напівнеперервна зверху функція.напівнеперервна знизу функція.
Напівнеперервність в математичному аналізі — це властивість функції більш слабка, ніж неперервність. Функція є напівнеперервною зверху в точці, якщо значення функції в близьких точках є близькими або меншими від значення значення функції в ній. Функція є напівнеперервною знизу в точці, якщо значення функції в близьких точках є близькими або більшими значення функції в ній.
Функція називається напівнеперервною зверху (знизу) на , якщо вона є напівнеперервною зверху (знизу) для всіх .
Альтернативно функція є напівнеперервною зверху (знизу) на якщо множина є відкритою.
Ввівши в множині дійсних чисел топологію
для топологічного простору маємо, що функція є напівнеперервною зверху, тоді і тільки тоді коли вона є неперервною в новій топології дійсних чисел: . Для подібного визначення неперервності знизу для дійсних чисел слід ввести топологію
Дані означення можна узагальнити на довільну лінійно впорядковану множину з подібним визначенням топології.
Індикатор довільної відкритої множини є напівнеперервною знизу функцією.
Індикатор довільної замкнутої множини є напівнеперервною зверху функцією.
Нехай — система звичайних диференціальних рівнянь (y — вектор порядку n). Нехай функція F визначена на множині і для кожної точки існує єдиний максимальний розв'язок системи рівнянь , визначений на проміжку Числа загалом залежать від початкових умов і можна визначити функції Тоді функція є напівнеперервною зверху на множині E, а функція є напівнеперервною знизу на множині E[1].
Властивості
Функція є неперервною тоді й лише тоді коли вона є одночасно напівнеперервною зверху і знизу.
Якщо є напівнеперервною зверху, то функція -f є напівнеперервною знизу і навпаки.
Нехай є дві напівнеперервні знизу (зверху) функції. Тоді їх сума також напівнеперервна знизу (зверху). Якщо напівнеперервні зверху функції є невідємними в точці то їх добуток теж буде напівнеперервним зверху.
Якщо — напівнеперервні зверху функції дійсної змінної і g також неспадна, то функція є також напівнеперервною зверху.
Межа монотонно зростаючої (спадної) послідовності напівнеперервних знизу (зверху) в точці функцій є напівнеперервною знизу (зверху) функцією в . Більш точно, нехай дано послідовність напівнеперервних знизу (зверху) функцій таких, що Тоді якщо існує межа то напівнеперервна знизу (зверху).
Якщо і є напівнеперервні функції відповідно знизу і зверху , і на всьому просторі виконано
Теорема Віталі — Каратеодорі. Якщо — невід'ємні міра на , то для будь-якої -вимірної функції існують дві послідовності функцій і , що задовольняють умовам:
↑Hartman, Philip (2002), Ordinary Differential Equations, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-510-1, ст. 94-95.(англ.)