Trabzon Müzesi olarak düzenlenen Kostaki Konağı (Yunanca: Μέγαρο ΚωστάκηMegaro Kostaki), Zeytinlik Caddesi'nde 1900'lü yılların başlarında (1898-1913) Banker Kostaki Teofilaktos tarafından konut olarak yaptırılmıştır. Konağın mimarlarının ismi tespit edilememiştir. Ancak mimarlarının İtalyan olduğu belirlenen yapıda kullanılan birçok malzemenin İtalya'dan getirildiği bilinmektedir.[1]
Kostaki Teofilaktos 1917 yılında malları zorla kamulaştırılmış edilince, bu yapıyla birlikte bütün mal varlığına haciz konulmuş ve konak Nemlioğlu ailesi tarafından satın alınmıştır.
15-17 Eylül 1924 tarihinde Trabzon'u ilk ziyaretinde Mustafa Kemal Atatürk, eşi Latife Hanım ve beraberindeki heyetle birlikte bu konakta misafir edilmişlerdir.
Trabzon Valisi Ali Galip Bey zamanında 1927-1932 yıllarında 25.000 TL bedelle kamulaştırılarak 1927-1931 yılları arasında Hükûmet Konağı, 1931-1937 yılları arasında Müfettişlik binası olarak kullanılmıştır.
Türkiye'nin sayılı sivil mimarlık örnekleri arasında yer alan konağın bodrum kat hariç tüm kat duvarları tamamen kalem işi süslüdür.
1988-2001 yılları arasında Kültür Bakanlığı'nca restorasyonu tamamlanan konak 22 Nisan 2001 tarihinde Trabzon Müzesi olarak ziyarete açılmıştır.
Konağın bodrum katı Arkeolojik Eserler Seksiyonu, zemin katı Konak Teşhiri, birinci katı Etnografik Eserler Bölümü ve asma katı İdari Bölüm olarak düzenlenmiştir.[1]