József Kiprich, profesyonel kariyerine 17 yaşında, 1980/81 sezonunda 1. seviyedeki Macaristan Ligi'nde oynayan Tatabányai Bányász'da başladı. Takip eden yıllarda Kiprich, takımın ilk düzenli oyuncusu ve takımın kilit oyuncusu oldu. Golcü olarak tanındı ve 1984'te Macaristan millî takımında ilk kez forma giydi. 1985 yılında Macaristan Ligi'nde 26 maçta 18 gol atarak en çok gol atan oyuncu oldu. Hollanda'ya taşınmadan önce Tatabánya'da toplamda dokuz sezon oynadı.