Перші ігри проводив за команду заводу «Прогрес» у Бердичеві. Потім виступав за «Полісся» та львівський СКА. У 1964 р. став найкращим бомбардиром української зони класу «Б», забивши 35 голів із командних 59 львівського СКА. Цього ж року львів'яни дійшли до чвертьфіналу Кубка Радянського Союзу. Восени 1964 збірна найкращих гравців класу «Б» провела товариські матчі проти «Динамо» (Київ) (1:2, 2:2) і після тих ігор швидкого нападника з гарним ударом взяли до Києва.
У першому ж чемпіонаті (1965)нападник «Динамо» зумів отримати аж дві нагороди — срібну медаль за 2-ге місце у чемпіонаті СРСР та титул чемпіона у турнірі дублерів. За правилами гравець повинен був зіграти принаймні 50 % ігор, щоб отримати медаль, а Пузач зіграв рівно по половині матчів за «основу» та «дубль». У кінці 60-х Пузач став одним з ключових гравців команди у нападі. Він грав більше на правому боці атаки і прославився швидкими ривками, несподіваними ударами без підготовки. Партнери (а в «динамівському» нападі тоді виступали, зокрема, Віталій Хмельницький, Олег Базилевич, Віктор Серебрянников, Анатолій Бишовець, Андрій Біба) цінували Анатолія Пузача за добре бачення поля та вміння віддати пас у потрібний час.
У першості 1968 Пузач став найкращим голеадором команди, забивши 11 голів. Наступного року нападник дебютував у «сборной» у товариській грі з НДР у Ляйпциґу — 25 липня1969 року. У цьому ж матчі він відзначився першим голом.
Перший сезон під орудою Пузача для «біло-синіх» виявився провальним — чвертьфінал Кубка Кубків УЄФА поряд з п'ятим місцем в останньому розіграші Чемпіонату СРСР і лише 1/16 розіграшу Кубка СРСР. Наступний сезон виявився своєрідним «дежавю» — вдалий виступ в Європі (чвертьфінал Кубка Європейських чемпіонів) і невдалий виступ в Україні (2 місце в чемпіонаті і лише 1/4 фіналу Кубка України). Після проваленого єврокубкового сезону в наступному сезоні і невдалого старту в чемпіонаті, Анатолія Кириловича звільнили з посади.
Анатолій Пузач повернувся до футболу після приїзду Лобановського у 1997 р. — співпраця тривала до 2001 року, коли продовжувати роботу асистентові завадили серйозні проблеми зі здоров'ям. Видатний футболіст і тренер помер після тривалої хвороби 19 березня2006 року.
Цікаві факти
Анатолій Пузач — автор першого гола радянських футболістів у Кубку європейських чемпіонів. 20 вересня1967 року в грі першого представника СРСР у цьому турнірі «Динамо» (Київ) з шотландським «Селтіком» (тодішнім володарем трофею) у Ґлазґо він відкрив рахунок вже на 3 хв. матчу. Підсумок — 2:1 на користь «динамівців».
У сезоні 1965 року отримав дві медалі: срібло Чемпіонату СРСР і золото першість серед дублерів.
