Дужка Айверсона

Ду́жка Айверсона — функція, що повертає 1 для істинного висловлювання, і 0, якщо аргумент хибний:

${\displaystyle [\,P\,]={\begin{cases}1,&{\text{якщо }}P{\text{ істинне}}\\0,&{\text{якщо }}P{\text{ хибне}}\end{cases}}}$

Нотація, яку Кеннет Айверсон ввів для мови програмування APL, виявилася дуже зручним математичним позначенням, наприклад, з ним можна лаконічно визначити:

• символ Кронекера: ${\displaystyle \delta _{ij}=[\,i=j\,]}$ ,
• індикаторну функцію: ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[\,x\in A\,]}$,
• функцію Гевісайда: ${\displaystyle \theta (x)=[\,x\geqslant 0\,]}$,
• функцію знака числа: ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=[\,x>0\,]-[\,x<0\,]}$.

Також нотація зручна при користуванні сумами, оскільки дозволяє виражати їх без обмежень на індекс підсумовування, наприклад:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{k}a_{k}[\,1\leqslant k\leqslant n\,]}$,

тобто індекс ${\displaystyle k}$ пробігає всю множину ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ цілих чисел, і формально підсумовується нескінченна кількість доданків, але лише скінченне число їх відмінне від нуля.

Приклад обчислення з використанням дужок Айверсона суми ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j}}$ для послідовності ${\displaystyle \{a_{i}\}}$:

${\displaystyle [\,i<j\,]+[\,i=j\,]+[\,i>j\,]=1}$ ,

${\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i<j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i=j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i>j\,]=\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}}$ ,

${\displaystyle S+\sum \limits _{i}a_{i}^{2}+S={\biggl (}\sum \limits _{i}a_{i}{\biggr )}^{2}}$ ,

а оскільки для правої частини:

${\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}=\sum \limits _{i}\sum \limits _{j}a_{i}a_{j}=\sum \limits _{i}a_{i}\sum \limits _{j}a_{j}={\biggl (}\sum \limits _{i}a_{i}{\biggr )}^{2}}$ ,

то:

${\displaystyle S=\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{i}a_{j}={\frac {1}{2}}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\biggr )}^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}$ .

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М. : Мир, 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
• Kenneth E. Iverson. A Programming Language. — the University of California : Wiley, 1962. — 286 с. — ISBN 0471430145.