Народився 9 січня1989 року в місті Богота. Вихованець футбольної школи клубу «Санта-Фе». Дорослу футбольну кар'єру розпочав 2007 року в основній команді того ж клубу. У тому ж році в складі клубу Каміло став володарем Кубка Колумбії. 24 листопада 2011 року в поєдинку проти «Мільонаріос» забив гол[1]. Варгас прийшов у штрафну суперника наприкінці зустрічі на подачу кутового і ударом головою замкнув подачу з кута поля[2]. У 2012 році Каміло став чемпіоном Апертури, а в 2013 завоював Суперкубок Колумбії. У 2014 році Варгас вдруге став чемпіоном країни.
На початку 2015 року він перейшов в «Атлетіко Насьйональ». 23 лютого в матчі проти «Депортіво Пасто» Варгас дебютував за новий клуб[3]. У своєму дебютному сезоні він став чемпіоном Колумбії.
На початку 2016 року Каміло на правах оренди перейшов у аргентинський«Архентінос Хуніорс». 6 лютого в матчі проти «Тігре» він дебютував у аргентинській Прімері[4]. Влітку того ж року Варгас на правах оренди приєднався до «Депортіво Калі». 1 серпня в матчі проти свого колишнього клубу «Атлетіко Насьйональ» Каміло дебютував за нову команду[5]. Загалом в команді провів півтора року, після чого повернувся в «Атлетіко Насьйональ», але знову заграти у клубі не зумів і на початку 2018 року знову був відданий в оренду в «Депортіво Калі».
2 червня 2014 року, попри відсутність досвіду виступів за національну збірну Колумбії, був включений до заявки для участі у фінальній частині чемпіонату світу 2014 року, втім був лише третім воротарем і на поле не виходив
