交換律
一個表示加法（ 3 + 2 = 2 + 3 ）的交換律的例子 交換律 （英語：Commutative property ）是被普遍使用的一個數學 名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明 需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定义[ 1] [ 2]
交換律 是一個和二元運算 及函數 有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。
在群論 和集合論 中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析 和線性代數 中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法 和乘法 ）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。[ 3] [ 4] [ 5]
「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中[ 6] [ 7]
1. 在集合
S
{\displaystyle S}
二元運算
∗ ∗ -->
{\displaystyle *}
∀ ∀ -->
x
,
y
∈ ∈ -->
S
,
x
∗ ∗ -->
y
=
y
∗ ∗ -->
x
{\displaystyle \forall x,y\in S,x*y=y*x}
2. 若稱
x
{\displaystyle x}
∗ ∗ -->
{\displaystyle *}
y
{\displaystyle y}
x
∗ ∗ -->
y
=
y
∗ ∗ -->
x
{\displaystyle x*y=y*x}
3. 一二元函數
f
:
A
× × -->
A
→ → -->
B
{\displaystyle f:A\times A\to B}
∀ ∀ -->
x
,
y
∈ ∈ -->
A
,
f
(
x
,
y
)
=
f
(
y
,
x
)
{\displaystyle \forall x,y\in A,f(x,y)=f(y,x)}
Commutative這一詞第一個已知的應用是在1814年的一本法國期刊上 對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人 用乘法 的交換律來簡化乘積 的計算。[ 8] [ 9] 歐幾里得 在《幾何原本 》中已有假定了乘法交換律的存在。[ 10]
第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記[ 11] [ 12] 英國皇家學會哲學彙刊 中。[ 11]
顯示加法函數對稱性的圖
結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。
對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對
y
=
x
{\displaystyle y=x}
f
{\displaystyle f}
f
(
x
,
y
)
=
x
+
y
{\displaystyle f(x,y)=x+y}
f
{\displaystyle f}
洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。
顯現出乘法 (
5
× × -->
3
=
3
× × -->
5
{\displaystyle 5\times 3=3\times 5}
兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為[ 6]
y
+
z
=
z
+
y
∀ ∀ -->
y
,
z
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle y+z=z+y\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }
例如，
4
+
5
=
5
+
4
{\displaystyle 4+5=5+4}
表示式 都等於 9 。
y
z
=
z
y
∀ ∀ -->
y
,
z
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle yz=zy\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }
例如，
3
× × -->
5
=
5
× × -->
3
{\displaystyle 3\times 5=5\times 3}
串接 （將字串連在一起的行為）是個不可交換運算。洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
魔術方塊 是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論 中。
一些不可交換二元運算[ 13]
減法 ：
0
− − -->
1
≠ ≠ -->
1
− − -->
0
{\displaystyle 0-1\neq 1-0}
除法 ：
1
÷ ÷ -->
2
≠ ≠ -->
2
÷ ÷ -->
1
{\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}
矩陣 乘法：
[
0
2
0
1
]
=
[
1
1
0
1
]
⋅ ⋅ -->
[
0
1
0
1
]
≠ ≠ -->
[
0
1
0
1
]
⋅ ⋅ -->
[
1
1
0
1
]
=
[
0
1
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}
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Definition of commutativity and examples of commutative operations
埃里克·韦斯坦因 . Commute . MathWorld . Explanation of the term commute Yark . [2008-02-21 ] . （原始内容 存档于2010-11-26）. Examples of non-commutative operations PlanetMath ., Accessed 2007-08-08
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