Вихованець львівського футболу. У Кубку України 2005/06 на етапі 1/8 фіналу «Карпати» на власному полі обіграли «Шахтар» з рахунком 1:0. Взимку під час трансферного вікна, донеччани підписали Шуста, заплативши «зелено-білим» 1 млн. доларів.
Втративши місце в основі «Шахтаря», Богдан почав здаватися в оренди. Так, влітку 2009 року він був відданий в оренду на 2 роки в донецький «Металург»[1]. Проте, в команді пробув півроку і зіграв лише 5 матчів у Прем'єр-лізі, так як поступався місцем в основі Владимиру Дишленковичу. В січні 2010 року був відданий в оренду до кінця сезону в луганську «Зорю»[2]. У грудні 2010 року був відданий в оренду в маріупольський «Іллічівець»[3].
На початку 2012 року, після дискваліфікації Олександра Рибки, повернувся у «Шахтар», але не зіграв жодного матчу.
«Металіст»
12 січня 2013 року на правах вільного агента підписав трирічний контракт з харківським «Металістом»[4]. Спочатку був резервним голкіпером харків'ян, а з другої половини 2014 року став основним воротарем команди. Втім через фінансові проблеми «Металіста» на початку 2015 року Шуст разом з іншими гравцями основного складу відмовився виходити на поле у її складі.
«Волинь»
Сезон 2014—2015
На початку березня було повідомлено про перехід досвідченого воротаря до луцької «Волині», де він отримав перший номер[5]. Дебютував у матчі проти «Чорноморця», де пропустив один гол. Там він дуже міцно влився до основи і став основним голкіпером клубу.
Сезон 2015—2016
Почав сезон матчем 1 туру чемпіонату з «Ворсклою». Там він пропустив 1 гол. У 2 турі пропустив 4 голи від «Шахтаря». Наступний матч з «Металургом» відстояв на нуль. У Кубку України почав з матчу без пропущених голів у матчі з «Інгульцем». На 59-й хвилині матча з «Зорею» був вилучений. У чвертьфіналі Кубку України пропустив 5 голів від того самого клубу. Після цього він не брав участь у наступному турі чемпіонату. Але одразу після цього відстояв на нуль два матчі з «Карпатами» і «Олександрією».
«Ворскла»
Сезон 2016—2017
3 червня 2016 року підписав контракт з полтавською «Ворсклою».
6 серпня 2017 року в матчі проти «Динамо» отримав перелом виличної кістки зі зміщенням щелепи[6].
В сезоні 2017/2018 виборов разом з «Ворсклою» бронзові нагороди.