Теорема Гана про розклад

У теорії міри, теорема Гана про розклад є твердженням про властивості зарядів. Названа на честь австрійського математика Ганса Гана. У випадку сигма-адитивного заряду на σ-алгебрі ця теорема і пов'язана теорема про розклад Жордана дозволяють фактично звести теорію зарядів і інтегралів на них до відповідної теорії міри.

Для будь-якого вимірного простору ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ і будь-якого сигма-адитивного заряду ${\displaystyle \mu }$, визначеного на ${\displaystyle \sigma }$-алгебрі ${\displaystyle \Sigma }$ існують ${\displaystyle \Sigma }$-вимірні множини ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle N}$ для яких:

1. ${\displaystyle P\cup N=X}$ і ${\displaystyle P\cap N=\varnothing }$.
2. Для кожної множини ${\displaystyle E\in \Sigma }$ такого, якщо ${\displaystyle E\subseteq P}$, то ${\displaystyle \mu (E)\geqslant 0}$, тобто на всіх вимірних підмножинах множини ${\displaystyle P}$ значення заряду ${\displaystyle \mu }$ є не меншим 0 (множини ${\displaystyle P}$ із такою властивістю називаються додатними).
3. Для кожної множини ${\displaystyle E\in \Sigma }$ такого, якщо ${\displaystyle E\subseteq N}$, то ${\displaystyle \mu (E)\leqslant 0}$, тобто на всіх вимірних підмножинах множини ${\displaystyle N}$ значення заряду ${\displaystyle \mu }$ є не більшим 0 (множини ${\displaystyle N}$ із такою властивістю називаються від'ємними).

Більше того, цей розклад є майже єдиним у сенсі, що для будь-якої іншої пари ${\displaystyle (P',N')}$ множин із ${\displaystyle \Sigma }$ для яких виконуються ці три умови, симетричні різниці ${\displaystyle P\triangle P'}$ і ${\displaystyle N\triangle N'}$ є мають міру нуль разом із усіма їх підмножинами.

Пара ${\displaystyle (P,N)}$ називається розкладом Гана заряду ${\displaystyle \mu }$.

Можна вважати, що ${\displaystyle \mu }$ не приймає значення ${\displaystyle -\infty }$ (в іншому випадку можна розглядати міру ${\displaystyle -\mu }$).

Нехай ${\displaystyle D\in \Sigma }$ і ${\displaystyle \mu (D)\leqslant 0}$. Тоді існує від'ємна множина ${\displaystyle A\subseteq D}$ ( тобто множина ${\displaystyle A\in \Sigma }$, така що для кожної ${\displaystyle \Sigma }$-вимірної підмножини ${\displaystyle B\subseteq A}$, також ${\displaystyle \mu (B)\leqslant 0}$) для якої ${\displaystyle \mu (A)\leqslant \mu (D)}$.

Нехай ${\displaystyle A_{0}:=D}$ і за припущенням індукції для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ побудована множина ${\displaystyle A_{n}\subseteq D}$. Нехай ${\displaystyle t_{n}}$ позначає супремум ${\displaystyle \mu (B)}$ для усіх ${\displaystyle \Sigma }$-вимірних підмножин ${\displaystyle B}$ множини ${\displaystyle A_{n}}$. Цей супремум може бути нескінченним. Оскільки порожня множина ${\displaystyle \varnothing }$ є підмножиною ${\displaystyle A_{n}}$, то ${\displaystyle t_{n}\geqslant 0}$. Згідно означення ${\displaystyle t_{n}}$, існує ${\displaystyle \Sigma }$-вимірна підмножина ${\displaystyle B_{n}\subseteq A_{n}}$, для якої

${\displaystyle \mu (B_{n})\geqslant \min \!\left(1,{\frac {t_{n}}{2}}\right).}$

Тоді крок індукції завершується якщо прийняти ${\displaystyle A_{n+1}:=A_{n}\setminus B_{n}}$. Остаточно нехай:

${\displaystyle A:=D{\Bigg \backslash }\bigcup _{n=0}^{\infty }B_{n}.}$

Оскільки множини ${\displaystyle (B_{n})_{n=0}^{\infty }}$ попарно не перетинаються, то із сигма адитивності заряду ${\displaystyle \mu }$ випливає, що

${\displaystyle \mu (A)=\mu (D)-\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B_{n})\leqslant \mu (D)-\sum _{n=0}^{\infty }\min \!\left(1,{\frac {t_{n}}{2}}\right).}$

Зокрема звідси випливає, що ${\displaystyle \mu (A)\leqslant \mu (D)}$. Якщо ${\displaystyle A}$ не є від’ємною множиною то існує ${\displaystyle \Sigma }$-вимірна підмножина ${\displaystyle B\subseteq A}$, яка задовольняє ${\displaystyle \mu (B)>0}$. Оскільки за побудовою також ${\displaystyle B\subseteq A_{n}}$ для кожного ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ то і ${\displaystyle t_{n}\geqslant \mu (B)}$ , тож сума ряду праворуч є рівною ${\displaystyle +\infty }$ і тому також ${\displaystyle \mu (A)=-\infty }$, що суперечить припущенню. Отже такої множини ${\displaystyle B}$ не існує і ${\displaystyle A}$ є від’ємною множиною.

Нехай ${\displaystyle N_{0}=\varnothing }$ і, за індукцією, при вже наявному ${\displaystyle N_{n}}$ нехай ${\displaystyle s_{n}}$ позначає інфімум ${\displaystyle \mu (D)}$ для усіх ${\displaystyle \Sigma }$-вимірних підмножин ${\displaystyle D}$ множини ${\displaystyle X\setminus N_{n}}$. Цей інфімум може бути рівним ${\displaystyle -\infty }$. Оскільки порожня множина ${\displaystyle \varnothing }$ є підмножиною ${\displaystyle X\setminus N_{n}}$ то ${\displaystyle s_{n}\leqslant 0}$. Отже, існує ${\displaystyle \Sigma }$-вимірна підмножина ${\displaystyle D_{n}\subseteq X\setminus N_{n}}$ для якої

${\displaystyle \mu (D_{n})\leqslant \max \!\left({\frac {s_{n}}{2}},-1\right)\leqslant 0.}$

Згідно з наведеним вище твердженням існує від'ємна множина ${\displaystyle A_{n}\subseteq D_{n}}$ така, що ${\displaystyle \mu (A_{n})\leqslant \mu (D_{n})}$. Тоді для завершення кроку індукції можна позначити ${\displaystyle N_{n+1}:=N_{n}\cup A_{n}}$.

Остаточно також

${\displaystyle N:=\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}.}$

Оскільки множини ${\displaystyle (A_{n})_{n=0}^{\infty }}$ попарно не перетинаються, для кожної ${\displaystyle \Sigma }$-вимірної підмножини ${\displaystyle B\subseteq N}$:

${\displaystyle \mu (B)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B\cap A_{n})}$

згідно сигма-адитивності заряду ${\displaystyle \mu }$. Зокрема ${\displaystyle N}$ є від’ємною множиною. Якщо позначити ${\displaystyle P:=X\setminus N}$ то ${\displaystyle P}$ є додатною множиною. Якби це було не так, то існувала б ${\displaystyle \Sigma }$-вимірна підмножина ${\displaystyle D\subseteq P}$ для якої ${\displaystyle \mu (D)<0}$. Але тоді ${\displaystyle s_{n}\leqslant \mu (D)}$ для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ і

${\displaystyle \mu (N)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (A_{n})\leqslant \sum _{n=0}^{\infty }\max \!\left({\frac {s_{n}}{2}},-1\right)=-\infty ,}$

що суперечить припущенню про ${\displaystyle \mu }$. Отже, ${\displaystyle P}$ є додатною множиною.

Якщо ${\displaystyle (N',P')}$ є ще одним розкладом Гана для ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle P\cap N'}$ є водночас додатною і від'ємною множиною. Отже, кожна його вимірна підмножина має міру нуль. Те ж саме стосується і ${\displaystyle N\cap P'}$. Рівності:

${\displaystyle P\triangle P'=N\triangle N'=(P\cap N')\cup (N\cap P'),}$

і адитивність заряду завершують доведення теореми.

Наслідком теореми Гана про розклад є Теорема Жордана про розклад, яка стверджує, що для кожного сигма-адитивного заряду ${\displaystyle \mu }$ заданого на ${\displaystyle \Sigma }$ існує розклад ${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$ на різницю двох мір ${\displaystyle \mu ^{+}}$ і ${\displaystyle \mu ^{-}}$, принаймні одна із яких є скінченною.

Теорема Жордана відразу випливає із теореми Гана, якщо для довільної ${\displaystyle \Sigma }$-вимірної множини ${\displaystyle E}$ відповідні міри визначити як:

${\displaystyle {\mu ^{+}}(E):=\mu (E\cap P)}$

${\displaystyle {\mu ^{-}}(E):=-\mu (E\cap N)}$

для будь-якого розкладу Гана ${\displaystyle (P,N)}$ заряду ${\displaystyle \mu }$.

Для побудованих так мір також для будь якого розкладу Гана ${\displaystyle (P,N)}$ також ${\displaystyle {\mu ^{+}}(E)=0}$ для ${\displaystyle \Sigma }$-вимірних підмножин ${\displaystyle E\subseteq N}$ і ${\displaystyle {\mu ^{-}}(E)=0}$ для ${\displaystyle \Sigma }$-вимірних підмножин ${\displaystyle E\subseteq P}$.

Міри ${\displaystyle \mu ^{+}}$ і ${\displaystyle \mu ^{-}}$ визначені за допомогою розкладу Гана називаються додатною і від'ємною складовою заряду ${\displaystyle \mu }$ відповідно. Пара ${\displaystyle (\mu ^{+},\mu ^{-})}$ називається розкладом Жордана (або розкладом Гана — Жордана) заряду ${\displaystyle \mu }$. Розклад Жордана є єдиним, його означення не залежить від вибору розкладу Гана.

Еквівалентно означення мір із розкладу Жордана ${\displaystyle (\mu ^{+},\mu ^{-})}$ для заряду ${\displaystyle \mu }$ можна одержати із рівностей

${\displaystyle {\mu ^{+}}(E)=\sup _{B\in \Sigma ,~B\subseteq E}\mu (B)}$

${\displaystyle \mu ^{-}(E)=-\inf _{B\in \Sigma ,~B\subseteq E}\mu (B).}$

для будь-якого ${\displaystyle E}$ у ${\displaystyle \Sigma }$.

Розклад Жордана є мінімальним із усіх розкладів заряду як різниці мір: якщо також ${\displaystyle \mu =\nu ^{+}-\nu ^{-}}$ для пари ${\displaystyle (\nu ^{+},\nu ^{-})}$ невід’ємних мір на ${\displaystyle X}$, то

${\displaystyle \nu ^{+}\geqslant \mu ^{+},\quad \nu ^{-}\geqslant \mu ^{-}.}$

Міри ${\displaystyle (\mu ^{+},\mu ^{-})}$ із розкладу Жордана є сингулярними. Міра ${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$ називається повною варіацією заряду ${\displaystyle \mu .}$

• Заряд (теорія міри)

• Hahn decomposition theorem на сайті PlanetMath.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), decomposition Hahn decomposition, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), decomposition of a signed measure Jordan decomposition of a signed measure, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure -- Third Edition. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.
• Fischer, Tom (2012). Existence, uniqueness, and minimality of the Jordan measure decomposition. arXiv:1206.5449 [math.ST].