Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

Індукція назад

Індукція назад, індукція з кінця або обернена індукція — це процес міркування обернений у часі, від кінця задачі або ситуації, щоб визначити послідовність найсприятливіших дій. Він рухається розглядаючи останню точку, в якій треба ухвалювати рішення і тоді з'ясовує яка дія буде найоптимальнішою в цю мить. Послуговуючись цими даними, ви можете визначити, що робити під час ухвалення другого з кінця рішення. Цей процес триває назад в часі допоки не буде визначено найліпші дії для всіх можливих становищ (наприклад, для кожної можливої інформаційної множини[en]) у кожну точку в часі. Індукцію назад вперше в 1875 році ужив Артур Кейлі, який відкрив метод намагаючись розв'язати горезвісну задачу про перебірливу наречену.[1]

У математичній оптимізації оптимізації в методі динамічного програмування індукція назад це один з головних підходів для розв'язання рівняння Беллмана.[2][3] У теорії ігор, індукція назад це метод використовуваний для обчислення досконалої рівноваги підігор[en] у послідовних іграх.[4] Єдина різниця це те, що оптимізація залучає лише одного ухвалювача рішень, який обирає, що робити кожної миті, тоді як теорія ігор аналізує як взаємодіють рішення кількох гравців. Тобто передбачаючи, що останній гравець робитиме в кожній ситуації, ми можемо визначити, що робитиме другий з кінця гравець і так далі. У пов'язаних галузях автоматизованого планування та диспетчеризації й автоматизованого доведення теорем, метод називається пошуком назад або зворотним виводом. У шахах він відомий як ретроспективний аналіз.

Індукцію назад використовували для розв'язання ігор так довго як довго існувала теорія ігор. Джон фон Нейман і Оскар Морґенштерн запропонували розв'язувати ігри з нульовою сумою і двома гравцями за допомогою індукції назад у їхній книжці Теорія ігор і економічної поведінки (1944), ця книжка вводила теорію ігор як напрямок для дослідження.[5][6]

Індукція назад в ухвалені рішень: задача оптимальної зупинки

Розгляньмо безробітну людину, яка зможе працювати ще десять років t = 1,2,…,10. Припустімо, що кожен рік, протягом якого вона залишається безробітною, їй можуть запропонувати «хорошу» роботу з оплатою 100 доларів або «погану» роботу з оплатою 44 долари з рівною ймовірністю (50/50). Щойно вона погодиться на роботу, вона залишатиметься на цій роботі протягом решти десяти років. (Для простоти припустимо, що вона дбає лише про свої грошові доходи, і що вона оцінює доходи в різний час однаково, тобто ставка дисконту дорівнює одиниці.)

Чи повинна ця людина погоджуватися на погану роботу? Щоб відповісти на це запитання, ми можемо міркувати в зворотному напрямку від часу t = 10.

  1. У момент часу 10 цінність прийняття хорошої роботи становить 100 доларів США; цінність погодження на погану роботу становить 44 долари; цінність відмови від доступної роботи рівне нулю. Тому, якщо вона все ще залишається безробітною впродовж останнього періоду, вона повинна прийняти будь-яку роботу, яку їй пропонують на той час.
  2. У момент часу 9 цінність прийняття хорошої роботи становить 200 доларів (бо ця робота триватиме два роки); цінність погодження на погану роботу рівна 2*44$ = 88$. Цінність відхилення пропозиції про роботу зараз становить 0 доларів США плюс вартість очікування наступної пропозиції про роботу, яка становитиме або 44 долари США з імовірністю 50 %, або 100 доларів США з імовірністю 50 %, для середнього («очікуваного») значення 0,5*(100$+44$)=72$. Тому, незалежно від того, хороша чи погана вакансія, доступна в момент часу 9, краще прийняти цю пропозицію, ніж чекати кращої.
  3. У момент часу 8 цінність прийняття хорошої роботи становить 300 доларів (вона триватиме три роки); цінність погодження на погану роботу становить 3*$44 = $132. Цінність відхилення пропозиції роботи зараз становить 0 доларів США плюс вартість очікування пропозиції роботи в момент 9. Оскільки ми вже дійшли висновку, що пропозиції в момент 9 повинні бути прийняті, очікувана вартість очікування пропозиції роботи в момент 9 дорівнює 0,5*(200$+88$) = 144$. Тому в момент 8 цінніше чекати наступної пропозиції, ніж погоджуватися на погану роботу.
  4. Продовжуючи роботу у зворотному напрямку, можна переконатися, що погані пропозиції слід приймати, лише якщо людина все ще безробітна в 9 або 10 моментів; їх слід відхиляти в будь-який час до t = 8. Інтуїція полягає в тому, що якщо хтось очікує працювати на роботі протягом тривалого часу, це робить більш цінним бути вибагливим щодо того, яку роботу прийняти.

Задача динамічної оптимізації такого типу називається задачею оптимальної зупинки, бо питання полягає в тому, коли припинити очікування кращої пропозиції. Теорія пошуку[en] — це галузь мікроекономіки, яка застосовує задачі такого типу до таких контекстів, як покупки, пошук роботи та шлюб.

Індукція назад в теорії ігор

У теорії ігор обернена індукція є концепцією рішення. Це уточнення концепції раціональності, яка чутлива до окремих інформаційних множин[en] в екстенсивному представленні гри.[7] Ідея оберненої індукції використовує послідовну раціональність шляхом визначення оптимальної дії для кожної інформації в даному дереві гри.

У «Стратегії: Вступ до теорії ігор» Джоела Уотсона процедура зворотної індукції визначається як: «Процес аналізу гри від кінця до початку. На кожному вузлі прийняття рішень вилучаються з розгляду будь-які дії, які є домінуючими, враховуючи термінальні вузли, які можуть бути досягнуті через гру дій, визначених на наступних вузлах».[8]

Одним із недоліків процедури зворотної індукції є те, що її можна застосовувати лише до обмежених класів ігор. Процедура чітко визначена для будь-якої гри з досконалою інформацією без прив'язки до користі. Вона також чітко визначена й значуща для ігор ідеальної інформації зі зв'язками. Однак це призводить до понад одного профілю стратегії. Процедуру можна застосувати до деяких ігор з нетривіальними інформаційними множинами, але в цілому вона ненадійна. Процедура найкраще підходить для розв'язування ігор з ідеальною інформацією. Тому, якщо всі гравці не усвідомлюють дії інших гравців і виграші на кожному вузлі від прийняття рішень, тоді обернену індукцію не так легко застосувати. (Ватсон с. 188)[9]

Процедуру зворотної індукції можна продемонструвати на простому прикладі.

Багатоетапна гра

Розгляньмо багатоетапну гру[en], в якій беруть участь 2 гравці. Гравці планують піти в кіно. Зараз є 2 фільми, які дуже популярні, Джокер і Термінатор. Гравець 1 хоче дивитися Термінатора, а Гравець 2 хоче дивитися Джокера. Гравець 1 першим купить квиток і повідомить Гравцю 2 про свій вибір. Тоді Гравець 2 купить свій квиток. Після того як вони обидва спостерігатимуть за вибором, вони вирішать, піти їм у кіно чи залишитися вдома. Як і на першому етапі, гравець 1 обирає першим. Потім гравець 2 робить свій вибір після спостереження за вибором гравця 1.

У цьому прикладі ми припускаємо, що виграш додається на різних етапах. Гра є грою з повною інформацією.

Матриця нормальної форми:

Стадія 1
Гравець 2

Гравець 1
 Джокер Термінатор
Джокер 3, 5 0, 0
Термінатор 1, 1 5, 3
Стадія 2
Гравець 2

Гравець 1
 Піти в кіно Залишитись вдома
Піти в кіно 6, 6 4, -2
Залишитись вдома -2, 4 -2, -2

Розгорнута форма[en] гри Джокер/Термінатор: Кроки для розв'язання цієї багатоетапної гри з великою формою, як показано праворуч:

Розгорнута форма гри Джокер/Термінатор
  1. Зворотна індукція починає розв'язувати гру з останніх вузлів.
  2. Гравець 2 спостерігатиме за 8 підіграми[en] з останніх вузлів, щоб вибрати «Піти на фільм» або «Залишитися вдома».
    1. Гравець 2 загалом зробить 4 порівняння. Він обере варіант з більшим виграшем.
    2. Наприклад, якщо розглядати першу підгру, виграш 11 більший, ніж 7. Тому Гравець 2 обирає «Піти на фільм».
    3. Метод продовжується для кожної підгри.
  3. Коли Гравець 2 завершить свій вибір, Гравець 1 зробить свій вибір на основі вибраних підігор.
    1. Процес подібний до кроку 2. Гравець 1 порівнює свої виграші, щоб зробити свій вибір.
    2. Підігри, не обрані Гравцем 2 на попередньому кроці, більше не розглядаються обома гравцями, оскільки вони не є оптимальними
    3. Наприклад, вибір «Піти в кіно» пропонує виграш 9 (9,11), а вибір «Залишитися вдома» пропонує виграш 1 (1, 9). Гравець 1 обере «Піти на фільм».
  4. Процес повторюється для кожного гравця, доки не буде досягнуто початковий вузол.
    1. Наприклад, Гравець 2 обере «Джокера», оскільки виграш 11 (9, 11) більший, ніж «Термінатор» з виграшем 6 (6, 6).
    2. Наприклад, гравець 1 у початковому вузлі обере «Термінатор», оскільки він пропонує вищу винагороду 11. Термінатор: (11, 9) > Джокер: (9, 11)
  5. Щоб визначити досконалу за підіграми рівновагу[en][10], нам потрібно визначити маршрут, який обирає оптимальну підгру для кожної інформаційної множини.
    1. У цьому прикладі Гравець 1 обирає «Термінатор», а Гравець 2 також обирає «Термінатор». Потім обидва обирають «Піти на фільм».
    2. Ця досконала за підіграми рівновага призводить до виграшу (11,9)

Гра в ультиматум

Індукція назад — це «процес аналізу гри від кінця до початку». Як і при розв'язуванні інших рівноваг Неша, передбачається раціональність гравців і повне знання. Концепція оберненої індукції відповідає цьому припущенню, бо загальновідомо, що кожен гравець діятиме раціонально з кожним вузлом ухвалення рішень, коли він обирає варіант — навіть якщо його раціональність означатиме, що такий вузол не буде досягнутий».[11] Отже, за умови взаємного припущення раціональності, індукція назад дозволяє кожному гравцеві точно передбачити, що буде робити його суперник на кожному етапі гри.

Щоб розв'язати досконалу за підіграми рівновагу[en] за допомогою оберненою індукції, гру слід записати в розгорнутій формі, а потім розділити на підігри. Починаючи з підгри найдальшої від початкового вузла або початкової точки, очікувані виграші, зазначені для цієї підгри, зважуються, і раціональний гравець вибере для себе варіант із вищою віддачею. Вибирається та позначається вектор найбільшого виграшу. Знайдіть ідеальну рівновагу в підгрі, постійно працюючи назад від підгри до підгри, поки не досягнете початкової точки. У міру того, як цей процес просувається, ваша початкова гра в екстенсивній формі ставатиме все коротшою. Цей позначений шлях векторів є ідеальною рівновагою підгри.[1]

Індукція назад, застосована до гри в ультиматум

Подумайте про гру між двома гравцями, де гравець 1 пропонує розділити один долар з гравцем 2. Це відома асиметрична гра, у яку грають послідовно і називають грою «ультиматум»[en]. Перший гравець діє першим, розділяючи долар так, як вважає за потрібне. Тепер другий гравець може прийняти частину, яку йому роздав перший гравець, або відмовитися від розподілу. Якщо гравець 2 приймає розподіл, то гравець 1 і гравець 2 отримують виграш відповідно до цього розподілу. Якщо другий гравець вирішить відхилити пропозицію гравця 1, обидва гравці нічого не отримають. Іншими словами, гравець 2 має право вето на запропонований розподіл гравця 1, але застосування вето усуває будь-яку винагороду для обох гравців.[12] Таким чином, профіль стратегії для цієї гри можна записати у вигляді пар (x, f(x)) для всіх x від 0 до 1, де f(x)) є двозначною функцією, яка виражає, приймається x чи ні.

Розгляньмо вибір і відповідь гравця 2 на будь-яку довільну пропозицію гравця 1, припускаючи, що пропозиція перевищує 0 доларів. Використовуючи обернену індукцію, безсумнівно, ми очікуємо, що гравець 2 прийме будь-яку виграш, що перевищує або дорівнює 0 доларів. Відповідно, гравець 1 повинен запропонувати дати гравцеві 2 якомога менше, щоб отримати найбільшу частину розподілу. Якщо гравець 1 дає гравцеві 2 найменшу грошову одиницю, а решту залишає собі, це унікальна ідеальна рівновага в підгрі. Гра «Ультиматум» має кілька інших рівноваг Неша, які не є ідеальними підіграми і тому не потребують індукції назад.

Гра в ультиматум це ілюстрація корисності оберненої індукції при розгляді нескінченних ігор; однак теоретично передбачені результати гри піддаються критиці. Емпіричні експериментальні дані показали, що пропонент дуже рідко пропонує 0 доларів, а гравець 2 іноді навіть відхиляє пропозиції, що перевищують 0 доларів, мабуть, з міркувань справедливості. Те, що гравець 2 вважає справедливим, залежить від контексту, і тиск або присутність інших гравців може означати, що теоретична модель ігор не обов'язково може передбачити, що виберуть реальні люди.

На практиці ідеальна рівновага в підгрі не завжди досягається. За словами Камерера, американського поведінкового економіста, гравець 2 «відхиляє пропозиції менш ніж на 20 відсотків від X приблизно в половині випадків, навіть якщо в кінцевому підсумку він не отримує нічого».[13] Хоча індукція назад передбачила б, що респондент приймає будь-яку пропозицію рівну або більшу нуля, респонденти насправді не раціональні гравці і тому, здається, більше піклуються про «справедливість» пропозиції, а не про потенційні грошові вигоди.

Дивіться також гру «стонога».

Обернена індукція в економіці: ухвалення рішення про вхід на ринок

Розгляньмо динамічну гру, в якій гравцями є фірма, що посідає усталену позицію в галузі, й потенційний новий учасник цієї галузі. У поточному стані усталений оператор має монополію на галузь і не хоче втрачати частину своєї частки ринку на користь нового. Якщо учасник вирішує не вступати, виграш для чинного учасника є високим (він зберігає свою монополію), і учасник не втрачає і не отримує (його виграш дорівнює нулю). Якщо новачок вступає, то усталений може «воювати» або «примиритись» з новачком. Він може боротися, знижуючи свою ціну, виводячи конкурента з бізнесу (і несучи витрати на виході — від'ємний виграш) і завдаючи шкоди власним прибуткам. Якщо він піде назустріч учаснику, він втратить частину своїх продажів, але висока ціна збережеться, і він отримає більший прибуток, ніж від зниження ціни (але нижчий, ніж прибуток монополії).

Подумайте, чи найкращою відповіддю посадової особи є примирення, якщо вступає новачок. Якщо чинний оператор погоджується, найкраща відповідь учасника — увійти (і отримати прибуток). Таким чином, стратегічний профіль, до якого вступає новачок, і усталений оператор примиряється, якщо новий вступає, є рівновагою Неша, що відповідає оберненій індукції. Проте, якщо усталений учасник збирається битися, найкраща відповідь учасника — не вступати, і якщо учасник не вступає, не має значення, що він вирішить робити в гіпотетичному випадку, коли учасник все ж вступить. Таким чином, стратегічний профіль, у якому усталений учасник бореться, якщо вступає учасник, але учасник не вступає, також є рівновагою Неша. Однак, якщо учасник відхилиться і увійде, найкращою реакцією усталеного учасника буде примирення — загроза бійки не викликає довіри. Тому цю другу рівновагу Неша можна усунути за допомогою оберненої індукції.

Знаходження рівноваги Неша в кожному процесі ухвалення рішень (підгрі) є ідеальною підігровою рівновагою. Таким чином, ці профілі стратегії, які зображують ідеальну рівновагу підігор, виключають можливість таких дій, як неймовірні загрози, які використовуються, щоб «відлякати» нового учасника. Якщо діючий оператор погрожує розпочати війну цін з новим учасником, він погрожує знизити свої ціни з монопольної ціни до трохи нижчої, ніж у нового учасника, що було б непрактично та неймовірно, якби учасник знав, що цінової війни насправді не буде, бо це призведе до втрат для обох сторін. На відміну від оптимізації за допомогою одного агента, яка включає в себе рівноваги, які є нездійсненними або оптимальними, ідеальна рівновага підгри враховує дії іншого гравця, таким чином гарантуючи, що жоден гравець не досягне підгри помилково. У цьому випадку обернена індукція, яка дає ідеальну рівновагу підігор, гарантує, що учасник не буде переконаний у загрозі чинного гравця, знаючи, що це була не найкраща відповідь у профілі стратегії.[14]

Парадокс індукції назад: раптова страта

Парадокс раптової страти — це парадокс, пов'язаний з оберненою індукцією. Припустімо, що ув'язненій сказали, що її повісять десь між понеділком і п'ятницею наступного тижня. Однак точний день не відомий (тобто, вона не знатиме напередодні ввечері, що наступного дня її стратять). Ув'язнена, зацікавлена в тому, щоб перехитрити свого ката, намагається визначити, в який день відбудеться страта.

Вона вважає, що це не може відбутися в п'ятницю, бо якби це не відбулося до кінця четверга, вона б знала, що страта буде в п'ятницю. Тому вона може виключити п'ятницю як можливість. Коли п'ятницю вилучено, вона вирішує, що це не може відбутися в четвер, бо якби це не відбулося в середу, вона знала б, що це мало бути в четвер. Тому вона може усунути четвер. Це міркування триває, доки вона не усуне всі можливості. Вона робить висновок, що наступного тижня її не повісять.

На її подив, у середу її вішають. Вона зробила помилку, припустивши, що вона точно знала, чи невідомий майбутній чинник, який спричинить її страту, є тим, про який вона може міркувати.

Тут ув'язнена міркує за оберненою індукцією, але, здається, доходить до помилкового висновку. Зауважте, однак, що опис задачі передбачає можливість здивувати когось, хто виконує індукцію назад. Математична теорія оберненої індукції не робить цього припущення, тому парадокс не ставить під сумнів висліди цієї теорії. Тим не менш, цей парадокс викликав серйозні дискусії серед філософів.

Обернена індукція та загальні знання про раціональність

Зворотна індукція працює, лише якщо обидва гравці раціональні, тобто завжди обирають дію, яка максимізує їхній виграш. Однак раціональності недостатньо: кожен гравець також повинен вірити, що всі інші гравці є раціональними. Навіть цього недостатньо: кожен гравець повинен вірити, що всі інші гравці знають, що всі інші гравці раціональні. І так до нескінченності. Іншими словами, раціональність має бути загальновідомою.[15]

Обмежена індукція назад

Досліди показали, що в іграх із послідовним торгом, таких як гра «Стонога», суб'єкти відхиляються від теоретичних прогнозів і замість цього беруть участь у обмеженій оберненій індукції. Це відхилення виникає як наслідок обмеженої раціональності, коли гравці можуть чітко бачити лише на кілька етапів вперед.[16] Це допускає непередбачуваність у рішеннях і недієвість у пошуку та досягненні підігрової ідеальної рівноваги Неша[en].

Чотирьохетапна послідовна гра з обмеженним баченням етапів

Існує три широкі гіпотези цього явища;

  • Наявність соціальних чинників (наприклад, справедливість)
  • Наявність несоціальних чинників (наприклад, обмежена обернена індукція)
  • Культурна відмінність

Порушення оберненої індукції переважно пояснюється наявністю соціальних чинників. Однак прогнози моделі на основі даних для послідовних ігор з угодою (з використанням моделі когнітивної ієрархії[en]) підкреслили, що в деяких іграх присутність обмеженої оберненої індукції може відігравати панівну роль.[17]

У рамках повторюваних ігор суспільних благ на поведінку команди впливає обмежена обернена індукція; де очевидно, що початкові внески членів команди вищі, ніж внески ближче до кінця. Обмежена обернена індукція також впливає на те, наскільки регулярно відбувається безкоштовне користування в грі суспільних благ команди. На початку, коли вплив обмеженої зворотної індукції низький, безквитковий проїзд зустрічається рідше, тоді як ближче до кінця, коли ефект значний, безквитковий проїзд стає частішим.[18]

Обмежена зворотна індукція також була перевірена на наявність у варіанті перегонової гри. У грі гравці послідовно вибирають цілі числа в діапазоні та підсумовують свій вибір, доки не буде досягнуто цільове число. Влучання в ціль приносить цьому гравцеві приз; інший програє. Під час серії ігор було введено невеликий проміжний приз. Тоді більшість гравців виконали обмежену індукцію назад, бо вони вирішили отримати невеликий приз, а не початковий приз. Лише невелика частина гравців розглядала обидва призи на початку.[19]

Більшість випробувань індукції назад відбулось на дослідах, в яких учасники не заохочуються або лише незначною мірою заохочуються виконати завдання якісно. Однак порушення оберненої індукції також поширене в середовищах з високими ставками. Широкомасштабний аналіз американського телешоу «The Price Is Right», наприклад, надає докази обмеженого передбачення. У кожному епізоді учасники грають у «Showcase Showdown», послідовну гру з досконалою інформацією, для якої оптимальну стратегію можна знайти за допомогою оберненої індукції. Часті й систематичні відхилення від оптимальної поведінки свідчать про те, що значній частині учасників не вдається належним чином індукувати назад і вони короткозоро розглядають лише наступний етап гри.[20]

Примітки

  1. ↑ а б Rust, John (9 вересня 2016). Dynamic Programming. The New Palgrave Dictionary of Economics: Palgrave Macmillan. ISBN 978-1-349-95121-5.
  2. ↑ Jerome Adda and Russell Cooper, «Dynamic Economics: Quantitative Methods and Applications», Section 3.2.1, page 28. MIT Press, 2003.
  3. ↑ Mario Miranda and Paul Fackler, «Applied Computational Economics and Finance», Підрозділ 7.3.1, сторінка 164. МІТ Прес, 2002.
  4. ↑ Drew Fudenberg and Jean Tirole, «Game Theory», Підрозіл 3.5, сторінка 92. МІТ Прес, 1991.
  5. ↑ Mathematics of Chess [Архівовано 2017-11-12 у Wayback Machine.], webpage by John MacQuarrie.
  6. ↑ Джон фон Нейман і Оскар Морґенштерн, «Theory of Games and Economic Behavior», Підрозділ 15.3.1. Princeton University Press. Третє видання, 1953. (Перше видання, 1944.)
  7. ↑ Watson, Joel (2002). Strategy: an introduction to game theory (вид. 3). New York: W.W. Norton & Company. с. 63.
  8. ↑ Watson, Joel (2002). Strategy: an introduction to game theory (вид. 3). New York: W.W. Norton & Company. с. 186–187.
  9. ↑ Watson, Joel (2002). Strategy: an introduction to game theory (вид. 3). New York: W.W. Norton & Company. с. 188.
  10. ↑ Лекція 4. Ігри в розширеній формі. Досконала за підіграми рівновага Неша. Приклади на YouTube
  11. ↑ Yildiz, Muhamet. 14.12 Game Theory Lecture Notes - Lectures 7-9 (PDF). web.mit.edu (амер.). Архів (PDF) оригіналу за 12 вересня 2022. Процитовано 3 листопада 2022.
  12. ↑ Kamiński, Marek M. (2017). Backward Induction: Merits And Flaws. Studies in Logic, Grammar and Rhetoric. 50 (1): 9—24. doi:10.1515/slgr-2017-0016.
  13. ↑ Camerer, Colin F (1 листопада 1997). Progress in Behavioral Game Theory. Journal of Economic Perspectives. 11 (4): 167—188. doi:10.1257/jep.11.4.167. JSTOR 2138470. Архів оригіналу за 14 грудня 2022. Процитовано 14 грудня 2022.
  14. ↑ Rust J. (2008) Dynamic Programming. In: Palgrave Macmillan (eds) The New Palgrave Dictionary of Economics. Palgrave Macmillan, London
  15. ↑ Aumann, Robert J. (January 1995). Backward induction and common knowledge of rationality. Games and Economic Behavior. 8 (1): 6—19. doi:10.1016/S0899-8256(05)80015-6.
  16. ↑ Ke, Shaowei (2019). Boundedly rational backward induction. Theoretical Economics. 14 (1): 103—134. doi:10.3982/TE2402. S2CID 9053484.
  17. ↑ Qu, Xia; Doshi, Prashant (1 березня 2017). On the role of fairness and limited backward induction in sequential bargaining games. Annals of Mathematics and Artificial Intelligence. 79 (1): 205—227. doi:10.1007/s10472-015-9481-7. S2CID 23565130.
  18. ↑ Cox, Caleb A.; Stoddard, Brock (May 2018). Strategic thinking in public goods games with teams. Journal of Public Economics. 161: 31—43. doi:10.1016/j.jpubeco.2018.03.007.
  19. ↑ Mantovani, Marco (2013). Limited backward induction. CiteSeerX 10.1.1.399.8991.
  20. ↑ Klein Teeselink, Bouke; van Dolder, Dennie; van den Assem, Martijn; Dana, Jason (2022). High-Stakes Failures of Backward Induction: Evidence from "The Price Is Right".

Read other articles:

Kenturion

Kenturion Seorang kenturion (bahasa Latin: centurio; bahasa Yunani: κεντυρίων); bahasa Inggris: centurion), atau hekatontarkhos (ἑκατόνταρχος) pada sumber-sumber Yunani, atau pada zaman Bizantium, kentarkhos (κένταρχος) merupakan seorang perwira profesional pada Tentara Romawi setelah Reformasi Marian pada tahun 107 SM. Sebagian besar kenturion memimpin 83 orang meski dikira secara umum bahwa jumlahnya semestinya adalah 100. Tetapi para kenturion sen...

 

Marcus Larson

Swedish painter (1825–1864) Marcus LarsonDaguerreotype photograph of LarsonBornSimeon Marcus Larson(1825-01-05)5 January 1825Åtvidaberg, SwedenDied25 January 1864(1864-01-25) (aged 39)LondonNationalitySwedishKnown forLandscape painting Simeon Marcus Larson (5 January 1825 – 25 January 1864) was a Swedish landscape painter from Åtvidaberg, Östergötland.[1] He has been recognized as one of Sweden's foremost 19th-century painters[2] and labeled as the most outst...

 

Microhylidae

MicrohylidaeRentang fosil: 24–0 jtyl PreЄ Є O S D C P T J K Pg N Awal Miocene sampai [1] Katak Mulut Sempit Timur(Gastrophryne carolinensis) Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Chordata Kelas: Amphibia Ordo: Anura Subordo: Neobatrachia Famili: MicrohylidaeGünther, 1858 Subfamilies Asterophryinae Brevicipitinae Cophylinae Dyscophinae Genyophryninae Melanobatrachinae Microhylinae Phrynomerinae Scaphiophryninae Distribusi Microhylidae (warna hitam) Microhylidae adalah ...

What's Going On

Para otros usos de este término, véase What's Going On (desambiguación). What's Going OnÁlbum de Marvin GayePublicación 21 de mayo de 1971Grabación Hitsville USA (Studio A)Golden World (Studio B)Hitsville Westjunio 1970 (What's Going On)marzo-abril 1971 (resto del álbum)Género(s) SoulDuración 35:28Discográfica Tamla TS 310Productor(es) Marvin GayeCalificaciones profesionales Allmusic link Robert Christgau (B+) link Rolling Stone 23 de enero de 2003 UNCUT mayo de 2003 Cronología...

 

Rue Georges Clemenceau (Liège)

LIÈGERue Georges Clemenceau À gauche la rue Georges Clemenceau et à droite la rue des Dominicains Situation Coordonnées 50° 38′ 35″ nord, 5° 34′ 14″ est Début Place de la République française Fin Rue des Dominicains Morphologie Type Commerçante Fonction(s) urbaine(s) Résidentielle Forme rectiligne Longueur ~100 m Largeur ~20 m Transport Bus TEC486465377 Histoire Création 1820 Anciens noms Rue de l'Harmonie modifier  La rue Georges Clemenc...

 

العلاقات السودانية الغامبية

العلاقات السودانية الغامبية السودان غامبيا   السودان   غامبيا تعديل مصدري - تعديل   العلاقات السودانية الغامبية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين السودان وغامبيا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه المقارنة

مرآة الزمان في تواريخ الأعيان

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (سبتمبر 2018) مرآة الزمان في تواريخ الأعيانمعلومات عامةالمؤلف سبط ابن الجوزي اللغة العربية تعديل - تعديل مصدري - تعديل و

 

Budaya Islandia

Budaya Islandia kaya dan beragam, serta terkenal akan warisan sastranya yang dimulai pada abad ke-12. Kesenian tradisional Islandia lainnya adalah tenun, kerajinan perak, dan ukiran kayu. Daerah Reykjavík memiliki beberapa teater profesional, orkestra simfoni, opera, dan sejumlah besar galeri seni, toko buku, bioskop, dan museum. Ada juga empat ansambel tarian rakyat yang aktif di Islandia. Tingkat melek huruf di Islandia termasuk yang tertinggi di dunia, dan di Islandia kecintaan akan sastr...

 

Masiela Lusha

Masiela LushaLusha, 2010LahirMasiela LushaPekerjaanPemeran,penyair, novelis, dan cerpenisTahun aktif2001–sekarangSitus webhttp://www.masielalusha.com/Tanda tangan Masiela Lusha (lahir 23 Oktober 1985) adalah seorang pemeran, penyair, novelis, dan cerpenis Amerika Serikat. Dia merupakan pemenang Young Artist Award. Dia menjadi terkenal setelah memerankan tokoh Carmen Lopez pada sitcom ternama George Lopez. Ia lalu juga banyak bermain di film-film terkenal seperti Time of the Come, Blood...

Estação São João do Tauape

São João do Tauape Uso atual Estação de VLT Proprietário Governo do Estado do Ceará Administração Companhia Cearense de Transportes Metropolitanos Linhas Linha Nordeste Posição Superfície Plataformas Central Movimento em Agosto (2019) 16.170 passageiros Movimento diário 599 (Agosto de 2019) Serviços Conexões Informações históricas Inauguração 6 de julho de 2018 (5 anos) Localização Endereço No cruzamento da Via Férrea com a Rua Capitão Melo, São João do Tau...

 

User talk:Evanex

Welcome Hello, Evanex! Welcome to Wikipedia! Thank you for your contributions to this free encyclopedia. If you decide that you need help, check out Getting Help below, ask me on my talk page, or place {{helpme}} on your talk page and ask your question there. Please remember to sign your name on talk pages by using four tildes (~~~~) or by clicking if shown; this will automatically produce your username and the date. Finally, please do your best to always fill in the edit summary field. Below...

 

Korela Fortress

Historic fort in Priozersk, Leningrad Oblast, Russia Inner court of the fort Korela Fortress (Russian: Корела; Finnish: Käkisalmen linna; Swedish: Kexholms slott) is a medieval fortress in the town of Priozersk, Leningrad Oblast, Russia. Origin The original fortification was built by Karelians but the castle seen today is from medieval times.[1] It was first mentioned in a Novgorodian chronicle of 1143 as Korela, and archaeological digs have revealed a layer belonging to the 12...

Propaganda in the Republic of China

Propaganda in the Republic of China for political purposes A propaganda poster celebrating the birthday of Republic of China President Chiang Kai-shek proclaiming Long Live the President Propaganda in the Republic of China (in mainland China before 1949 and in Taiwan since then) has been an important tool since its inception with the Xinhai Revolution in 1912. The term xuanchuan (Chinese: 宣傳 propaganda; publicity) can have either a neutral connotation in official government contexts o...

 

Hubungan Mongolia dengan Rusia

Hubungan Mongolia–Rusia Mongolia Rusia Kedubes Mongolia di Rusia Kedubes Rusia di Mongolia Hubungan bilateral antara Mongolia dan Federasi Rusia (bahasa Mongol: Монгол Оросын харилцаа; bahasa Rusia: Российско-монгольские отношения) secara tradisional telah kuat sejak era Komunis, saat Uni Soviet mendukung Republik Rakyat Mongolia. Mongolia dan Rusia masih menjadi sekutu pada era pasca-Komunis. Rusia memiliki sebuah kedubes di Ulaanbaa...

 

Chemins de fer de l’Est

Logo der EST auf einem Micheline-Triebwagen Bahnhof der EST in Straßburg (im Hintergrund die damalige Hauptsynagoge von Straßburg) Crampton-Lokomotive Nr. 187 der EST Die 1C-Dampflokomotive Nr. [1]30 B 476 der EST ist ein bewegliches Kulturdenkmal nach französischem Denkmalrecht Micheline der EST im Eisenbahnmuseum Mülhausen Die Compagnie des chemins de fer de l’Est (EST; deutsch Gesellschaft der Ostbahnen) war von 1853 bis 1938 eine privatrechtlich organisierte französische Eisen...

Kommissar X – Drei gelbe Katzen

1966 filmKommissar X – Drei gelbe KatzenItalian film posterDirected by Gianfranco Parolini Rudolf Zehetgruber[1] Screenplay by Mike Ashley Rudolf Zehetgruber[1] StarringTony KendallCinematographyKlaus von Rautenfeld[1]Edited by Edmond Lozzi René Henaf[1] Music byGino Marinucci Jr.[1]Productioncompanies Parnass-Film GmbH Danny Film Filmédis S.A. Jacques Willemetz Danubiafilm GmbH & Co. KG[1] Release date 17 May 1966 (1966-0...

 

جبع (حيفا)

جبع   الإحداثيات 32°39′05″N 34°57′43″E / 32.65131944°N 34.96204167°E / 32.65131944; 34.96204167  تقسيم إداري  البلد فلسطين الانتدابية  التقسيم الأعلى قضاء حيفا  خصائص جغرافية  المساحة 7012 كيلومتر مربع  تعديل مصدري - تعديل   32°39′05″N 34°57′43″E / 32.65131944°N 34.96204167°E...

 

Lada Samara

Motor vehicle LADA SamaraLada Samara 2108 (1991)OverviewManufacturerAvtoVAZAlso calledLada Samara (Uruguay)Lada Carlota (Belgium)Lada Cevaro (Australia)[1] Lada DivaLada EuroSamaraLada FormaLada Natasha (Convertible)Lada SableLada SagonaLada ZaryaLada SputnikLada Tarzan (Compact SUV) Lada Volante (Australia) VAZ 2108 (1984–2003)VAZ 2109 (1987–2011)VAZ 21099 (1990–2011)Production1984–2013AssemblyMontevideo, Uruguay (Bognor)Syzran, Russia (RosLada)Togliatti, Russia (AvtoVAZ...

Calzada romana

Este artículo o sección tiene referencias, pero necesita más para complementar su verificabilidad.Este aviso fue puesto el 26 de marzo de 2020. Calzadas romanas en la época de Adriano, alrededor del año 125 La calzada romana era el modelo de camino usado por Roma para la vertebración de su Imperio. La red viaria fue utilizada por el ejército en la conquista de territorios y gracias a ella se podían movilizar grandes efectivos con una rapidez nunca vista hasta entonces. En el aspecto e...

 

Dart Lifeboat Station

Lifeboat station in Devon, England Dart Lifeboat StationDartmouthGeneral informationTypeRNLI Lifeboat StationLocationCoronation Park, North Embankment, TQ6 9NLCountryUnited KingdomCoordinates50°21′17″N 3°34′41″W / 50.354724°N 3.577995°W / 50.354724; -3.577995Opened1867-1896 first station2007 new stationOwnerRoyal National Lifeboat Institution Dart Lifeboat Station is the base for Royal National Lifeboat Institution (RNLI) search and rescue operations at Dar...

 
Kembali kehalaman sebelumnya