橢圓柱坐標系的幾個坐標曲面。紅色的橢圓柱面的
μ μ -->
=
1
{\displaystyle \mu =1}
。藍色的薄平面的
z
=
1
{\displaystyle z=1}
。z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個曲面相交於點 P (以黑色的圓球表示),直角坐標大約為
(
2.182
,
− − -->
1.661
,
1
)
{\displaystyle (2.182,\ -1.661,\ 1)}
。包含於 xy-平面的橢圓與雙曲線的兩個焦點的直角坐標為
x
=
± ± -->
2.0
{\displaystyle x=\pm 2.0}
。
橢圓坐標系
橢圓柱坐標系 (英語:Elliptic cylindrical coordinates )是一種三維正交坐標系 。往 z-軸方向延伸二維的橢圓坐標系 ,則可得到橢圓柱坐標系;其坐標曲面 是共焦的橢圓柱面 與雙曲柱面 。橢圓柱坐標系的兩個焦點
F
1
{\displaystyle F_{1}}
與
F
2
{\displaystyle F_{2}}
的直角坐標 ,分別設定為
(
− − -->
a
,
0
,
0
)
{\displaystyle (-a,\ 0,\ 0)}
與
(
a
,
0
,
0
)
{\displaystyle (a,\ 0,\ 0)}
,都處於直角坐標系 的 x-軸。
基本定義
橢圓柱坐標
(
μ μ -->
,
ν ν -->
,
z
)
{\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ z)}
最常見的定義是
x
=
a
cosh
-->
μ μ -->
cos
-->
ν ν -->
{\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }
、
y
=
a
sinh
-->
μ μ -->
sin
-->
ν ν -->
{\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }
、
z
=
z
{\displaystyle z=z}
;
其中,實數
a
>
0
{\displaystyle a>0}
,實數
μ μ -->
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle \mu \geq 0}
,弧度
ν ν -->
∈ ∈ -->
[
0
,
2
π π -->
)
{\displaystyle \nu \in [0,2\pi )}
,坐標 z 是實數。
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
的等值曲線形成了橢圓 ,而
ν ν -->
{\displaystyle \nu }
的等值曲線則形成了雙曲線 :
x
2
a
2
cosh
2
-->
μ μ -->
+
y
2
a
2
sinh
2
-->
μ μ -->
=
cos
2
-->
ν ν -->
+
sin
2
-->
ν ν -->
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}
、
x
2
a
2
cos
2
-->
ν ν -->
− − -->
y
2
a
2
sin
2
-->
ν ν -->
=
cosh
2
-->
μ μ -->
− − -->
sinh
2
-->
μ μ -->
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}
。
標度因子
橢圓柱坐標
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
與
ν ν -->
{\displaystyle \nu }
的標度因子相等:
h
μ μ -->
=
h
ν ν -->
=
a
sinh
2
-->
μ μ -->
+
sin
2
-->
ν ν -->
{\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}
、
h
z
=
1
{\displaystyle h_{z}=1}
。
所以,無窮小體積元素等於
d
V
=
a
2
(
sinh
2
-->
μ μ -->
+
sin
2
-->
ν ν -->
)
d
μ μ -->
d
ν ν -->
d
z
{\displaystyle dV=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu dz}
。
拉普拉斯算子 是
∇ ∇ -->
2
Φ Φ -->
=
1
a
2
(
sinh
2
-->
μ μ -->
+
sin
2
-->
ν ν -->
)
(
∂ ∂ -->
2
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
2
+
∂ ∂ -->
2
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
2
)
+
∂ ∂ -->
2
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
z
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}
。
其它微分算子,例如
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
與
∇ ∇ -->
× × -->
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
,都可以用橢圓柱坐標表達,只需要將標度因子代入正交坐標 條目內對應的一般公式。
第二種定義
有時候,會用到另外一種橢圓柱坐標系
(
σ σ -->
,
τ τ -->
,
z
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
,其中,
σ σ -->
=
cosh
-->
μ μ -->
{\displaystyle \sigma =\cosh \mu }
,
τ τ -->
=
cos
-->
ν ν -->
{\displaystyle \tau =\cos \nu }
。同樣地,
σ σ -->
{\displaystyle \sigma }
的等值曲線是橢圓,而
τ τ -->
{\displaystyle \tau }
的等值曲線是雙曲線。在這裏,
τ τ -->
{\displaystyle \tau }
必須屬於區間
[
− − -->
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,\ 1]}
,而
σ σ -->
{\displaystyle \sigma }
必須大於或等於
1
{\displaystyle 1}
。
用橢圓柱坐標系,任何在 xy-平面上的點
(
σ σ -->
,
τ τ -->
,
z
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
,其與兩個焦點的距離
d
1
{\displaystyle d_{1}}
,
d
2
{\displaystyle d_{2}}
有一個很簡單的關係(回想兩個焦點
F
1
{\displaystyle F_{1}}
與
F
2
{\displaystyle F_{2}}
的坐標分別為
(
− − -->
a
,
0
)
{\displaystyle (-a,\ 0)}
與
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,\ 0)}
):
d
1
+
d
2
=
2
a
σ σ -->
{\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma }
、
d
1
− − -->
d
2
=
2
a
τ τ -->
{\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau }
。
因此,
d
1
=
a
(
σ σ -->
+
τ τ -->
)
{\displaystyle d_{1}=a(\sigma +\tau )}
、
d
2
=
a
(
σ σ -->
− − -->
τ τ -->
)
{\displaystyle d_{2}=a(\sigma -\tau )}
。
第二種橢圓柱坐標有一個缺點,那就是它與直角坐標並不保持一一對應 關係:
x
=
a
σ σ -->
τ τ -->
{\displaystyle x=a\sigma \tau }
,
y
2
=
a
2
(
σ σ -->
2
− − -->
1
)
(
1
− − -->
τ τ -->
2
)
{\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}
。
第二種標度因子
第二種橢圓柱坐標
(
σ σ -->
,
τ τ -->
,
z
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
的標度因子是
h
σ σ -->
=
a
σ σ -->
2
− − -->
τ τ -->
2
σ σ -->
2
− − -->
1
{\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}
、
h
τ τ -->
=
a
σ σ -->
2
− − -->
τ τ -->
2
1
− − -->
τ τ -->
2
{\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}
、
h
z
=
1
{\displaystyle h_{z}=1}
。
所以,無窮小體積元素等於
d
V
=
a
2
σ σ -->
2
− − -->
τ τ -->
2
(
σ σ -->
2
− − -->
1
)
(
1
− − -->
τ τ -->
2
)
d
σ σ -->
d
τ τ -->
d
z
{\displaystyle dV=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau dz}
。
拉普拉斯算子 是
∇ ∇ -->
2
Φ Φ -->
=
1
a
2
(
σ σ -->
2
− − -->
τ τ -->
2
)
[
σ σ -->
2
− − -->
1
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
σ σ -->
(
σ σ -->
2
− − -->
1
∂ ∂ -->
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
σ σ -->
)
+
1
− − -->
τ τ -->
2
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
τ τ -->
(
1
− − -->
τ τ -->
2
∂ ∂ -->
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
τ τ -->
)
]
+
∂ ∂ -->
2
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
z
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}
。
其它微分算子,例如
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
與
∇ ∇ -->
× × -->
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
,都可以用第二種橢圓柱坐標表達,只需要將第二種標度因子代入正交坐標 條目內對應的一般公式。
應用
橢圓柱坐標最經典的用途是在解析像拉普拉斯方程 或亥姆霍茲方程 這類的偏微分方程式 。在這些方程式裏,橢圓柱坐標允許分離變數法 的使用。擧一個典型的例題,有一塊寬度為
2
a
{\displaystyle 2a}
的平板導體 ,請問其周圍的電場 為什麼?應用橢圓柱坐標,我們可以有條不紊地分析這例題。
三維的波方程 ,假若用橢圓柱坐標來表達,則可以用分離變數法解析,形成了馬蒂厄微分方程 (Mathieu differential equation ) 。
參閱
參考文獻
Philip M. Morse, Herman Feshbach. Methods of Theoretical Physics, Part I . New York: McGraw-Hill. 1953: p. 657. ISBN 0-07-043316-X .
Henry Margenau, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry . New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 182–183.
Korn GA. Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 179.
Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97.
Moon P, Spencer DE. Elliptic-Cylinder Coordinates (η, ψ, z). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 17–20 (Table 1.03). ISBN 978-0387184302 .