正八面體

正八面體
	; (按這裡觀看旋轉模型)
類別	柏拉圖立體; 正多面体
對偶多面體	立方體
識別
名稱	正八面體
參考索引	U05, C17, W2
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	oct
數學表示法
施萊夫利符號	; {3,4}; r{3,3}
威佐夫符號; （英语：Wythoff symbol）	4 \| 2 3
康威表示法	O; aT
性質
面	8
邊	12
頂點	6
歐拉特徵數	F=8, E=12, V=6 （χ=2）
二面角	109.47122° = arccos(-1/3)
組成與佈局
面的種類	正三角形
面的佈局; （英语：Face configuration）	8{3}
頂點圖	3.3.3.3
對稱性
對稱群	Oh
特性
	正凸三角面多面體
圖像
	; 3.3.3.3; （頂點圖）
	; （展開圖）
	查; 论; 编;

正八面體是一種八面體，由八個等邊三角形，分別為上、下各四個三角形與一個正方形組成的正方錐體，上下黏合在一起而構成，是五種正多面體的第三種，有6個頂點和12條邊。正八面體也是正三角反棱柱。正八面体是三维的正轴形，施莱夫利符号{3,4}，考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）。

正八面體每四条棱可以成为一个正方形，共有三个独立的正方形。

八面體

性質

頂點數目：6
邊數目：12
面數目：8
當棱長為 $a$ $a$ 時：
- 表面積： $S=2{\sqrt {3}}a^{2}$
- 體積： $V={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}$
- 外接球半径： $r_{u}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a$ （外接球即过正八面体各顶点的球）
- 内切球半径： $r_{i}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a$ （内切球即与正八面体各面相切的球）
- 中分球半径： $r_{m}={\frac {1}{2}}a$ （中分球即过正八面体各边中点的球）

坐标系

以棱长为 ${\sqrt {2}}$ 的正八面体的几何中心作为原点，将正八面体的对角线作为x, y, z轴建立三维直角坐标系（正八面体的3条对角线两两正交，这也是正八面体被叫做“正轴形”的原因），则我们能将正八面体的顶点坐标记为 $(\pm 1,0,0)$ , $(0,\pm 1,0)$ , $(0,0,\pm 1)$
正八面体表面方程为： $\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert +\left\vert z\right\vert =1$
更一般的，如果正八面体的对角线平行于坐标轴，中心为 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ ，外接圆半径为 $r$ （棱长为 ${\sqrt {2}}r$ ），则正八面体表面方程为： $\left\vert x-x_{0}\right\vert +\left\vert y-y_{0}\right\vert +\left\vert z-z_{0}\right\vert =r$
如果中心在原点的正八面体被拉长，成为菱形体，则更一般的八面体方程为
$\left|{\frac {x}{x_{m}}}\right|+\left|{\frac {y}{y_{m}}}\right|+\left|{\frac {z}{z_{m}}}\right|=1$
其内接于椭球体
${\frac {x^{2}}{x_{m}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{y_{m}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{z_{m}^{2}}}=1$
表面积 $S$ 和体积 $V$ 为：
$S=4\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}\times {\sqrt {{\frac {1}{x_{m}^{2}}}+{\frac {1}{y_{m}^{2}}}+{\frac {1}{z_{m}^{2}}}}}$
$V={\frac {4}{3}}\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}$
它的惯性张量 $I$ 是：

I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{10}}m(y_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}+y_{m}^{2})\end{bmatrix}}

当 $x_{m}=y_{m}=z_{m}=a\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 时，菱形体为上述正八面体。

正交投影

正八面体可以以多种不同的方向被正交投影到二维平面，以下表格展示了几种特殊的投影：

正交投影
正对于	棱	面的平行方向	顶点	面
图像
投影对称性	[2]	[2]	[4] B₂	[6] A₂

对称性和表面涂色

正八面体作为3维的正轴体正多面体，自身拥有较高的对称性，它的所有面都是不可区分的。可是我们也可以想象将正八面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使正八面体拥有不同的对称性。正八面体的对称群是O_h（正八面体群），是三维的超正八面体群（英语：Hyperoctahedral group）。在此对称性下，正八面体的所有面都带有相同对“颜色”，对称性最高，群阶48。该群的子群体现了正八面体更低的对称性：T_d（群阶24），截半正四面体的对称群；D_3d（群阶12），三角反棱柱的对称群；D_4h（群阶16），四角双棱锥（正四棱柱的对偶）的对称群；D_2h（群阶8），三维长菱体（三维长方体的对偶）的对称群。

名称	正八面体	截半正四面体 (四面四面体)	正三角反棱柱	正雙四角锥	长菱体
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{3,4}	t₁{3,3}	h_0,1{2,6} s{2,3}	f_0,1{2,4} { } + {4}	f_0,1,2{2,2} { } + { } + { }
Wythoff符号（英语：Wythoff symbol）	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
对称群（英语：List of spherical symmetry groups）	O_h, [4,3], (*432)	T_d, [3,3], (*332)	D_3d, [2⁺,6], (2*3) D₃, [2,3]⁺, (322)	D_4h, [2,4], (*422)	D_2h, [2,2], (*222)
对称群阶	48	24	12 6	16	8
图像 (半正表面涂色)	(1111)	(1212)	(1112)

與其他形狀的關係

对偶性

正八面體的對偶多面體是立方體。

當正八面體在立方體之內：

${\begin{aligned}{\text{正八面體體積 }}:{\text{立方體體積 }}&=\left({\frac {1}{3}}\times {\text{高 }}\times {\text{底面積 }}\right)\times 2:{\text{邊 }}^{3}\\&=\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {n}{2}}\right)\left({\frac {n^{2}}{2}}\right)2:n^{3}\\&=1:6\\\end{aligned}}$

其它几何关联

两个互为对偶的正四面体可以组成一个复合正多面体，这两个正四面体的交集即是正八面体。这个复合多面体，也叫做星形八面体，是正八面体的第一个也是唯一一个星形展（英Stellation，暂译，目前还没有好的译名）。另一方面，从正四面体各棱中点处截去4个包含原顶点在内的线性大小只有原正四面体一半的正四面体，你也能得到正八面体，也就是说，正八面体是“截半正四面体”。在这里，正四面体与正八面体之间的关系就像立方体、正八面体与截半立方体；正十二面体、正二十面体与截半正十二面体一样。
除此以外，我们知道正二十面体还是“扭棱正四面体”，因此，正八面体与其也应该有关系。事实上，我们能够利用黄金分割从正八面体的棱上得到正二十面体的顶点。具体操作是：用有向线段代替这个正八面体的各棱，使每个面的3条有向线段恰好首尾相接，构成一圈。接着顺着每个有向线段的方向将其以黄金比例分割，分割点即是正二十面体的顶点。如果给定一正二十面体，则有5个不同的正八面体都可用上述操作得到给定正二十面体，这5个正八面体又可构成一复合正多面体，即五複合正八面體。

正八面体可以和正四面体一起完成三维空间的密铺，这密铺被叫做正八面体—正四面体堆砌(Octahedral-Tetrahedral Honeycomb)（同时它也是交错立方体堆砌(Alternated Cubic Honeycomb)，亦即半立方体堆砌(Demicubic Honeycomb)），是28个三维半正堆砌之一，是除立方体堆砌以外唯一一个完全由正多面体完成的三维堆砌。正八面体也参与了截半立方体堆砌。
正八面体是柏拉图立体中唯一一个在顶点处有偶数个面相交的，也是唯一一个所有对称镜面不穿过任何一面的。
以约翰逊多面体的角度来看，正八面体是双四棱锥，将其上下两个顶点截取，即得到双四棱台。
正八面体是四连通的，意味着要想打断正八面体6个顶点之间的连接，至少要撤掉4个顶点。它是4个四连通单纯形面全覆盖多面体之一，意味着它所有顶点的极大独立集（英语：maximal independent sets）都有相同大小。其余3个多面体是约翰逊多面体双五棱锥、扭稜鍥形體和一个非半正的有12个顶点和20个正三角形面的多面体。