Trong toán học, hàm đếm số nguyên tố là hàm số đếm số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng với một số thựcx.[1] Nó được ký hiệu là π (x) (không liên quan đến số π).
Các giá trị của π (n) cho 60 số nguyên dương đầu tiên
Lịch sử
Mối quan tâm lớn của lý thuyết số là tốc độ tăng trưởng của hàm đếm số nguyên tố.[2][3] Nó được Gauss và Legendre phỏng đoán vào cuối thế kỷ 18 là xấp xỉ với
Ước tính chính xác hơn về bây giờ đã được biết đến; ví dụ [cần dẫn nguồn]
trong đó O là ký hiệu O lớn. Đối với hầu hết các giá trị của chúng ta quan tâm đến (tức là khi không lớn quá mức), giá trị luôn lớn hơn . Tuy nhiên, hiệu được biết là thay đổi dấu vô hạn lần. Để thảo luận về điều này, xem số Skewes.
μ(n) là hàm Mobius, li(x) là hàm số tích phân logarit, ρ đánh dấu mỗi giá trị zero của hàm zeta Riemann, và li(xρ/n) không được đánh giá với một nhánh rẽ nhưng thay vì coi là Ei(ρ/n ln x). Một cách tương đương, nếu các giá trị 0 tầm thường được thu thập và tổng được lấy chỉ qua các giá trị 0 không tầm thường ρ của hàm zeta Riemann, sau đó π(x) có thể được viết thành
.
Giả thuyết Riemann gợi ý rằng với mỗi giá trị 0 không tầm thường thì Re(s) = 1/2
Bảng của π (x), x / ln x và li (x)
Bảng này cho thấy ba hàm số π (x), x / ln x và li(x) so sánh ở các giá trị mũ của 10. Xem thêm,[2][6][7] và [8]
Đồ thị hiển thị tỷ lệ của hàm đếm số nguyên tố π (x) với hai giá trị gần đúng của nó, x / ln x và Li (x). Khi x tăng (lưu ý trục x là logarit), cả hai tỷ lệ đều dẫn về 1. Tỷ lệ của x/ln x (phía trên) hội tụ rất chậm, trong khi tỷ lệ của Li(x) (phía dưới) hội tụ nhanh hơn.
x
π(x)
π(x) − x / ln x
li(x) − π(x)
x / π(x)
x / ln x % Error
10
4
−0.3
2.2
2.500
-7.5%
102
25
3.3
5.1
4.000
13.20%
103
168
23
10
5.952
13.69%
104
1,229
143
17
8.137
11.64%
105
9,592
906
38
10.425
9.45%
106
78,498
6,116
130
12.740
7.79%
107
664,579
44,158
339
15.047
6.64%
108
5,761,455
332,774
754
17.357
5.78%
109
50,847,534
2,592,592
1,701
19.667
5.10%
1010
455,052,511
20,758,029
3,104
21.975
4.56%
1011
4,118,054,813
169,923,159
11,588
24.283
4.13%
1012
37,607,912,018
1,416,705,193
38,263
26.590
3.77%
1013
346,065,536,839
11,992,858,452
108,971
28.896
3.47%
1014
3,204,941,750,802
102,838,308,636
314,890
31.202
3.21%
1015
29,844,570,422,669
891,604,962,452
1,052,619
33.507
2.99%
1016
279,238,341,033,925
7,804,289,844,393
3,214,632
35.812
2.79%
1017
2,623,557,157,654,233
68,883,734,693,281
7,956,589
38.116
2.63%
1018
24,739,954,287,740,860
612,483,070,893,536
21,949,555
40.420
2.48%
1019
234,057,667,276,344,607
5,481,624,169,369,960
99,877,775
42.725
2.34%
1020
2,220,819,602,560,918,840
49,347,193,044,659,701
222,744,644
45.028
2.22%
1021
21,127,269,486,018,731,928
446,579,871,578,168,707
597,394,254
47.332
2.11%
1022
201,467,286,689,315,906,290
4,060,704,006,019,620,994
1,932,355,208
49.636
2.02%
1023
1,925,320,391,606,803,968,923
37,083,513,766,578,631,309
7,250,186,216
51.939
1.93%
1024
18,435,599,767,349,200,867,866
339,996,354,713,708,049,069
17,146,907,278
54.243
1.84%
1025
176,846,309,399,143,769,411,680
3,128,516,637,843,038,351,228
55,160,980,939
56.546
1.77%
1026
1,699,246,750,872,437,141,327,603
28,883,358,936,853,188,823,261
155,891,678,121
58.850
1.70%
1027
16,352,460,426,841,680,446,427,399
267,479,615,610,131,274,163,365
508,666,658,006
61.153
1.64%
Tham khảo
^Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996). Algorithmic Number Theory. MIT Press. volume 1 page 234 section 8.8. ISBN0-262-02405-5.