Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

Hàm Kempner

Đồ thị hàm Kempner

Trong lý thuyết số, hàm Kempner S(n)[1] được định nghĩa cho số nguyên dương n là số tự nhiên s nhỏ nhất sao cho n là ước của giai thừa s!. Để lấy ví dụ, số 8 không phải là ước của 1!, 2!, 3!, nhưng là ước của 4!,nên S(8) = 4.

Hàm số này có tính chất tăng trưởng tuyến tính trên các số nguyên tố nhưng lại tăng trưởng theo lôgarit tại các số giai thừa.

Lịch sử

Hàm này lần đầu được xét bởi François Édouard Anatole Lucas trong 1883,[2] rồi theo sau bởi Joseph Jean Baptiste Neuberg trong 1887.[3] Trong 1918, A. J. Kempner là người đầu tiên đưa ra thuật toán tính S(n).[4]

Hàm Kempner đôi khi cũng được gọi là hàm Smarandache theo tên của Florentin Smarandache sau khi khám phá lại hàm này trong 1980.[5]

Các tính chất

Bởi n là ước của n!, giá trị S(n) tối đa bằng n. Số n lớn hơn 4 là số nguyên tố khi và chỉ khi S(n) = n.[6] Nghĩa là các số n sao cho giá trị S(n) lớn nhất có thể so với n là các số nguyên tố. Ngược lại, các số n sao cho giá trị S(n) nhỏ nhất có thể là các số giai thừa : S(k!) = k, với mọi k ≥ 1.

S(n) là bậc nhỏ nhất có thể của một đa thức monic với hệ số nguyên, trong đó các giá trị của đa thức đều chia hết cho n.[1] Xét ví dụ sau, Vì S(6) = 3 nên có một đa thức bậc ba mà các giá trị của nó đều chia hết cho 6, ví dụ như đa thức sau:

Là một trong những bài toán khó của American Mathematical Monthly, được đặt vào trong 1991 và được giải vào 1994, Paul Erdős chỉ ra rằng các giá trị của S(n) trùng với ước nguyên tố lớn nhất của n với "hầu hết" tất cả các giá trị n (nghĩa là mật độ tiệm cận của tập các ngoại lệ bằng không).[7]

Độ phức tạp tính toán

Hàm Kempner S(n) của số n tùy ý là giá trị cực đại của các S(pe), trong đó pe là lũy thừa nguyên tố là ước của n.[4].Khi n là lũy thừa nguyên tố pe, giá trị hàm Kempner của nó có thể được tìm trong thời gian đa thức bằng việc kiểm tra từng bội p cho đến khi tìm thấy bội đầu tiên mà giai thừa của nó chứa đủ số  p trong đó. Thuật toán này có thể mở rộng cho bất kỳ số n nào đã được phân tích thừa số nguyên tố, bằng cách áp dụng cho mỗi lũy thừa nguyên tố là ước của n rồi chọn giá trị lớn nhất trong các giá trị tìm được.

Tham khảo và chú thích

  1. ^ a b Called the Kempner numbers in the Online Encyclopedia of Integer Sequences: see Sloane, N. J. A. (biên tập). “Dãy A002034 (Kempner numbers: smallest number m such that n divides m!)”. Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  2. ^ Lucas, E. (1883). “Question Nr. 288”. Mathesis. 3: 232.
  3. ^ Neuberg, J. (1887). “Solutions de questions proposées, Question Nr. 288”. Mathesis. 7: 68–69.
  4. ^ a b Kempner, A. J. (1918). “Miscellanea”. American Mathematical Monthly. 25 (5): 201–210. doi:10.2307/2972639. JSTOR 2972639.
  5. ^ Hungerbühler, Norbert; Specker, Ernst (2006), “A generalization of the Smarandache function to several variables”, Integers, 6: A23, 11, MR 2264838
  6. ^ R. Muller (1990). “Editorial” (PDF). Smarandache Function Journal. 1: 1. ISBN 84-252-1918-3.
  7. ^ Erdős, Paul; Kastanas, Ilias (1994), “The smallest factorial that is a multiple of n (solution to problem 6674)” (PDF), American Mathematical Monthly, 101: 179, doi:10.2307/2324376.

Bài viết này có sử dụng tài liệu từ Smarandache function tại PlanetMath, với giấy phép sử dụng Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

Read other articles:

Torrecilla de la Abadesa (kommun)

Den här artikeln har skapats av Lsjbot, ett program (en robot) för automatisk redigering. (2016-05)Artikeln kan innehålla fakta- eller språkfel, eller ett märkligt urval av fakta, källor eller bilder. Mallen kan avlägsnas efter en kontroll av innehållet (vidare information) För andra betydelser, se Torrecilla de la Abadesa. Torrecilla de la Abadesa Kommun Land  Spanien Region Kastilien och Leon Provins Provincia de Valladolid Höjdläge 697 m ö.h. Koordinater 41°28�...

 

Ørsted (bedrijf)

Ørsted A/S Groot­aandeelhouders Deense staat (50,1%, per 31 dec. 2022) Oprichting 2006 Oprichter(s) Deense rijksoverheid Sleutelfiguren Mads Nipper (CEO)Daniel Lerup (CFO) Hoofdkantoor Fredericia,  Denemarken Werknemers 8027 (in FTE, 2022) Producten elektriciteit, warmte en gas Industrie Energie Omzet/jaar DKK 132,3 miljard (2022) Winst/jaar DKK 15,0 miljard (2022) Marktkapitalisatie DKK 265 miljard (31 dec. 2022) Website – (en) orsted.com– (nl) orsted.nl Portaal    E...

 

Полевой транзистор

Мощный полевой транзистор с каналом N-типа Полево́й (униполя́рный) транзи́стор — полупроводниковый прибор, принцип действия которого основан на управлении электрическим сопротивлением токопроводящего канала поперечным электрическим полем, создаваемым приложенным

Athletics at the 2004 Summer Olympics – Women's triple jump

Women's triple jumpat the Games of the XXVIII OlympiadVenueOlympic StadiumDate21–23 AugustCompetitors33 from 24 nationsWinning distance15.30 AFMedalists Françoise Mbango Etone  Cameroon Hrysopiyi Devetzi  Greece Tatyana Lebedeva  Russia← 20002008 → Athletics at the2004 Summer OlympicsTrack events100 mmenwomen200 mmenwomen400 mmenwomen800 mmenwomen1500 mmenwomen5000 mmenwomen10,000 mmenwomen100 m hurdleswomen110 m hurdlesmen400 m hurdlesmenwome...

 

Файл:KarmaPolice.jpg

Обґрунтування добропорядного використання з англоВікі (англ.): Це зображення є обкладинкою музичного альбому або синглу. Найімовірніше, авторськими правами на обкладинку володіє видавець альбому (синглу) або виконавець (виконавці). Ця робота є невільною — тобто, не від

 

مكتب حماية الدستور

  مكتب حماية الدستور إي إتش—AH مكتب حماية الدستورشعار مكتب حماية الدستور تفاصيل الوكالة الحكومية البلد المجر تأسست 2010 (في شكله الحالي) المركز بودابست الإحداثيات 47°27′59″N 19°02′41″E / 47.466494°N 19.044659°E / 47.466494; 19.044659  الإدارة الوزراء المسؤولون Dr.Sándor Pintér المدير ال�...

Jules Brulatour

American film producer (1870–1946) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Jules Brulatour – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2007) (Learn how and when to remove this template message) Jules BrulatourJules Brulatour in 1911BornPierre Ernest Jules Brulatour(1870-04-07)April 7, 1870N...

 

كركند

  ميّز عن جراد البحر. اضغط هنا للاطلاع على كيفية قراءة التصنيف كركندالعصر: الفالانجيني–الآن قك ك أ س د ف بر ث ج ط ب ن   المرتبة التصنيفية فصيلة  التصنيف العلمي  فوق النطاق  حيويات مملكة عليا  حقيقيات النوى مملكة  حيوان عويلم  ثنائيات التناظر مملكة فرعية...

 

أفقرة (الدوادمي)

أفقرة موقع محافظة الدوادمي بالنسبة لمنطقة الرياض تقسيم إداري البلد  السعودية التقسيم الأعلى منطقة الرياض  السكان التعداد السكاني غير معروف نسمة (إحصاء ) تعديل مصدري - تعديل   أفقرة، هي قرية من فئة (ب) تقع في محافظة الدوادمي، والتابعة لمنطقة الرياض في السعودية. وتبعد �...

Clarence "Pug" Manders

American football player (1913–1985) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Clarence Pug Manders – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2023) (Learn how and when to remove this template message) American football player Clarence "Pug" MandersPersonal informationBorn:(1913-0...

 

Steffen Heidrich

Steffen Heidrich Steffen Heidrich (1990) Personalia Geburtstag 19. Juli 1967 Geburtsort Erlabrunn, DDR Größe 181 cm Position Mittelfeld Junioren Jahre Station 0000–1980 BSG Messgeräte Beierfeld 1980–1984 FC Karl-Marx-Stadt Herren Jahre Station Spiele (Tore)1 1984–1993 FC Karl-Marx-Stadt/Chemnitzer FC 201 (60) 1993–1998 VfB Leipzig 143 (46) 1998–2001 FC Energie Cottbus 39 (13) 2001–2005 Dynamo Dresden 86 (21) Nationalmannschaft Jahre Auswahl Spiele (Tore) 1982 DDR...

 

Serial Musikal Nurbaya

Serial Musikal NurbayaPoster promosiGenre Drama Musikal Roman PembuatIndonesia KayaTerinspirasi olehSitti Nurbaya: Kasih Tak Sampaioleh Marah RoesliDitulis oleh Chriskevin Adefrid Latifah Maurinta Veronica Gabriella Ilya Aktob Sutradara Naya Anindita (film) Venytha Yoshiantini (teater) Pemeran Arawinda Kirana Bukie B. Mansyur Bima Zeno Pooroe Penata musikIvan TangkulungNegara asalIndonesiaBahasa asli Bahasa Indonesia Bahasa Minang Jmlh. episode6 (daftar episode)ProduksiProduser eksekuti...

Out of Order (Nuclear Assault album)

1991 studio album by Nuclear AssaultOut of OrderStudio album by Nuclear AssaultReleasedSeptember 10, 1991 (1991-09-10)RecordedMarch 26–April 20, 1991StudioThe Hit Factory, New York, New York and Presence Studios, East Haven, ConnecticutGenreThrash metalLength46:04LabelI.R.S.ProducerGlenn Evans, Casey McMackinNuclear Assault chronology Handle with Care(1989) Out of Order(1991) Live at the Hammersmith Odeon(1992) Professional ratingsReview scoresSourceRatingAllMusic[...

 

(What's the Story) Morning Glory?

(What's the Story) Morning Glory? Álbum de estudio de OasisPublicación 2 de octubre de 1995Grabación Marzo – junio de 1995, Rockfield Studios en Monmouth, GalesGénero(s) RockRock AlternativoDuración 50:09Discográfica Creation RecordsProductor(es) Owen MorrisNoel GallagherCertificación 4.000.000 (enlace) 4.700.000 (enlace) 1.000.000 (enlace)420.000 (enlace) 350.000 600.000 450.000Calificaciones profesionales Allmusic [1]​ BBC (favorable)[2]​ Entertainment Weekly (A-)[3]...

 

Sirkuit Monsanto

Monsanto Park Circuit Circuito de Monsanto, atau Monsanto Park Circuit, adalah jalur balap sepanjang 5.440 km (3.380 mil) di dekat Lisbon, Portugal yang menjadi tuan rumah Grand Prix Portugal. Dibangun di atas taman, sirkuit ini dianggap sulit dikendarai karena melintasi begitu banyak jenis permukaan, termasuk jalur trem pada satu titik. Trek tersebut menyelenggarakan banyak balapan dari 1954 sampai 1959, tetapi hanya satu balapan yang lolos sebagai ajang Formula Satu yaitu edisi 1959 ya...

Born in Babylon

2009 studio album by Soldiers of Jah ArmyBorn in BabylonStudio album by Soldiers of Jah ArmyReleasedAugust 25, 2009GenreReggaeLabelDMV RecordsSoldiers of Jah Army chronology Get Wiser(2006) Born in Babylon(2009) Born in Babylon is the third full-length studio album by reggae band SOJA. It was released August 25, 2009 exclusively on iTunes, through DMV Records.[citation needed] Physical copies can also be bought at concerts where the band uses a Pay What You Want pricing model....

 

Inishmaan Aerodrome

Airport on island of Inishmaan, Ireland Inishmaan AerodromeAeradróm Inis MeáinIATA: IIAICAO: EIMNSummaryAirport typePrivateOperatorComharchumann Inis MeáinServesInishmaan, Aran Islands,County Galway, IrelandElevation AMSL13 ft / 4 mCoordinates53°05′31″N 009°34′12″W / 53.09194°N 9.57000°W / 53.09194; -9.57000MapIIALocation of airport in IrelandRunways Direction Length Surface m ft 15/33 534 1,752 Bituminous 05/23 265 869 Grass Source: Irela...

 

1963 European Cup final

Football match1963 European Cup finalMatch programme coverEvent1962–63 European Cup Milan Benfica 2 1 Date22 May 1963VenueWembley Stadium, LondonRefereeArthur Holland (England)Attendance45,715[1]← 1962 1964 → The 1963 European Cup final was a football match between AC Milan and Benfica, held at Wembley Stadium, London, on 22 May 1963. Milan won the match 2–1, winning the European Cup for the first time.[2] Runners-up Benfica made their third consecutive appeara...

Lake Eucha

Dam in Delaware County, OklahomaEucha DamLocation within OklahomaCountryUnited StatesLocationDelaware County, OklahomaCoordinates36°20′32″N 94°51′29″W / 36.34218°N 94.85808°W / 36.34218; -94.85808Opening date1952Dam and spillwaysImpoundsSpavinaw CreekLength2,100 ft (640 m)Elevation at crest778 ft (237 m)ReservoirCreatesLake EuchaTotal capacity80,800 acre⋅ft (99,700,000 m3) nominalSurface area2,800 acr...

 

FM broadcasting in the United States

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this article. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: FM broadcasting in the United States – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2010) (Learn how and when to remove this template message) FM broadcasting in the United States began in the 1930s at engineer and inventor Edwin How...

 
Kembali kehalaman sebelumnya