Першим тренером Андрія Блізніченка став його батько — Валерій Анатолійович, тренер ДЮСШ «Звягель», який почав прищеплювати синові любов до футболу вже у трирічному віці[1].
Свою кар'єру Андрій розпочав восени 2007 року в юнацькій команді запорізького «Металурга» на позиції нападника. Згодом був переведений у півзахист. За неповні 4 роки виступів у ДЮФЛ Блізніченко провів 69 матчів, у яких забив 80 м'ячів.
У 2011 році розбіжності щодо нового контракту з керівництвом «Металурга» спричинили конфлікт, через який Блізніченко більш як на рік залишився поза клубним футболом. У цей же час футболіст серйозно травмувався в матчі за юнацьку збірну України.
«Дніпро»
Улітку 2012 року підписав контракт із «Дніпром», який допоміг Андрієві з операцією у Німеччині. У дебютному сезоні за новий клуб провів 14 матчів за дублювальний склад, у яких відзначився 5-ма забитими м'ячами. 28 листопада2013 року дебютував в основному складі «Дніпра» у матчі Ліги Європи проти румунського «Пандурія» (4:1 — перемога «дніпровців»).
Під час зимової перерви сезону 2013/14 перебував на оглядинах у львівських «Карпатах». Але клуби не змогли домовитись щодо умов виступів гравця й Блізніченко повернувся до Дніпропетровська[2].
5 квітня2014 провів перший матч в Прем'єр-лізі: «Дніпро» на виїзді переміг сімферопольську «Таврію» з рахунком 2:0. Дебютним голом в УПЛ відзначився 1 березня 2015 року у переможному матчі проти луцької «Волині» (5:0).
«Карабюкспор»
16 січня2017 року було оголошено про перехід Блізніченка до лав турецького клубу «Карабюкспор»[3]. «Дніпро» отримав за Андрія 300 тис. доларів, які пішли на організацію якісних зимових зборів команди. За турецький клуб виступав упродовж неповних трьох років. Після пониження команди у класі в сезоні 2017/18 зіграв в Першій турецькій лізі лише лише один матч і залишив команду.
«Шериф»
У кінці жовтня 2018 року підписав контракт із тираспольським «Шерифом». За два сезони в команді провів за тираспольців лише 21 гру і відзначився 11-ма забитими м'ячами. Також став дворазовим чемпіоном Молдови та один раз здобув Кубок країни.
«Інгулець»
У січні 2022 року після розірвання контракту із «Шерифом» перейшов до «Інгульця» із Петрового. Утім через збройну агресію росії в сезоні 2021/22 в жодній грі участі не взяв. У наступній першості через постійні травми зіграв за «Інгулець» лише 4 матчі в рамках УПЛ і в січні 2023 залишив команду.
«Верес»
У січні того ж року підписав піврічний контракт із рівненським «Вересом». Договір містив опцію автоматичної пролонгації ще на 2,5 сезони. За команду із Рівного дебютував 4 березня 2023 року у домашній грі проти одеського «Чорноморця» (1:3), а лік голам за рівнян в рамках УПЛ відкрив 1 квітня 2023 року також у домашньому матчі проти криворізького «Кривбаса» (1:2). Загалом у сезоні 2022/23 провів за «Верес» 15 ігор, в яких відзначився п'ятьма забитими голами.
За юнацьку збірну України (U-17) дебютував 18 серпня2009 року в матчі проти збірної Литви, у якому українці поступились 1:4. А вже за 4 дні вперше відзначився у складі збірної, забивши гол у ворота юнацької збірної Білорусі. З 2009 по 2013 рік у складі юнацьких збірних усіх вікових категорій провів 54 матчі й забив 10 голів.