parçacığını aldığında, ikisi de ikili olan ${\displaystyle B_{0}}$ ve ${\displaystyle B_{1}}$ olmak üzere iki ölçümden birini seçer.

Her ölçümün parçacığın zaten sahip olduğu bir özelliği ortaya çıkardığını varsayalım. Örneğin, Alice ${\displaystyle A_{0}}$'ı ölçmeyi seçer ve ${\displaystyle +1}$ sonucunu elde ederse, aldığı parçacık ${\displaystyle a_{0}}$ özelliği için ${\displaystyle +1}$ değerini taşır.^{[note 1]} Aşağıdaki kombinasyonu göz önünde bulundurun:

$${\displaystyle a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}-a_{1}b_{1}=(a_{0}+a_{1})b_{0}+(a_{0}-a_{1})b_{1}\,.}$$

Hem ${\displaystyle a_{0}}$ hem de ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle \pm 1}$ değerlerini aldığından, o zaman ya ${\displaystyle a_{0}=a_{1}}$ ya da ${\displaystyle a_{0}=-a_{1}}$'dir. İlk durumda ${\displaystyle (a_{0}-a_{1})b_{1}=0}$, ikinci durumda ise ${\displaystyle (a_{0}+a_{1})b_{0}=0}$. Böylece, yukarıdaki ifadenin sağ tarafındaki terimlerden biri kaybolacak ve diğeri ${\displaystyle \pm 2}$'ye eşit olacaktır. Sonuç olarak, Victor'un yeni parçacık çiftleri hazırlamasıyla deney birçok denemede tekrarlanırsa, ${\displaystyle a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}-a_{1}b_{1}}$ kombinasyonunun tüm denemelerdeki ortalama değeri 2'den küçük veya ona eşit olacaktır. Hiçbir "tek" deneme bu miktarı ölçemez, çünkü Alice ve Bob her biri yalnızca bir ölçüm seçebilir, ancak altta yatan özelliklerin var olduğu varsayımına göre, toplamın ortalama değeri her terimin ortalamalarının toplamıdır. Ortalamaları belirtmek için köşeli parantez kullanırsak,

$${\displaystyle \langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle \leq 2\,.}$$

Bu bir Bell eşitsizliğidir, özellikle CHSH eşitsizliği.^[10]:115 Buradaki türetilmesi iki varsayıma bağlıdır: birincisi, temel fiziksel özellikler ${\displaystyle a_{0},a_{1},b_{0},}$ ve ${\displaystyle b_{1}}$'in gözlemlenmekten veya ölçülmekten bağımsız olarak var olduğu (bazen "gerçekçilik" varsayımı olarak adlandırılır); ve ikincisi, Alice'in eylem seçimi Bob'un sonucunu etkileyemez veya tersi de etkileyemez. (genellikle "yerellik" varsayımı olarak adlandırılır).^[10]:117

Kuantum mekaniği, CHSH eşitsizliğini aşağıdaki gibi ihlal edebilir. Victor, Bell durumu ile tanımladığı bir çift qubit hazırlar.

$${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|0\rangle \otimes |1\rangle -|1\rangle \otimes |0\rangle }{\sqrt {2}}},}$$

burada ${\displaystyle |0\rangle }$ ve ${\displaystyle |1\rangle }$, Pauli matrisleri'nin birinin özdurumlarıdır,

$${\displaystyle \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

Victor daha sonra ilk kübiti Alice'e ve ikincisini Bob'a iletir. Alice ve Bob'un olası ölçüm seçimleri de Pauli matrisleri cinsinden tanımlanır. Alice, iki gözlemlenebilir olan ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ve ${\displaystyle \sigma _{x}}$'den birini ölçer:

$${\displaystyle A_{0}=\sigma _{z},\ A_{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};}$$ ve Bob iki gözlemlenebilirden birini ölçer $${\displaystyle B_{0}=-{\frac {\sigma _{x}+\sigma _{z}}{\sqrt {2}}},\ B_{1}={\frac {\sigma _{x}-\sigma _{z}}{\sqrt {2}}}.}$$ Victor, Born yasasınını kullanarak bu gözlemlenebilirlerin çiftleri için kuantum beklenti değerlerini hesaplayabilir: $${\displaystyle \langle A_{0}\otimes B_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{0}\otimes B_{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{1}\otimes B_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{1}\otimes B_{1}\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$$ Deneyin bir denemesinde bu dört ölçümden sadece biri yapılabilirken, toplam $${\displaystyle \langle A_{0}\otimes B_{0}\rangle +\langle A_{0}\otimes B_{1}\rangle +\langle A_{1}\otimes B_{0}\rangle -\langle A_{1}\otimes B_{1}\rangle =2{\sqrt {2}}}$$ Victor'un birden çok denemede bulmayı beklediği ortalama değerlerin toplamını verir. Bu değer, yerel gizli değişkenler hipotezinden çıkarılan klasik 2 üst sınırını aşıyor.^[10]:116 ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ aslında kuantum fiziğinin bu beklenti değerleri kombinasyonu için izin verdiği en büyük değerdir ve onu bir Tsirelson sınırı yapar.^[13]:140

CHSH eşitsizliği, Alice ve Bob'un eylemlerini koordine etmeye çalıştıkları bir “oyun” olarak da düşünülebilir.^[14][15] Victor, ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ olmak üzere iki biti bağımsız olarak ve rastgele hazırlar. ${\displaystyle x}$ bitini Alice'e ve ${\displaystyle y}$ bitini Bob'a gönderir. Alice ve Bob, ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ yanıt bitlerini Victor'a döndürerek, $${\displaystyle xy=a+b\mod 2\,.}$$ denklemini sağlarlarsa kazanırlar. Veya, eşdeğer olarak, ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$'nin mantıksal VE'si, ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$'nin mantıksal XOR'u ise, Alice ve Bob kazanır. Alice ve Bob, oyundan önce istedikleri herhangi bir strateji üzerinde anlaşabilirler, ancak oyun başladıktan sonra iletişim kuramazlar. Yerel gizli değişkenlere dayalı herhangi bir teoride, Alice ve Bob'un kazanma olasılığı, önceden hangi strateji üzerinde anlaşırlarsa anlaşsınlar, ${\displaystyle 3/4}$'ten büyük değildir. Ancak, dolanık bir kuantum durumunu paylaşıyorlarsa, kazanma olasılıkları $${\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}}{4}}\approx 0.85\,.}$$ kadar büyük olabilir.

Bell'in 1964 tarihli makalesi, sınırlı koşullar altında, yerel gizli değişken modellerinin kuantum mekaniğinin tahminlerini yeniden üretebileceğine işaret ediyor. Daha sonra bunun genel olarak doğru olamayacağını gösterir.^[3] Bell, Einstein–Podolsky–Rosen (EPR) düşünce deneyinin David Bohm tarafından geliştirilmiş hali üzerinde duruyor. Bu senaryoda, bir çift parçacık, bir spin tekli durumu (dolaşnık duruma bir örnektir) tarafından tanımlanacak şekilde birlikte oluşturulur. Parçacıklar daha sonra zıt yönlerde birbirinden uzaklaşır. Her parçacık bir Stern–Gerlach cihazı ile ölçülür; bu, farklı yönlerde yönlendirilebilen ve ${\displaystyle +1}$ ve ${\displaystyle -1}$ ile gösterilebilen iki olası sonuçtan birini raporlayan bir ölçüm aletidir. Her ölçüm aletinin konfigürasyonu bir birim vektör ile temsil edilir ve ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ve ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ayarlarına sahip iki dedektör arasındaki korelasyon için kuantum mekanik tahmini $${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\,.}$$'dir

Özellikle, iki dedektörün oryantasyonu aynıysa (${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}}$), o zaman bir ölçümün sonucu, diğerinin sonucunun negatifi olacağı kesindir ve ${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {a}})=-1}$'i verir. Ve eğer iki detektörün yönelimleri ortogonal (${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0}$) ise, o zaman sonuçlar ilintisizdir ve ${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0}$'dır. Bell, bu özel durumların gizli değişkenler açısından açıklanabileceğini örneklerle kanıtlıyor, ardından ara açıları içeren tüm olasılıkların açıklanamayacağını göstermeye devam ediyor.

Bell, bu korelasyonlar için yerel bir gizli değişken modelinin, bunları ${\displaystyle \lambda }$ gizli parametresinin olası değerleri üzerinden bir integral olarak açıklayacağını öne sürdü: $${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=\int d\lambda \,\rho (\lambda )A({\vec {a}},\lambda )B({\vec {b}},\lambda )\,,}$$ burada ${\displaystyle \rho (\lambda )}$ bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur. İki işlev ${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )}$ ve ${\displaystyle B({\vec {b}},\lambda )}$, yönlendirme vektörleri ve gizli değişken verilen iki dedektörün yanıtlarını sağlar: $${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )=\pm 1,\,B({\vec {b}},\lambda )=\pm 1\,.}$$ En önemlisi, ${\displaystyle A}$ dedektörünün sonucu ${\displaystyle {\vec {b}}}$'ye bağlı değildir ve benzer şekilde ${\displaystyle B}$'ün sonucu ${\displaystyle {\vec {a}}}$'e bağlı değildir, çünkü iki dedektör fiziksel olarak ayrılmıştır. Şimdi, deneyi yapan kişinin ikinci dedektör için bir ayar seçeneğine sahip olduğunu varsayalım: ${\displaystyle {\vec {b}}}$ veya ${\displaystyle {\vec {c}}}$. Bell, bu iki dedektör ayarı seçeneği arasındaki korelasyon farkının aşağıdaki eşitsizliği karşılaması gerektiğini kanıtlıyor. $${\displaystyle |P({\vec {a}},{\vec {b}})-P({\vec {a}},{\vec {c}})|\leq 1+P({\vec {b}},{\vec {c}})\,.}$$ Ancak, kuantum mekaniğinin Bell eşitsizliğini ihlal ettiği durumları bulmak kolaydır.^{[16]:425–426} Örneğin, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ve ${\displaystyle {\vec {b}}}$ vektörlerinin ortogonal olduğunu ve ${\displaystyle {\vec {c}}}$'ün onların kendi düzlemlerinde her ikisinden de 45° açıda olduğunu varsayalım. Bu durumda $${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0\,,}$$ $${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {c}})=P({\vec {b}},{\vec {c}})=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\,,}$$ iken ancak $${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\nleq 1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\,.}$$ Bu nedenle, tüm ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ve ${\displaystyle {\vec {c}}}$ seçimleri için kuantum mekaniğinin tahminlerini yeniden üretebilen yerel bir gizli değişken modeli yoktur. Deneysel sonuçlar klasik eğrilerle çelişir ve deneysel eksiklikler hesaba katıldığı sürece kuantum mekaniği tarafından tahmin edilen eğriyle eşleşir.^[9]

Bell'in 1964 teoremi, mükemmel anti-korelasyon olasılığını gerektirir: birincinin sonucunu bilerek, ikinci detektörün sonucu hakkında bir olasılık tahmini yapma yeteneği. Bu, Einstein, Podolsky ve Rosen tarafından 1935 tarihli bir makalede tanıtılan bir kavram olan "EPR gerçeklik kriteri" ile ilgilidir. Bu makale, "Bir sistemi herhangi bir şekilde bozmadan, fiziksel bir niceliğin değerini kesin olarak (yani, bire eşit olasılıkla) tahmin edebiliyorsak, o zaman o niceliğe karşılık gelen bir gerçeklik unsuru vardır" diyor.^[2]

1990'da Daniel Greenberger, Michael A. Horne ve Anton Zeilinger, daha sonra David Mermin'in yalnızca üç parçacık kullanacak şekilde basitleştirdiği, dört parçacıklı bir düşünce deneyi sundular.^[17][18] Bu düşünce deneyinde Victor, kuantum durumu $${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle -|111\rangle )\,,}$$ tarafından tanımlanan üç spin-1/2 parçacığı kümesi üretir; burada yukarıdaki gibi ${\displaystyle |0\rangle }$ ve ${\displaystyle |1\rangle }$, Pauli matrisi ${\displaystyle \sigma _{z}}$'nin özvektörleridir. Victor daha sonra birbirinden çok farklı yerlerde bekleyen Alice, Bob ve Charlie'ye birer parçacık gönderir. Alice, parçacığı üzerinde ${\displaystyle \sigma _{x}}$ veya ${\displaystyle \sigma _{y}}$'yi ölçer, Bob ve Charlie de öyle. Her ölçümün sonucu ${\displaystyle +1}$ veya ${\displaystyle -1}$ şeklindedir. Born kuralını üç kübitlik ${\displaystyle |\psi \rangle }$ durumuna uygulayan Victor, üç ölçümün bir ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ve iki ${\displaystyle \sigma _{y}}$ içerdiğinde, sonuçların ürününün her zaman ${\displaystyle +1}$ olacağını tahmin ediyor. Bunun nedeni, ${\displaystyle |\psi \rangle }$'nin, özdeğeri ${\displaystyle +1}$ olan ${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}}$'nin bir özvektörü olmasıdır ve aynı durum ${\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}}$ ve ${\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}}$ için de geçerlidir. Bu nedenle, Alice'in ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ölçümü için sonucunu ve Bob'un ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ölçümü için sonucunu bilen Victor, Charlie'nin ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ölçümü için hangi sonucu döndüreceğini 1 olasılıkla tahmin edebilir. EPR gerçeklik kriterine göre, Charlie'nin kübiti üzerindeki bir ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ölçümünün sonucuna karşılık gelen bir "gerçeklik unsuru" olacaktır. Aslında, aynı mantık hem ölçümler hem de üç kübit için geçerlidir. O halde EPR gerçeklik kriterine göre, her parçacık, üzerinde bir ${\displaystyle \sigma _{x}}$ veya ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ölçümünün sonucunu belirleyen bir "komut seti" içerir. Üç parçacığın tamamı daha sonra $${\displaystyle (a_{x},a_{y},b_{x},b_{y},c_{x},c_{y})\,,}$$ komut seti tarafından açıklanacak ve her giriş ya ${\displaystyle -1}$ ya da ${\displaystyle +1}$ olacak ve her ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ya da ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ölçümü basitçe uygun değeri döndürecektir. Alice, Bob ve Charlie'nin hepsi ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ölçümünü yaparsa, sonuçlarının çarpımı ${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}}$ olur. Bu değer şundan çıkarılabilir $${\displaystyle (a_{x}b_{y}c_{y})(a_{y}b_{x}c_{y})(a_{y}b_{y}c_{x})=a_{x}b_{x}c_{x}a_{y}^{2}b_{y}^{2}c_{y}^{2}=a_{x}b_{x}c_{x}\,,}$$ çünkü ${\displaystyle -1}$ veya ${\displaystyle +1}$'ün karesi ${\displaystyle 1}$'dir. Parantez içindeki her faktör ${\displaystyle +1}$'e eşittir, bu nedenle $${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}=+1\,,}$$ ve Alice, Bob ve Charlie'nin sonuçları şöyle olacaktır: olasılık birliği ile ${\displaystyle +1}$. Parantez içindeki her faktör ${\displaystyle +1}$'e eşittir, yani $${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}=+1\,,}$$ olur ve Alice, Bob ve Charlie'nin sonuçlarının çarpımı olasılık birliği ile ${\displaystyle +1}$ olacaktır. Ancak bu, kuantum fiziği ile tutarsızdır: Victor, ${\displaystyle |\psi \rangle }$ durumunu kullanarak ${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}}$ ölçümünün bunun yerine olasılık birliği ile ${\displaystyle -1}$'i vereceğini tahmin edebilir.

Bu düşünce deneyi, geleneksel bir Bell eşitsizliği olarak veya eşdeğer olarak, CHSH oyunuyla aynı ruhta yerel olmayan bir oyun olarak yeniden biçimlendirilebilir.^[19] İçinde Alice, Bob ve Charlie, Victor'dan ${\displaystyle x,y,z}$ bitlerini alırlar, her zaman çift sayıda bire, yani ${\displaystyle x\oplus y\oplus z=0}$'ye sahip olacaklarına söz verilirler ve ona ${\displaystyle a,b,c}$ bitlerini geri gönderirler. Çift sayıda bire sahip olmaları gerektiğinde, ${\displaystyle a,b,c}$'nin ${\displaystyle x=y=z=0}$ dışındaki tüm girdiler için tek sayıda bire sahip olması durumunda oyunu kazanırlar. Yani, ${\displaystyle a\oplus b\oplus c=x\lor y\lor z}$ olursa oyunu kazanırlar. Yerel gizli değişkenlerle, sahip olabilecekleri en yüksek zafer olasılığı 3/4 iken, yukarıdaki kuantum stratejisini kullanarak kesin olarak kazanırlar. Bu, kuantum sözde telepatinin bir örneğidir.

Kuantum teorisinde, bir Hilbert uzayı için ortonormal bazlar, o Hilbert uzayına sahip bir sistem üzerinde gerçekleştirilebilecek ölçümleri temsil eder. Bir bazdaki her vektör, o ölçümün olası bir sonucunu temsil eder.^{[note 2]} Farz edin ki gizli bir ${\displaystyle \lambda }$ değişkeni var, öyle ki ${\displaystyle \lambda }$'nın değerini bilmek herhangi bir ölçümün sonucu hakkında kesinlik anlamına gelebilir. Bir ${\displaystyle \lambda }$ değeri verildiğinde, her ölçüm sonucu - yani Hilbert uzayındaki her vektör - ya "imkansızdır" ya da "garanti edilir". Bir Kochen-Specker konfigürasyonu, içindeki bir vektörün bir tabana ait olduğu düşünüldüğünde her zaman "imkansız" ve başka bir tabana ait olarak alındığında "garantili" olacağı özelliğine sahip, birbirine kenetlenen çoklu tabanlardan yapılmış sonlu bir vektörler kümesidir. Diğer bir deyişle, bir Kochen–Specker yapılandırması, gizli bir ${\displaystyle \lambda }$ değişkeninin ölçüm sonuçlarını kontrol edebileceğini varsaymanın tutarsızlığını gösteren "renklendirilemez bir kümedir". Başka bir deyişle, bir Kochen-Specker yapılandırması, gizli bir değişken olan ${\displaystyle \lambda }$'nın ölçüm sonuçlarını kontrol edebileceğini varsaymanın tutarsızlığını gösteren "renklendirilemez bir kümedir".^{[24]:196–201}

Birbirine bağlı tabanların konfigürasyonlarını kullanan Kochen-Specker tipi argüman, Bell tipi eşitsizliklerin altında yatan dolanık çiftleri ölçme fikri ile birleştirilebilir. Bu, 1970'lerin başında Kochen,^[25] Heywood ve Redhead,^[26] Stairs^[27] ve Brown ve Svetlichny^[28] tarafından not edildi. EPR'nin işaret ettiği gibi, dolanık bir çiftin bir yarısında bir ölçüm sonucunun elde edilmesi, diğer yarısında karşılık gelen bir ölçümün sonucu hakkında kesinlik anlamına gelir. "EPR gerçeklik kriteri", çiftin ikinci yarısı rahatsız edilmediği için, bu kesinliğin ona ait fiziksel bir özellikten kaynaklanması gerektiğini varsayar.^[29] Başka bir deyişle, bu kritere göre, çiftin henüz ölçülmemiş ikinci yarısı içinde gizli bir ${\displaystyle \lambda }$ değişkeni bulunmalıdır. İlk yarıda sadece bir ölçüm dikkate alınırsa herhangi bir çelişki ortaya çıkmaz. Bununla birlikte, gözlemcinin birden fazla olası ölçüm seçeneği varsa ve bu ölçümleri tanımlayan vektörler bir Kochen-Specker konfigürasyonu oluşturuyorsa, o zaman ikinci yarıdaki bazı sonuçlar aynı anda imkansız ve garanti olacaktır.

Bu tür bir argüman, John Conway ve Simon Kochen tarafından özgür irade teoremi adı altında bir örneği ileri sürüldüğünde dikkat çekti.^[30][31][32] Conway-Kochen teoremi, Asher Peres tarafından keşfedilen bir çift dolanık qutrit ve bir Kochen-Specker konfigürasyonu kullanır.^[33]

Bell'in işaret ettiği gibi, dolanıklıktan üretilen özel korelasyon durumları da dahil olmak üzere, kuantum mekaniğinin bazı tahminleri yerel gizli değişken modellerinde çoğaltılabilir. Bu konu, Bell'in teoreminden bu yana geçen zamanda sistematik olarak incelenmiştir. 1989'da Reinhard Werner, şimdi Werner durumu olarak adlandırılan, EPR tipi korelasyonlar sağlayan ama aynı zamanda bir gizli değişken modelini kabul eden bir çift sistem için ortak kuantum durumları olan şeyi tanıttı.^[34] Werner durumları, simetrik tensör-çarpım formunun birimleri altında değişmez olan iki parçalı kuantum durumlarıdır:

$${\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger })\,.}$$

2004 yılında Robert Spekkens, yerel, ayrıklaştırılmış serbestlik dereceleri öncülüyle başlayan ve ardından bir gözlemcinin bu serbestlik dereceleri hakkında ne kadar bilebileceğini kısıtlayan ve böylece onları gizli değişkenlere dönüştüren bir "bilgi dengesi ilkesi" dayatan bir oyuncak modeli tanıttı. Altta yatan değişkenler ("ontik durumlar") hakkında izin verilen bilgi durumları ("epistemik durumlar"), kuantum durumlarının bazı özelliklerini taklit eder. Oyuncak modelindeki korelasyonlar, tek eşlilik gibi karışıklığın bazı yönlerini taklit edebilir, ancak yapı gereği, oyuncak modeli asla bir Bell eşitsizliğini ihlal edemez.^[35][36]

Kuantum mekaniğinin gizli değişkenler tarafından "tamamlanıp" tamamlanamayacağı sorusu, kuantum teorisinin ilk yıllarına kadar uzanır. Macaristan doğumlu bilge John von Neumann, kuantum mekaniği üzerine 1932 ders kitabı'nda, "gizli parametreler" olamayacağına dair bir kanıt olduğunu iddia ettiği şeyi sundu. Von Neumann'ın ispatının geçerliliği ve kesinliği Hans Reichenbach tarafından, daha ayrıntılı olarak Grete Hermann tarafından ve muhtemelen Albert Einstein tarafından basılı olmasa da konuşma sırasında sorgulandı.^{[note 3]} (Simon Kochen ve Ernst Specker, von Neumann'ın temel varsayımını 1961 gibi erken bir tarihte reddettiler, ancak 1967'ye kadar bir eleştiri yayınlamadılar.^[42])

Einstein ısrarla kuantum mekaniğinin tamamlanmış bir teori olamayacağını savundu. Tercih ettiği argüman bir yerellik ilkesine dayanıyordu:

Birbiriyle yalnızca sınırlı bir süre boyunca etkileşime giren A ve B iki kısmi sistemden oluşan mekanik bir sistem düşünün. Etkileşimlerinden önce ψ fonksiyonu verilsin. O zaman Schrödinger denklemi, etkileşimleri gerçekleştikten sonra ψ fonksiyonunu sağlayacaktır. Şimdi A kısmi sisteminin fiziksel durumunu ölçümlerle mümkün olduğu kadar tam olarak belirleyelim. Daha sonra kuantum mekaniği, yapılan ölçümlerden ve toplam sistemin ψ fonksiyonundan kısmi sistem Bnin ψ fonksiyonunu belirlememizi sağlar. Ancak bu belirleme, A koşulunu belirten belirleyici büyüklüklerden hangisinin ölçüldüğüne bağlı bir sonuç verir (örneğin koordinatlar veya momentumlar). Etkileşimden sonra Bnin sadece bir fiziksel durumu olabileceğinden ve Bden ayrılmış A sisteminde gerçekleştirdiğimiz özel ölçüme bağlı olarak kabul edilemeyeceğinden, ψ fonksiyonunun fiziksel durumla açık bir şekilde koordine olmadığı sonucuna varılabilir. Birkaç ψ fonksiyonunun B sisteminin aynı fiziksel koşuluyla bu koordinasyonu, ψ fonksiyonunun bir birim sistemin fiziksel durumunun (tam) bir açıklaması olarak yorumlanamayacağını tekrar gösterir.^[43]

EPR düşünce deneyi de benzerdir, ayrıca birleşik bir dalga fonksiyonu tarafından açıklanan iki ayrı sistem A ve B dikkate alınır. Bununla birlikte, EPR makalesi, daha sonra gerçekliğin EPR kriteri olarak bilinen fikri ekler; buna göre, "B" üzerindeki bir ölçümün sonucunu 1 olasılıkla tahmin etme yeteneği, B içinde bir "gerçeklik unsurunun" varlığını ima eder.^[44]

1951'de David Bohm, EPR tarafından ele alınan konum ve momentum ölçümlerinin aksine, ölçümlerin farklı olası sonuç aralıklarına sahip olduğu, EPR düşünce deneyinin bir varyantını önerdi.^[45] Bir yıl önce, Chien-Shiung Wu ve Irving Shaknov, dolanık çiftler halinde üretilen fotonların polarizasyonlarını başarıyla ölçtüler, böylece EPR düşünce deneyinin Bohm versiyonunu pratikte uygulanabilir hale getirdiler.^[46]

1940'ların sonlarında, matematikçi George Mackey kuantum fiziğinin temellerine ilgi duymaya başladı ve 1957'de kuantum mekaniğinin kesin bir tanımı olarak kabul ettiği bir varsayımlar listesi hazırladı.^[47] Mackey, varsayımlardan birinin gereksiz olduğunu tahmin etti ve kısa bir süre sonra Andrew M. Gleason, bunun gerçekten de diğer varsayımlardan çıkarsanabileceğini kanıtladı.^[48][49] Gleason teoremi, geniş bir gizli değişken teorileri sınıfının kuantum mekaniği ile bağdaşmadığına dair bir argüman sağladı.^{[note 4]} Daha spesifik olarak, Gleason teoremi "bağlamsal olmayan" gizli değişken modellerini dışlar. Kuantum mekaniği için herhangi bir gizli değişken modeli, Gleason teoreminin imalarından kaçınmak için, yalnızca ölçülen sisteme ait özellikler olmayan, aynı zamanda ölçümün yapıldığı dış bağlama da bağlı olan gizli değişkenleri içermelidir. Bu tür bir bağımlılık genellikle yapmacık veya istenmeyen olarak görülür; bazı ayarlarda özel görelilik ile tutarsızdır.^[5][51] Kochen-Specker teoremi, üzerinde böyle bir olasılık ölçüsünün tanımlanamayacağı belirli bir sonlu ışın alt kümesi oluşturarak bu ifadeyi geliştirir.^[5][52]

Tsung-Dao Lee, 1960 yılında Bell'in teoremini türetmeye çok yaklaştı. Zıt yönlerde hareket eden iki kaon'un üretildiği olayları değerlendirdi ve gizli değişkenlerin bu tür durumlarda elde edilebilecek korelasyonları açıklayamayacağı sonucuna vardı. Ancak kaonların bozunması nedeniyle zorluklar ortaya çıktı ve Bell tipi bir eşitsizlik çıkaracak kadar ileri gitmedi.{{refn|group=note|This was reported by Max Jammer.^[38]:308 Lee en çok Chen-Ning Yang ile parite korunumunun ihlali tahminiyle tanınır; bu tahmin ödülü paylaşmayan Chien-Shiung Wu tarafından onaylandıktan sonra onlara Nobel Ödülü kazandırdı.

Bell, teoremini nispeten belirsiz bir dergide yayınlamayı seçti çünkü sayfa ücreti gerektirmiyordu ve o sırada aslında orada yayınlayan yazarlara ödeme yapıyordu. Dergi, yazarların dağıtması için makalelerin ücretsiz yeniden baskılarını sağlamadığından, Bell aldığı parayı diğer fizikçilere gönderebileceği kopyaları satın almak için harcamak zorunda kaldı.^[53] Dergide basılan makalelerin kendisinde yayının adı basitçe “Physics” olarak sıralanırken, kapaklarda İngilizce, Fransızca ve Rusça makaleler basılacağını yansıtmak için üç dilli “Physics Physique Физика” versiyonu yer alıyordu.^{[41]:92–100, 289}

Bell, 1964 sonucunu kanıtlamadan önce, Kochen-Specker teoremine eşdeğer bir sonuç da kanıtladı (bu nedenle, ikincisi bazen Bell-Kochen-Specker veya Bell-KS teoremi olarak da bilinir). Ancak, bu teoremin yayınlanması yanlışlıkla 1966 yılına kadar ertelendi.^[5][54] O yazıda Bell, kuantum fenomeninin gizli değişkenler açısından açıklanması yerel olmama gerektireceğinden, EPR paradoksunun "Einstein'ın en az seveceği şekilde çözüldüğünü" savundu.^[54]

1967'de olağandışı "Physics Physique Физика" başlığı John Clauser'ın dikkatini çekti, o da Bell'in makalesini keşfetti ve laboratuvarda bir Bell testi yapmayı düşünmeye başladı.^[55] Clauser ve Stuart Freedman, 1972'de bir Bell testi yaptılar.^[56][57] Bu sadece sınırlı bir testti, çünkü dedektör ayarlarının seçimi fotonlar kaynaktan ayrılmadan önce yapılmıştı. 1982'de Alain Aspect ve işbirlikçileri bu sınırlamayı kaldırmak için ilk Bell testini gerçekleştirdiler.^[58] Bu, giderek daha katı Bell testleri eğilimini başlattı. GHZ düşünce deneyi, 2000 yılında fotonların birbirine dolanık üçlüleri kullanılarak pratikte uygulandı.^[59] 2002 yılına gelindiğinde, lisans laboratuvar derslerinde CHSH eşitsizliğinin test edilmesi mümkündü.^[60]

Bell testlerinde, deneysel bulguların geçerliliğini etkileyen deneysel tasarım veya kurulum sorunları olabilir. Bu sorunlara genellikle "boşluklar" denir. Deneyin amacı, kuantum mekaniğinin tahminleriyle çelişecek olan yerel gizli değişken teorisi ile doğanın açıklanıp tanımlanamayacağını test etmektir.

Gerçek deneylerdeki en yaygın boşluklar “tespit” ve “yerellik” boşluklarıdır.^[61] Deneyde parçacıkların (genellikle fotonlar) küçük bir kısmı algılandığında, algılama açık kapısı oluşur ve bu, algılanan parçacıkların, temsil olmayan bir örnek olduğunu varsayarak, verileri yerel gizli değişkenlerle açıklamayı mümkün kılar. Tespitler bir boşluk benzeri ayrım ile yapılmadığında, yerellik açık kapısı oluşur ve görelilikle çelişmeden bir ölçümün sonucunun diğerini etkilemesi mümkün olur. Bazı deneylerde, Bell testi ihlallerinin yerel-gizli-değişken açıklamalarını mümkün kılan ek kusurlar olabilir.^[62]

Farklı deneylerde hem yerellik hem de algılama boşlukları kapatılmış olsa da, aynı deneyde her ikisini de aynı anda kapatmak uzun süredir devam eden bir zorluktu.This was finally achieved in three experiments in 2015.^{[63][64][65][66][67]} Bu sonuçlarla ilgili olarak Alain Aspect, "... hiçbir deneyin ... tamamen açık kapısız olduğu söylenemez" diye yazıyor ama deneylerin yerel gizli değişkenlerden "vazgeçmemiz gerektiğine dair son şüpheleri de ortadan kaldırdığını" söylüyor ve kalan açıkkapıların ise örneklerini "çok zorlanmış" ve "fizikteki olağan akıl yürütme biçimine yabancı" olarak ifade ediyor.^[68]

Bell eşitsizliklerinin ihlallerini deneysel olarak doğrulamaya yönelik bu çabalar, daha sonra Clauser, Aspect ve Anton Zeilinger'ın 2022 Nobel Fizik Ödülü'ne layık görülmesiyle sonuçlanacaktı.^[69]

Bell'in teoremine verilen tepkiler çok ve çeşitli olmuştur. Schlosshauer, Kofler ve Zeilinger, Bell eşitsizliklerinin "çok sayıda deneyle test edilmiş titiz bir teorik sonuca nasıl sahip olabileceğimize ve yine de sonuçlar konusunda nasıl anlaşamayacağımıza dair harika bir örnek" sağladığını yazıyor.^[70]

Kopenhag yorumu, temelde Niels Bohr ve Werner Heisenberg'e atfedilen kuantum mekaniğinin anlamı hakkındaki görüşlerin bir derlemesidir. Özellikleri 1925-1927 yılları arasında kuantum mekaniğinin gelişimine dayandığından, kuantum mekaniğinin önerilen sayısız yorumunun en eskilerinden biridir ve en yaygın olarak öğretilenlerden biri olmaya devam etmektedir.^[71] "Kopenhag" yorumunun ne olduğuna dair kesin bir tarihsel açıklama yoktur. Özellikle Bohr ve Heisenberg'in görüşleri arasında temel görüş ayrılıkları vardı.^[72][73][74] Kopenhag koleksiyonunun bir parçası olarak genel olarak kabul edilen bazı temel ilkeler, kuantum mekaniğinin özünde deterministik olmadığı (Belirlenimsizlik|belirlenimsiz olduğu) fikrini içerir ve olasılıklar Born Yasası ve tamamlayıcılık ilkesi kullanılarak hesaplanır. Tamamlayıcılık ilkesi, belirli özelliklerin, aynı sistem için aynı anda ortaklaşa tanımlanamayacağını söyler. Bir sistemin belirli bir özelliğinden söz edebilmek için, o sistemin belirli bir laboratuvar düzenlemesi kapsamında ele alınması gerekir. Birbirini dışlayan laboratuvar düzenlemelerine karşılık gelen gözlemlenebilir miktarlar birlikte tahmin edilemez, ancak bir sistemi karakterize etmek için bu tür birbirini dışlayan çok sayıda deneyi dikkate almak gerekir.^[72] Bohr'un kendisi, EPR "paradoksunun" yanıltıcı olduğunu iddia etmek için tamamlayıcılığı kullandı. Konum ve momentum ölçümleri tamamlayıcı olduğundan, birini ölçmeyi seçmek diğerini ölçme olasılığını dışlar. Sonuç olarak, laboratuvar cihazlarının bir düzenlemesiyle ilgili olarak çıkarılan bir gerçeğin, diğeri aracılığıyla çıkarılan bir gerçekle birleştirilemeyeceğini ve bu nedenle, ikinci parçacık için önceden belirlenmiş konum ve momentum değerlerinin çıkarımının geçerli olmayacağını savundu.^{[38]:194–197} Bohr, EPR'nin "argümanlarının, kuantum tanımının esasen eksik olduğu yönündeki sonuçlarını haklı çıkarmadığı" sonucuna vardı.^[75]

Kopenhag tipi yorumlar genellikle Bell eşitsizliklerinin ihlalini, genellikle karşı olgusal kesinlik veya "gerçekçilik" olarak adlandırılan ve daha geniş bir felsefi anlamda gerçekçiliği terk etmekle aynı şey olmayan varsayımı reddetmek için gerekçe olarak alır.^[76][77] Örneğin, Roland Omnès, gizli değişkenlerin reddedildiğini savunuyor ve şu sonuca varıyor: "kuantum mekaniği muhtemelen kapsamı ve olgunluğu bakımından şimdiye kadarki herhangi bir teori kadar realist."^[78]:531 Bu aynı zamanda tutarlı tarihler (genellikle "Kopenhag doğru yapıldı" olarak ilan edilir) ve QBism gibi Kopenhag geleneğinden gelen yorumların izlediği yoldur.^[79][80]

Everett yorumu olarak da bilinen Birçok dünya yorumu, kuantum mekaniğinin dalga fonksiyonu çökmeden, üniter kısmından oluştuğu için yerel ve deterministiktir. Bir Bell eşitsizliğini ihlal eden korelasyonlar üretebilir çünkü Bell'in ölçümlerin tek bir sonucu olduğu şeklindeki üstü kapalı varsayımını ihlal eder. Aslında, Bell'in teoremi, bir ölçümün tek bir sonucu olduğu varsayımından yola çıkarak Birçok Dünya çerçevesinde kanıtlanabilir. Bu nedenle, bir Bell eşitsizliğinin ihlali, ölçümlerin birden çok sonucu olduğunu gösteren bir kanıt olarak yorumlanabilir.^[81]

Bell korelasyonları için sağladığı açıklama, Alice ve Bob ölçümlerini yaptıklarında yerel dallara ayrılmalarıdır. Alice'in her kopyası açısından bakıldığında, Bob'un farklı sonuçlar yaşayan birden çok kopyası vardır, bu nedenle Bob'un kesin bir sonucu olamaz ve Bob'un her kopyası açısından da aynı şey geçerlidir. Yalnızca gelecekteki ışık konileri çakıştığında karşılıklı olarak iyi tanımlanmış bir sonuç elde edeceklerdir. Bu noktada Bell korelasyonunun var olmaya başladığını ancak tamamen yerel bir mekanizma tarafından üretildiğini söyleyebiliriz. Bu nedenle, bir Bell eşitsizliğinin ihlali, yerel olmamanın bir kanıtı olarak yorumlanamaz.^[82]

Gizli değişkenler fikrinin çoğu savunucusu, deneylerin yerel gizli değişkenleri devre dışı bıraktığına inanıyor.^{[note 5]} Bell'in eşitsizliğinin ihlalini, parçacıkların durumları hakkında bilgi alışverişinde bulundukları yerel olmayan bir gizli değişken teorisi aracılığıyla açıklayarak yerellikten vazgeçmeye hazırlar. Bu, evrendeki tüm parçacıkların diğerleri ile anında bilgi alışverişi yapabilmesini gerektiren kuantum mekaniğinin Bohm yorumunun temelidir. Yerel olmayan gizli değişken teorileri için bir zorluk, bu anlık iletişimin neden gizli değişkenler seviyesinde var olabileceğini, ancak sinyal göndermek için kullanılamayacağını açıklamaktır.^[85] 2007'de yapılan bir deney, Bohm mekaniğinin kendisi olmasa da, Bohmcu olmayan, yerel olmayan gizli değişken teorilerinin büyük bir sınıfını dışladı.^[86]

Zamanda hem geriye hem de ileriye doğru hareket eden dalgaları varsayan işlemsel yorum da aynı şekilde yerel değildir.^[87]

Bell teoremini türetmek için gerekli bir varsayım, gizli değişkenlerin ölçüm ayarlarıyla ilişkili olmamasıdır. Bu varsayım, deneycinin ayarları seçmek için "özgür irade"ye sahip olduğu ve her şeyden önce bilim yapmak için bunun gerekli olduğu şeklinde gerekçelendirildi. Ölçüm seçiminin mutlaka ölçülen sistemle ilişkili olduğu (varsayımsal) bir teori "süperdeterministik" olarak bilinir.

Deterministik modellerin birkaç savunucusu, yerel gizli değişkenlerden vazgeçmedi. Örneğin, Gerard 't Hooft süperdeterminizmin göz ardı edilemeyeceğini savundu.^[88]

1. ^ We are for convenience assuming that the response of the detector to the underlying property is deterministic. This assumption can be replaced; it is equivalent to postulating a joint probability distribution over all the observables of the experiment.^[11][12]
2. ^ Daha ayrıntılı olarak, Paul Dirac,^[20] David Hilbert,^[21] John von Neumann^[22] ve Hermann Weyl^[23] tarafından geliştirildiği üzere, bir kuantum mekanik sisteminin durumu, ayrılabilir bir Hilbert uzayı ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$'ye ait bir ${\displaystyle |\psi \rangle }$ vektörüdür. İlgilenilen fiziksel nicelikler - konum, momentum, enerji, dönüş - Hilbert uzayı üzerinde etki eden kendine eş doğrusal operatörler olan "gözlemlenebilirler" tarafından temsil edilir. Bir gözlemlenebilir ölçüldüğünde sonuç, Born kuralı tarafından verilen olasılıkla özdeğerlerinden biri olacaktır: en basit durumda, ${\displaystyle \eta }$ özdeğeri dejenere değildir ve olasılık, ${\displaystyle |\eta \rangle }$'nın ilişkili özvektörü olduğu ${\displaystyle |\langle \eta |\psi \rangle |^{2}}$ tarafından verilir. Daha genel olarak, özdeğer dejeneredir ve olasılık ${\displaystyle \langle \psi |P_{\eta }\psi \rangle }$ tarafından verilir; burada ${\displaystyle P_{\eta }}$, ilişkili özuzayının projektörüdür. Bu tartışmanın amaçları doğrultusunda, özdeğerleri dejenere olmayan olarak alabiliriz.
3. ^ See Reichenbach^[37] and Jammer,^[38]:276 Mermin and Schack,^[39] and for Einstein's remarks, Clauser and Shimony^[40] and Wick.^[41]:286
4. ^ Deterministik olan bir gizli değişken teorisi, belirli bir sonucun olasılığının "her zaman" ya 0 ya da 1 olduğunu ima eder. Örneğin, bir spin-1 atomu üzerindeki bir Stern-Gerlach ölçümü, atomun seçilen eksen boyunca açısal momentumunun, ${\displaystyle -}$, ${\displaystyle 0}$ ve ${\displaystyle +}$olarak adlandırılabilecek üç olası değerden biri olduğunu bildirecektir. Deterministik bir gizli değişken teorisinde, ölçümde bulunan sonucu sabitleyen temel bir fiziksel özellik vardır. Altta yatan fiziksel özelliğin değerine bağlı olarak, herhangi bir sonuç (örneğin, ${\displaystyle +}$ sonucu) imkansız veya garantili olmalıdır. Ancak Gleason teoremi, böyle bir deterministik olasılık ölçüsünün olamayacağını ima eder, çünkü herhangi bir olasılık ölçüsünün, bazı yoğunluk operatörleri ${\displaystyle \rho }$ için bir ${\displaystyle u\to \langle \rho u,u\rangle }$ eşleme biçimini alması gerektiğini kanıtlar. Bu eşleme Hilbert uzayının birim küre üzerinde süreklidir ve bu birim küre bağlı olduğundan, üzerinde hiçbir sürekli olasılık ölçüsü deterministik olamaz. Bu eşleme, Hilbert uzayının birim küresi üzerinde süreklidir ve bu birim küre bağlantılı olduğundan, üzerinde hiçbir sürekli olasılık ölçüsü deterministik olamaz.^[50]:§1.3
5. ^ E. T. Jaynes was one exception,^[83] but Jaynes' arguments have not generally been found persuasive.^[84]