快樂數
快樂數有以下的特性:在給定的進位制下,該數字所有數字平方和(數位的平方和),得到的新數再次求所有數位的平方和,如此重複進行,最終結果必為1。
以十進位為例:
- 2 8 →
→ → ![{\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}+{{0}^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66852782881263017dfbacf05fd544743d0e0a4c)
- 3 2 →
→ → ![{\displaystyle {{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3812f354ea939e5ef6365e65f8a66fef26bf35)
- 3 7 →
→ → → → → → → ![{\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a570229dbe438e4932fea8c958a42ce401a1177) ![{\displaystyle ......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555d94888560f6ef0dfb94497575254f987fb64b)
- 5 6 →
→ → → → → → → → → ![{\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a570229dbe438e4932fea8c958a42ce401a1177) ![{\displaystyle ......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555d94888560f6ef0dfb94497575254f987fb64b)
因此28和32是快樂數,而在37和56的計算過程中,數字會重複出現,繼續計算的結果只會是上述數字的循環(不快樂數循環),不會出現1,因此37和56不是快樂數。
不是快樂數的數稱為不快樂數(英語:unhappy number),所有不快樂數的數位平方和計算,最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。
在十進位下,100以內的快樂數有(OEIS數列A007770):1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100,共20個。
快樂數表格
以下是小於100的快樂數表格,綠色數字表示它是快樂數,紅色數字表示它是不快樂數循環。
00 |
01 |
02 |
03 |
04 |
05 |
06 |
07 |
08 |
09
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19
|
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29
|
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39
|
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49
|
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59
|
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69
|
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79
|
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89
|
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99
|
以下是100到小於200的快樂數表格,綠色數字表示它是快樂數,紅色數字表示它是不快樂數循環。
100 |
101 |
102 |
103 |
104 |
105 |
106 |
107 |
108 |
109
|
110 |
111 |
112 |
113 |
114 |
115 |
116 |
117 |
118 |
119
|
120 |
121 |
122 |
123 |
124 |
125 |
126 |
127 |
128 |
129
|
130 |
131 |
132 |
133 |
134 |
135 |
136 |
137 |
138 |
139
|
140 |
141 |
142 |
143 |
144 |
145 |
146 |
147 |
148 |
149
|
150 |
151 |
152 |
153 |
154 |
155 |
156 |
157 |
158 |
159
|
160 |
161 |
162 |
163 |
164 |
165 |
166 |
167 |
168 |
169
|
170 |
171 |
172 |
173 |
174 |
175 |
176 |
177 |
178 |
179
|
180 |
181 |
182 |
183 |
184 |
185 |
186 |
187 |
188 |
189
|
190 |
191 |
192 |
193 |
194 |
195 |
196 |
197 |
198 |
199
|
以下是200到小於300的快樂數表格,綠色數字表示它是快樂數。
200 |
201 |
202 |
203 |
204 |
205 |
206 |
207 |
208 |
209
|
210 |
211 |
212 |
213 |
214 |
215 |
216 |
217 |
218 |
219
|
220 |
221 |
222 |
223 |
224 |
225 |
226 |
227 |
228 |
229
|
230 |
231 |
232 |
233 |
234 |
235 |
236 |
237 |
238 |
239
|
240 |
241 |
242 |
243 |
244 |
245 |
246 |
247 |
248 |
249
|
250 |
251 |
252 |
253 |
254 |
255 |
256 |
257 |
258 |
259
|
260 |
261 |
262 |
263 |
264 |
265 |
266 |
267 |
268 |
269
|
270 |
271 |
272 |
273 |
274 |
275 |
276 |
277 |
278 |
279
|
280 |
281 |
282 |
283 |
284 |
285 |
286 |
287 |
288 |
289
|
290 |
291 |
292 |
293 |
294 |
295 |
296 |
297 |
298 |
299
|
300以內的快樂數沒有其中一位是5,300以內的數其中有一位是5,它一定不是快樂數。
以下是300到小於400的快樂數表格,綠色數字表示它是快樂數。
300 |
301 |
302 |
303 |
304 |
305 |
306 |
307 |
308 |
309
|
310 |
311 |
312 |
313 |
314 |
315 |
316 |
317 |
318 |
319
|
320 |
321 |
322 |
323 |
324 |
325 |
326 |
327 |
328 |
329
|
330 |
331 |
332 |
333 |
334 |
335 |
336 |
337 |
338 |
339
|
340 |
341 |
342 |
343 |
344 |
345 |
346 |
347 |
348 |
349
|
350 |
351 |
352 |
353 |
354 |
355 |
356 |
357 |
358 |
359
|
360 |
361 |
362 |
363 |
364 |
365 |
366 |
367 |
368 |
369
|
370 |
371 |
372 |
373 |
374 |
375 |
376 |
377 |
378 |
379
|
380 |
381 |
382 |
383 |
384 |
385 |
386 |
387 |
388 |
389
|
390 |
391 |
392 |
393 |
394 |
395 |
396 |
397 |
398 |
399
|
發現10*10、100*100等表格的快樂數表格有線對稱。
快樂數的因數
以下是300以內的快樂數因數。
快樂數 |
因數 |
因數個數 |
奇偶數 |
數字和
|
1 |
1 |
1 |
奇數 |
1
|
7 |
1、7 |
2 |
奇數 |
7
|
10 |
1、2、5、10 |
4 |
偶數 |
1
|
13 |
1、13 |
2 |
奇數 |
4
|
19 |
1、19 |
2 |
奇數 |
10
|
23 |
1、23 |
2 |
奇數 |
5
|
28 |
1、2、4、7、14、28 |
6 |
偶數 |
10
|
31 |
1、31 |
2 |
奇數 |
4
|
32 |
1、2、4、8、16、32 |
6 |
偶數 |
5
|
44 |
1、2、4、11、22、44 |
6 |
偶數 |
8
|
49 |
1、7、49 |
3 |
奇數 |
13
|
68 |
1、2、4、17、34、68 |
6 |
偶數 |
14
|
70 |
1、2、5、7、10、14、35、70 |
8 |
偶數 |
7
|
79 |
1、79 |
2 |
奇數 |
16
|
82 |
1、2、41、82 |
4 |
偶數 |
10
|
86 |
1、2、43、86 |
4 |
偶數 |
14
|
91 |
1、7、13、91 |
4 |
奇數 |
10
|
94 |
1、2、47、94 |
4 |
偶數 |
13
|
97 |
1、97 |
2 |
奇數 |
16
|
100 |
1、2、4、5、10、20、25、50、100 |
9 |
偶數 |
1
|
103 |
1、103 |
2 |
奇數 |
4
|
109 |
1、109 |
2 |
奇數 |
10
|
129 |
1、3、43、129 |
4 |
奇數 |
12
|
130 |
1、2、5、10、13、26、65、130 |
8 |
偶數 |
4
|
133 |
1、7、19、133 |
4 |
奇數 |
7
|
139 |
1、139 |
2 |
奇數 |
13
|
167 |
1、167 |
2 |
奇數 |
14
|
176 |
1、2、4、8、11、16、22、44、88、176 |
10 |
偶數 |
14
|
188 |
1、2、4、47、94、188 |
6 |
偶數 |
17
|
190 |
1、2、5、10、19、38、95、190 |
8 |
偶數 |
10
|
192 |
1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192 |
14 |
偶數 |
12
|
193 |
1、193 |
2 |
奇數 |
13
|
203 |
1、7、29、203 |
4 |
奇數 |
5
|
208 |
1、2、4、8、13、16、26、52、104、208 |
10 |
偶數 |
10
|
219 |
1、3、73、219 |
4 |
奇數 |
12
|
226 |
1、2、113、226 |
4 |
偶數 |
10
|
230 |
1、2、5、10、23、46、115、230 |
8 |
偶數 |
5
|
236 |
1、2、4、59、118、236 |
6 |
偶數 |
11
|
239 |
1、239 |
2 |
奇數 |
14
|
262 |
1、2、131、262 |
4 |
偶數 |
10
|
263 |
1、263 |
2 |
奇數 |
11
|
280 |
1、2、4、5、7、8、10、14、20、28、35、40、56、70、140、280 |
16 |
偶數 |
10
|
291 |
1、3、97、291 |
4 |
奇數 |
12
|
293 |
1、293 |
2 |
奇數 |
14
|
由表格可知:
- 128以內快樂數沒有因數3、6、9等數,如果128以內的數是3的倍數等,它一定不是快樂數。
- 1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數,如果1000以內的數是9的倍數等,它一定不是快樂數。
- 1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除,即尾數是(25、50或75的數),如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數,它一定不是快樂數。
- 1000以內的快樂數有143個,只有7個是3的倍數,129、192、219、291、888、912、921,機率:5%。
- 1000以內的快樂數有143個,有其中一位是5的只有12個,356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665,機率:8%。
- 1000以內的快樂數有143個,只有3個是25的倍數,100、700、1000,機率:2%。
快樂質數
在十進位下,300以內的快樂質數有(OEIS數列A035497):7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293,共15個。
快樂完全數
已知的51個完全數,只有3個是快樂數:28、496、8128。
其他進制的快樂數
- 三進制:1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 (OEIS數列A239320)
- 五進制:1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 (OEIS數列A240849)
- 任何進制(最小快樂數且大於1):2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72
(OEIS數列A161871)
其他进制的不快樂數循環
- 3进制
- 2 → 11 → 2
- 在十进制中為2 → 4 → 2
- 5进制
- 4 → 31 →20 → 4
- 在十进制中為4 → 16 → 10 → 4
- 23 → 23
- 在十进制中為13 → 13
- 6进制
- 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
- 在十进制中為5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5
- 7进制
- 2 → 4 → 22 → 11 → 2
- 在十进制中為2 → 4 → 16 → 8 → 2
- 34 → 34
- 在十进制中為25 → 25
- 8进制
- 4 → 20 → 4
- 在十进制中為4 → 16 → 4
- 5 → 31 → 12 → 5
- 在十进制中為5 → 25 → 10 → 5
- 32 → 15 → 32
- 在十进制中為26 → 13 → 26
- 9进制
- 58 → 108 → 72 → 58
- 在十进制中為53 → 89 → 65 → 53
- 55 → 55
- 在十进制中為50 → 50
- 10进制
- 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
- 11进制
- 75 → 68 → 91 → 75
- 在十进制中為82 → 74 → 100 → 82
- 23 → 12 → 5 → 23
- 在十进制中為25 → 13 → 5 → 25
- 12进制
- 22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22
- 在十进制中為26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26
- 21 → 5 → 21
- 在十进制中為25 → 5 → 25
- 13进制
- 79 → A0 → 79
- 在十进制中為100 → 130 → 100
- 36 → 36
- 在十进制中為45 → 45
- B2 → 98 → B2
- 在十进制中為145 → 125 → 145
- 67 → 67
- 在十进制中為85 → 85
- 14 → 14
- 在十进制中為17 → 17
- 16进制
- D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
- 在十进制中為13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13
其他性質
- 快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數,不快樂數的情況也是。例如:49是快樂數,94、4900也是快樂數;123不是快樂數,321、10203、123000也不是快樂數
- 通过检查十进制中前一百万个快乐数,它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577,下限小于0.1138。[1]
- 十進位不快樂數的循環只有一個,是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。
Python程式碼
#ishappy number
def ishappy(n):
a = []
while n not in a:
a.append(n)
n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])
return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'
相關條目
外部連結
- ^ Gilmer, Justin. On the Density of Happy Numbers. Integers. 2013, 13 (2): 2. Bibcode:2011arXiv1110.3836G. arXiv:1110.3836
.
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