Dörttebirlik

Betimsel istatistik içinde, bir dörttebirlik sıralanmış bir veri setini dört eşit parçaya bölen ve böylece her bir bölünen parçanın anakütle veya örneklem verilerinin 1/4ini kapsadığı, üç tane özetleme değeridir. Çeyreklik olarak da isimlendirilmektedir.

Değişik dörttebirlikler

Böylece

Birinci dörttebirlik (matematik notasyonla Q₁) = alt dörttebirlik = verinin en aşağı değerde olan %25ini kapsar ve bunu daha fazla değerde olan %75inden ayırır. = 25inci yüzdebirlik
İkinci dörttebirlik (matematik notasyonla Q₂) = medyan = sıralanmış veriyi tam ortadan ikiye böler = 50inci yüzdebirlik
Üçüncü dörttebirlik (matematik notasyonla Q₃) = üst dörttebirlik = verinin en aşağı değerde olan %75ini kapsar ve en üstden %25inden ayırır = 75inci yüzdebirlik

Üçüncü dörttebirlik ile birinci dörttebirlik arasındaki fark bir yayılım ölçüsü olarak kullanılıp, çeyrekler açıklığı veya dörttebirlikler açıklığı' diye anılır.

Dörttebirlik bulma

Önce veriler sıralama düzenine koyulur ve sıralanmış her bir veriye bir sıra numarası verilir. Sonra dörttebirlik bulmak için iki genel aşama vardır:

Birinci aşamada sıralama düzeni içinde incelen dörtebirlik gösteren verilerinin sıra numarası bulunur. Bu sıra numarası kesirli da olabilir.
İkinci aşamada bu sıra numarasına tekabül eden veri değeri bulunur. Eğer dorttebirlik sıra numarası kesirli ise bu interpolasyon yolu ile bulunur.

Sıralama düzeni içinde dörttebirlik sıra numarası

Eğer sıralanan verilerin sayısı tam dörde bölünemiyorsa, her dörttebirlik iki belirlenen sıra numarası taşıyan değerler arasında olacaktır. Ne yazıktır ki, bu arada interpolasyon ile hangi değerin bulunacağı hakkında istatistikçiler arasında bir mutabakata varılamamıştır.^[1]

Dörttebirlik değerlerinin bulunması şu hesap basamakları kullanılabilinir:

Anakütle veya örneklem verileri önce sıralanırlar ve bir sıralama düzeni her bir veri için bulunur yani her bir verinin sıra numarası bilinir.
Alt dörttebirlik, medyan (ikinci dörttebirlik) ve üst dörtebirlik için sıra numarası şu formüle göre bulunur

Pinci Q = P/Q (N+1)

Dörttebirlikler için Q=4 olur; N = veri sayısıdır; eğer P=1 ise (P/Q=1/4) alt dörttebirlik; eğer P=2 ise (P/Q=2/4=1/2) medyan ve eğer P=3 ise (P/Q=3/4) üst dörttebir olur. Bu formüle göre her bir dörttebirlik için bulunan ham sıra numarası kesirli olabilir.

Sıralı veri dizisi içinde dörttebirlik değerleri

Her bir dörttebirlik için bulunan sıra numarası kesirsiz ise hemen o sıra numarasına tekabül eden veri dörttebirlik değeri olarak bulunur.

Eğer dörttebirlik sıra numarası kesirli ise enterpolasyon yapmak gerekir:

Önce kesirli sıra numarasında tam sayı atılıp sadece kesir bulunur.
Sonra da bulunan kesirli sıra numarasının kesiri atılıp kalan tam sayı alt sıra numarası olur ve buna 1 eklenerek üst sıra numarası hesaplanır.
Dörttebirlik, bulunan üst sıra numarasına tekabül eden veri ile alt sıra numarasına tekabül eden veri arasındaki farkın bulunan kesir ile çarpılması ile edilen değerin, alt sıra numarasına tekabül eden değere eklenmesi ile bulunur.

Örnek 1: Bu sefer bir diğer örneklem için gözlem sayısı 41 olsun. Bu 41 veri (N=41) sıraya dizilsin ve verilere bir sıralama düzeni verilsin yani her bir veriye sıra numarası verilsin.
- Alt dörttebirlik bulmak için:

 Sıra numarası = (P/Q)(N+1) = (1/4)(41+1) = 10,5  (kesirli)
 Kesir kısmı 0,5   
 Alt sıra numarası 10. Tekabül eden sıralanmış veri 25  
 Üst sıra numarası 11 ve tekabül eden veri 29
 Birinci dörttebirlik Q1 = 10,5 sırada veri = 25 + (0,5)(29-25) = 27

- İkinci dörttebirlik yani medyan bulmak için:

 Sıra numarası = (P/Q)(N+1) = (2/4)(41+1) = 21 (kesirsiz)
 Medyan = 21inci sıra numaralı veri 54

- Üst dorttebirlik bulmak için:

 Sıra numarası = (P/Q)(N+1) = (3/4)(41+1) = 31,5 (kesirli)   
 Kesir kısmı 0,5
 Alt sıra numarası 31  Tekabül eden sıralanmış veri değeri 63  
 Üst sıra numaralı 32  Tekabül eden sıralanmış veri değeri 67
 Üçüncü dörttebirlik Q3 = 63 + (0,5)(67-63) = 65

Başka türlü yapılan hesaplamalarda önce medyan değeri bulunup; sonra bu değer atılıp, kalan iki taraf yine ikiye bölünmektedir. Bu türlü ortaya çıkan dörttebirlikler değişik olabilmektedir.

Çokluk dağılımı içinde dörttebirlik

Eğer veri değerleri gruplanmış ve çokluk dağılımları olarak verilmişler ise, enterpolasyon kullanarak alt dörttebirlik ve üst dörttebirlik bulunabilir.

Alt dörttebirlik için sıralama düzeni içinde N/4 sıra numarasının içine düştüğü sınıf bulunur ve şu değerler bulunur:

L1: alt dörttebirlik sınıfın alt değeri;
c1: alt dörttebirlik sınıfın aralığı;
f1: alt dörttebirlik sınıfın frekansı;
d1: alt dörttebirlik sınıftan bir önceki sınıfın yiğmali frekansı.

Sonra entrepolasyon ile ortaya çıkartılan şu formül kullanılır:

Alt dörttebirlik

Q1=L+{\frac {c1}{f1}}\left({\frac {N}{4}}-d1\right)

burada Q1: alt dörttebirlik ve N: toplam birim sayısıdır.

Üst dörttebirlik için 3N/4 sıra numarasının içine düştüğü sınıf bulunur ve şu değerler elde edilir:

L3: üst dörttebirlik sınıfın alt değeri;
c3: üst döorttebirlik sınıfın aralığı;
f3: üst dörttebirlik sınıfın frekansı;
d3: üst dörttebirlik sınıftan bir önceki sınıfın yiğmalı frekansı.

Entrepolasyon ile ortaya çıkartılan formül şudur:

Üst dörttebirlik :

Q3=L3+{\frac {c3}{f3}}\left({\frac {{3}(N)}{4}}-d3\right)

burada Q3: üst dörttebirlik ve N: toplam birim sayısıdır.

Dörttebirlikler ve kutu gösterimi

Bu ikinci türlü hesaplama özellikle 1970'li yıllarda Amerikan istatistikçi Tukey tarafından geliştirilen Açıklayıcı veri analizi yaklaşımlarda kullanılmaktadır. Bu istatistikçi özel (bazen gülünç) terim isimleri bulmakla da tanınmıştır. Dörttebirlikleri, özellikle geliştirdiği kutu ve bıyıklar gösterimi için kullanır. Kutu ve bıyıklar gösterimi bir ölçekli dikey veya yatay doğru üzerinde kurulur. Doğrunun en alt ve en üst uçları verinin en küçük ve en büyük değerleridir. Bir kutu doğrunun üstünde ortada kurulur. Birinci ve üçüncü dörttebirlikler kutunun alt ve üst kenarlarını ifade ettikleri için Tukey (ve yandaşları)tarafından alt menteşe ve üst menteşe adı ile anılırlar. Medyan kutunun içinde veri dizi ortası olarak işaret edilir. Bu gösterimde kutu çeyrekler açıklığı olarak veri yayılımını; doğru veri açıklığını yani genel yayılımı; medyan da ortalama konumu gösterir.