线性代数
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
矩陣力學 是量子力學 其中一種的表述形式，它是由海森堡 、玻恩 和约尔当 （P. Jordan）於1925年完成的。矩陣力學的思想出發點是針對波耳模型 中許多觀點，諸如電子 的軌道 、頻率 等，都不是可以直接觀察的。反之，在實驗中經常接觸到的是光譜線的頻率、強度、偏極化，以及能階 。海森堡 計劃創造一個理論，只是用光譜線的頻率、強度、偏極化等觀念。他的做法是受到愛因斯坦 在相對論 中對時間、空間作“操作定義”分析的影響[ 1] 薛丁格方程 的線性代數 形式，矩陣力學會將哈密頓量 表述為矩陣 ，能量則為特徵值 。物理學家也可以從分析哈密頓矩陣而提取有關能階 、量子數 等資訊，為原子物理 等特定領域提供了一種研究途徑[ 2]
凡是矩陣力學，皆可建於以下的假定：
所有的物理量，均以厄米矩陣表之。一個物理系統的哈密頓函數
H
{\displaystyle \mathbf {H} \,}
廣義坐標 矩陣
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} \,}
P
{\displaystyle \mathbf {P} \,}
一個物理量
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,}
f
n
1
n
2
{\displaystyle f_{{n_{1}}{n_{2}}}\,}
E
n
1
n
2
{\displaystyle E_{{n_{1}}{n_{2}}}\,}
H
{\displaystyle \mathbf {H} \,}
一個物理系統的廣義坐標矩陣及其共軛動量矩陣滿足以下的對易關係 ，亦稱為強量子條件 ：
P
Q
− − -->
Q
P
=
ℏ ℏ -->
i
I
{\displaystyle \mathbf {PQ} -\mathbf {QP} ={\hbar \over i}\mathbf {I} \,}
I
{\displaystyle \mathbf {I} \,}
一個物理系統（如原子）的頻率
ν ν -->
n
1
n
2
{\displaystyle \nu _{{n_{1}}{n_{2}}}\,}
h
ν ν -->
n
1
n
2
=
E
n
1
n
1
− − -->
E
n
2
n
2
{\displaystyle h\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}=E_{{n_{1}}{n_{1}}}-E_{{n_{2}}{n_{2}}}\,}
h
ν ν -->
n
1
n
2
=
E
n
1
n
1
− − -->
E
n
2
n
2
{\displaystyle h\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}=E_{{n_{1}}{n_{1}}}-E_{{n_{2}}{n_{2}}}\,}
海森堡 的思想來源是先來自週期系統的解；週期系統的解全都可用傅立葉級數 去展示：
q
n
(
t
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
a
n
cos
-->
(
2
π π -->
n
ν ν -->
t
)
+
b
n
sin
-->
(
2
π π -->
n
ν ν -->
t
)
)
=
∑ ∑ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
q
n
e
2
π π -->
i
n
ν ν -->
t
{\displaystyle q_{n}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\cos(2\pi n\nu t)+b_{n}\sin(2\pi n\nu t))=\sum _{-\infty }^{\infty }q_{n}e^{2\pi in\nu t}}
在此的
q
n
=
1
2
(
a
n
− − -->
i
b
n
)
{\displaystyle q_{n}={\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})\,}
q
− − -->
n
=
q
n
∗ ∗ -->
{\displaystyle q_{-n}=q_{n}^{*}\,}
n
ν ν -->
(
n
=
1
,
2
,
⋯ ⋯ -->
)
{\displaystyle n\nu \,(n=1,2,\cdots )\,}
ν ν -->
n
1
n
2
=
ν ν -->
n
1
n
3
+
ν ν -->
n
3
n
2
{\displaystyle \nu _{{n_{1}}{n_{2}}}=\nu _{{n_{1}}{n_{3}}}+\nu _{{n_{3}}{n_{2}}}\,}
如果頻率能表示為經驗項之差（如氫原子 的里德伯公式 ）：
ν ν -->
n
1
n
2
=
T
n
1
− − -->
T
n
2
{\displaystyle \nu _{{n_{1}}{n_{2}}}=T_{n_{1}}-T_{n_{2}}\,}
里茲組合原則即可滿足，而在這裡原子系統形成一個“二維”的系統；對於頻率的“二維”本性，海森堡 用“二維”的廣義坐標
q
n
1
n
2
o
e
2
π π -->
i
ν ν -->
n
1
n
2
t
{\displaystyle q_{{n_{1}}{n_{2}}}^{o}e^{2\pi i\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}t}\,}
去取代傅立葉分量
q
n
e
2
π π -->
i
n
ν ν -->
t
{\displaystyle q_{n}e^{2\pi in\nu t}\,}
q
n
1
n
2
o
=
q
n
1
n
2
o
∗ ∗ -->
{\displaystyle q_{{n_{1}}{n_{2}}}^{o}=q_{{n_{1}}{n_{2}}}^{o*}\,}
至於譜線
ν ν -->
n
1
n
2
{\displaystyle \nu _{{n_{1}}{n_{2}}}\,}
|
q
n
1
n
2
|
2
{\displaystyle |q_{{n_{1}}{n_{2}}}|^{2}\,}
q
n
1
n
2
{\displaystyle q_{{n_{1}}{n_{2}}}\,}
(
x
x
)
n
1
n
2
=
∑ ∑ -->
j
x
n
1
j
x
j
n
2
{\displaystyle (xx)_{{n_{1}}{n_{2}}}=\sum _{j}x_{{n_{1}}{j}}x_{{j}{n_{2}}}\,}
以使“二維”數集的運算，都不會產生
ν ν -->
n
1
n
2
{\displaystyle \nu _{{n_{1}}{n_{2}}}\,}
(
q
q
)
n
1
n
2
=
∑ ∑ -->
k
q
n
1
k
e
2
π π -->
i
ν ν -->
n
1
k
t
q
k
n
2
e
2
π π -->
i
ν ν -->
k
n
2
t
=
∑ ∑ -->
k
q
n
1
k
q
k
n
2
e
2
π π -->
i
(
ν ν -->
n
1
k
+
ν ν -->
k
n
2
)
t
=
(
∑ ∑ -->
k
q
n
1
k
q
k
n
2
)
e
2
π π -->
i
ν ν -->
n
1
n
2
t
{\displaystyle (qq)_{{n_{1}}{n_{2}}}=\sum _{k}q_{{n_{1}}{k}}e^{2\pi i\nu _{{n_{1}}{k}}t}q_{{k}{n_{2}}}e^{2\pi i\nu _{{k}{n_{2}}}t}=\sum _{k}q_{{n_{1}}{k}}q_{{k}{n_{2}}}e^{2\pi i(\nu _{{n_{1}}{k}}+\nu _{{k}{n_{2}}})t}=(\sum _{k}q_{{n_{1}}{k}}q_{{k}{n_{2}}})e^{2\pi i\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}t}\,}
(
q
˙ ˙ -->
)
n
1
n
2
=
2
π π -->
i
ν ν -->
n
1
n
2
q
n
1
n
2
e
2
π π -->
i
ν ν -->
n
1
n
2
t
{\displaystyle ({\dot {q}})_{{n_{1}}{n_{2}}}=2\pi i\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}q_{{n_{1}}{n_{2}}}e^{2\pi i\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}t}\,}
海森堡只憑這些結果，就能得到諧振子的零點能是
1
2
h
ν ν -->
{\displaystyle {\frac {1}{2}}h\nu \,}
對應原理 ，先引入波耳-索末菲量子條件
J
=
∮ ∮ -->
p
d
q
=
n
h
{\displaystyle J=\oint p\,dq=nh\,}
接著海森堡將他的結果轉寄給玻恩 ，玻恩 對於這些“二維”數集初時亦大感不解，後來他便意識到這些數集的運算與一個矩陣的運算是一模一樣的，於是玻恩便與海森堡和約爾丹開展矩陣力學的建立。
首先，任何兩個矩陣的乘法是不對易的：
A
B
− − -->
B
A
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle \mathbf {AB} -\mathbf {BA} \neq \mathbf {0} \,}
所以一個物理系統的廣義坐標矩陣及其共軛動量滿矩陣的乘積是不對易的：
P
Q
− − -->
Q
P
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle \mathbf {PQ} -\mathbf {QP} \neq \mathbf {0} \,}
那麼這個乘積會等於甚麼呢？其實這個乘積等於甚麼可從波耳-索末菲量子條件
J
=
∮ ∮ -->
p
d
q
=
n
h
{\displaystyle J=\oint p\,dq=nh\,}
J
=
∮ ∮ -->
p
d
q
=
∮ ∮ -->
0
1
ν ν -->
p
q
˙ ˙ -->
d
t
{\displaystyle J=\oint p\,dq=\oint _{0}^{\frac {1}{\nu }}p{\dot {q}}\,dt\,}
如
p
,
q
{\displaystyle p,\quad q\,}
J
=
∫ ∫ -->
0
1
ν ν -->
∑ ∑ -->
n
1
p
n
1
e
2
π π -->
i
ν ν -->
t
∑ ∑ -->
n
2
2
π π -->
i
ν ν -->
q
n
2
e
2
π π -->
i
ν ν -->
t
d
t
=
2
π π -->
i
ν ν -->
∑ ∑ -->
n
,
k
∫ ∫ -->
0
1
ν ν -->
p
n
q
n
− − -->
k
(
k
− − -->
n
)
e
2
π π -->
i
ν ν -->
t
d
t
=
− − -->
2
π π -->
i
∑ ∑ -->
τ τ -->
=
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
τ τ -->
p
τ τ -->
q
− − -->
τ τ -->
{\displaystyle J=\int _{0}^{\frac {1}{\nu }}\sum _{n_{1}}p_{n_{1}}e^{2\pi i\nu t}\sum _{n_{2}}2\pi i\nu q_{n_{2}}e^{2\pi i\nu t}\,dt=2\pi i\nu \sum _{n,k}\int _{0}^{\frac {1}{\nu }}p_{n}q_{n-k}(k-n)e^{2\pi i\nu t}\,dt=-2\pi i\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\tau p_{\tau }q_{-\tau }\,}
所以
1
=
∂ ∂ -->
J
∂ ∂ -->
J
=
− − -->
2
π π -->
i
∑ ∑ -->
τ τ -->
=
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
τ τ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
J
p
τ τ -->
q
− − -->
τ τ -->
{\displaystyle 1={\frac {\partial J}{\partial J}}=-2\pi i\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\tau {\frac {\partial }{\partial J}}p_{\tau }q_{-\tau }\,}
在波耳-索末菲的理論中，作用量被量子化：
J
=
n
h
{\displaystyle J=nh\,}
況且
Δ Δ -->
J
=
(
Δ Δ -->
n
)
h
=
τ τ -->
h
,
τ τ -->
≡ ≡ -->
Δ Δ -->
n
{\displaystyle \Delta J=(\Delta n)h=\tau h,\quad \tau \equiv \Delta n\,}
由對應原理可知，經典理論的任何一個物理量
F
{\displaystyle F\,}
∂ ∂ -->
F
∂ ∂ -->
J
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial J}}\,}
Δ Δ -->
F
Δ Δ -->
J
=
Δ Δ -->
F
τ τ -->
h
{\displaystyle {\frac {\Delta F}{\Delta J}}={\frac {\Delta F}{\tau h}}\,}
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
J
p
τ τ -->
q
− − -->
τ τ -->
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial J}}p_{\tau }q_{-\tau }\,}
1
τ τ -->
h
Δ Δ -->
(
p
τ τ -->
q
− − -->
τ τ -->
)
{\displaystyle {\frac {1}{\tau h}}\Delta (p_{\tau }q_{-\tau })\,}
P
,
Q
{\displaystyle \mathbf {P} ,\mathbf {Q} \,}
1
τ τ -->
h
Δ Δ -->
(
p
τ τ -->
q
− − -->
τ τ -->
)
→ → -->
1
τ τ -->
h
Δ Δ -->
(
p
n
,
n
− − -->
τ τ -->
q
n
− − -->
τ τ -->
,
n
)
=
− − -->
1
τ τ -->
h
(
p
n
,
n
− − -->
τ τ -->
q
n
− − -->
τ τ -->
,
n
− − -->
q
n
,
n
+
τ τ -->
p
n
+
τ τ -->
,
n
)
{\displaystyle {\frac {1}{\tau h}}\Delta (p_{\tau }q_{-\tau })\rightarrow {\frac {1}{\tau h}}\Delta (p_{n,n-\tau }q_{n-\tau ,n})=-{\frac {1}{\tau h}}(p_{n,n-\tau }q_{n-\tau ,n}-q_{n,n+\tau }p_{n+\tau ,n})\,}
將此代入上述的
1
=
∂ ∂ -->
J
∂ ∂ -->
J
=
− − -->
2
π π -->
i
∑ ∑ -->
τ τ -->
=
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
τ τ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
J
p
τ τ -->
q
− − -->
τ τ -->
{\displaystyle 1={\frac {\partial J}{\partial J}}=-2\pi i\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\tau {\frac {\partial }{\partial J}}p_{\tau }q_{-\tau }\,}
1
=
2
π π -->
i
h
∑ ∑ -->
τ τ -->
(
p
n
,
n
− − -->
τ τ -->
q
n
− − -->
τ τ -->
,
n
− − -->
q
n
,
n
+
τ τ -->
p
n
+
τ τ -->
,
n
)
{\displaystyle 1={\frac {2\pi i}{h}}\sum _{\tau }(p_{n,n-\tau }q_{n-\tau ,n}-q_{n,n+\tau }p_{n+\tau ,n})\,}
這可用矩陣重新寫成：
(
p
q
− − -->
q
p
)
n
n
=
h
2
π π -->
i
=
ℏ ℏ -->
i
{\displaystyle (pq-qp)_{nn}={\frac {h}{2\pi i}}={\frac {\hbar }{i}}\,}
他們便作以下的假定：一個物理系統的廣義坐標矩陣及其共軛動量矩陣滿足以下的對易關係 ：
P
Q
− − -->
Q
P
=
ℏ ℏ -->
i
I
{\displaystyle \mathbf {PQ} -\mathbf {QP} ={\hbar \over i}\mathbf {I} \,}
I
{\displaystyle \mathbf {I} \,}
注意，千萬不要以為對易關係能用波耳-索末菲量子條件「推導」出來，更不要以為它可從經典物理推導出來，總之，對易關係是一個全新的假定，只有實驗才能確認它的真實性。
根據上文的對易關係，如果有一個矩陣函數 (哈密頓函數 )
H
=
H
(
Q
,
P
)
{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )\,}
H
Q
− − -->
Q
H
=
ℏ ℏ -->
i
∂ ∂ -->
H
∂ ∂ -->
P
{\displaystyle \mathbf {HQ} -\mathbf {QH} ={\hbar \over i}{\partial \mathbf {H} \over \partial \mathbf {P} }\,}
H
P
− − -->
P
H
=
− − -->
ℏ ℏ -->
i
∂ ∂ -->
H
∂ ∂ -->
Q
{\displaystyle \mathbf {HP} -\mathbf {PH} =-{\hbar \over i}{\partial \mathbf {H} \over \partial \mathbf {Q} }\,}
在此，采用狄拉克矢量记号。量子力学基本方程是
H
^ ^ -->
|
ψ ψ -->
⟩ ⟩ -->
=
E
|
ψ ψ -->
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =E|\psi \rangle }
薛定谔的波动力学就是（薛定谔绘景下）坐标空间表象下的上述方程，即
⟨ ⟨ -->
x
|
H
^ ^ -->
|
x
′
⟩ ⟩ -->
⟨ ⟨ -->
x
′
|
ψ ψ -->
⟩ ⟩ -->
=
E
⟨ ⟨ -->
x
|
ψ ψ -->
⟩ ⟩ -->
⇔ ⇔ -->
[
− − -->
ℏ ℏ -->
2
2
m
∇ ∇ -->
2
+
V
(
r
)
]
ψ ψ -->
(
r
)
=
E
ψ ψ -->
(
r
)
{\displaystyle \langle x|{\hat {H}}|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =E\langle x|\psi \rangle \quad \Leftrightarrow \quad \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}
海森堡的矩阵力学一般说来就是能量表象下的方程，即
⟨ ⟨ -->
E
′
|
H
^ ^ -->
|
E
″
⟩ ⟩ -->
⟨ ⟨ -->
E
″
|
ψ ψ -->
⟩ ⟩ -->
=
E
⟨ ⟨ -->
E
′
|
ψ ψ -->
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \langle E'|{\hat {H}}|E''\rangle \langle E''|\psi \rangle =E\langle E'|\psi \rangle }
两者只是表象不同，自然是等价的。
^ Herbert S. Green (1965). Matrix mechanics (P. Noordhoff Ltd, Groningen, Netherlands) ASIN : B0006BMIP8.
^ Fan, Castaly; Zamick, Larry. Matrix model: Emergence of a quantum number in the strong coupling regime. International Journal of Modern Physics E. 2021-07, 30 (07): 2150059. doi:10.1142/S0218301321500592
![{\displaystyle \langle x|{\hat {H}}|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =E\langle x|\psi \rangle \quad \Leftrightarrow \quad \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5674e025ae4e6aec099b01ada83cef0eacfdad61)
