等周定理 ，又稱等周不等式 （英語：isoperimetric inequality 周界 长度相等的封闭几何形狀 之中，以圓 形的面積 最大；另一個說法是面積相等的几何形狀之中，以圓形的周界长度最小。這兩種說法是等價的。它可以以不等式 表達：若
P
{\displaystyle P}
曲線 的周界长，
A
{\displaystyle A}
4
π π -->
A
≤ ≤ -->
P
2
{\displaystyle 4\pi A\leq P^{2}}
虽然等周定理的结论早已为人所知，但要严格的证明这一点并不容易。首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。之后，数学家们陆续给出了不同的证明，其中有不少是非常简单的。等周问题有许多不同的推广，例如在各种曲面而不是平面上的等周问题，以及在高维的空间中给定的“表面 ”或区域的最大“边界长度”问题等。
在物理中，等周问题和跟所谓的最小作用量原理 有關。一个直观的表现就是水珠的形状。在没有外力的情况下（例如失重的太空舱里），水珠的形状是完全对称的球体。这是因为当水珠体积一定时，表面张力 会迫使水珠的表面积达到最小值。根据等周定理，最小值是在水珠形状为球状时达到。
不完全凸的封閉曲線的話，能以「翻折」凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積，而周长不变 一个狭长的图形可以通过“压扁”来变得“更圆”，从而使得面积更大而周长不变。 平面上的等周问题是等周问题最经典的形式，它的出现可以追溯到很早以前。这个问题可以被表述为：在平面上所有周长一定的封闭曲线中，是否有一个围成的面积最大？如果有的话，是什么形状？另一种等价的表述是：当平面上的封闭曲线围成的面积一定时，怎样的曲线周长最小？
雖然圓看似是問題的表面答案，但證明此事實其實不易。首個接近答案的步驟出現在1838年——雅各·史坦納 [ 1]
其方法包括證明了不完全凸 的封閉曲線的話，能以「翻折」凹 的部分以成為凸的圖形，以增加面積；不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓，是完全凸和對稱的形狀。可是這些並不足以作為等周定理的嚴格 證明。
1901年，阿道夫·赫維茲 憑傅里叶级数 和格林定理 給出一個純解析的證明。
以下給出一個較初等的證明[ 2]
設一條長度為P的封閉曲綫圍成的區域的最大面積為A，亦以A、P來標記該區域及其邊界；那麼該圖形應當滿足如下性質：
1、A是一個凸區域。
假使不然，A是一個凹區域。那麼根據定義，可以在P內找到兩個點M和N，使其連線MN有一部份M'N'不包含于A的內部。然而如以M'N'替換掉原來的那段弧，則周長將減少，面積將增加，從而將新圖形擴大若干倍后得到一個同樣周長，面積比A大的區域。矛盾。 2、凡平分周長P的弦必平分面積A。
如果一弦MN平分P而將A分為大小不同的兩部份
A
1
>
A
2
{\displaystyle A_{1}>A_{2}}
A
2
{\displaystyle A_{2}}
A
1
{\displaystyle A_{1}}
2
A
1
>
A
1
+
A
2
=
A
{\displaystyle 2A_{1}>A_{1}+A_{2}=A}
3、凡平分A的弦，無論方向，長度相等。
如果不然，不妨設兩弦MN和M'N'均平分面積A而MN>M'N'。那麼分別選取MN及其任一側的曲綫（半個P，不妨記為
P
1
{\displaystyle P_{1}}
P
1
′
{\displaystyle P'_{1}}
此時，新的圖形仍然滿足周長為P，面積為A的性質，且由於MN>M'N'，N'應落於MN之間。
以M為中心，分別對
P
1
{\displaystyle P_{1}}
P
1
′
{\displaystyle P'_{1}}
λ λ -->
{\displaystyle \lambda }
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
N
″
{\displaystyle N''}
Q
1
{\displaystyle Q_{1}}
Q
1
′
{\displaystyle Q'_{1}}
λ λ -->
{\displaystyle \lambda }
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
M
Q
1
N
″
Q
1
′
M
{\displaystyle MQ_{1}N''Q'_{1}M}
此時
Q
1
{\displaystyle Q_{1}}
Q
1
′
{\displaystyle Q'_{1}}
P
λ λ -->
/
2
{\displaystyle P\lambda /2}
P
μ μ -->
/
2
{\displaystyle P\mu /2}
A
λ λ -->
2
/
2
{\displaystyle A\lambda ^{2}/2}
A
μ μ -->
2
/
2
{\displaystyle A\mu ^{2}/2}
λ λ -->
M
N
=
μ μ -->
M
N
′
{\displaystyle \lambda MN=\mu MN'}
由於曲綫
M
Q
1
N
″
Q
1
′
M
{\displaystyle MQ_{1}N''Q'_{1}M}
P
λ λ -->
/
2
+
P
μ μ -->
/
2
=
P
{\displaystyle P\lambda /2+P\mu /2=P}
λ λ -->
+
μ μ -->
=
2
{\displaystyle \lambda +\mu =2}
λ λ -->
M
N
=
μ μ -->
M
N
′
,
M
N
>
M
N
′
{\displaystyle \lambda MN=\mu MN',MN>MN'}
0
<
λ λ -->
<
1
{\displaystyle 0<\lambda <1}
所以，
M
Q
1
N
″
Q
1
′
M
{\displaystyle MQ_{1}N''Q'_{1}M}
A
(
λ λ -->
2
+
μ μ -->
2
)
/
2
=
A
(
λ λ -->
2
+
(
2
− − -->
λ λ -->
)
2
)
/
2
=
A
(
λ λ -->
2
− − -->
2
λ λ -->
+
2
)
>
A
{\displaystyle A(\lambda ^{2}+\mu ^{2})/2=A(\lambda ^{2}+(2-\lambda )^{2})/2=A(\lambda ^{2}-2\lambda +2)>A}
4、若MN平分A，O為MN中點，那麼對P上任意一點R，都有OM=ON=OR。
以O為中心，做MRN的中心對稱圖形，R對稱到R'；那麼圖形MR'NRM的周長為P，面積為A。由第3步知MN和RR'的長度應該相等，而O也是RR'的中點，故得結論。 5、由於O到P上任意一點的距離都相等，所以P是圓。
不妨将封闭图形周长定为2π，选取弧长参数t 其取值为从0到2π，有参数方程 (x ,y )=[x (t ),y (t )]，并且根据封闭图形有[x (0),y (0)]=[x (2π),y (2π)]。现展开为傅里叶级数 ：
x
(
t
)
=
a
0
2
+
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
[
a
k
cos
-->
(
k
t
)
+
b
k
sin
-->
(
k
t
)
]
y
(
t
)
=
c
0
2
+
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
[
c
k
cos
-->
(
k
t
)
+
d
k
sin
-->
(
k
t
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }[a_{k}\cos(kt)+b_{k}\sin(kt)]\\y(t)&={\frac {c_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }[c_{k}\cos(kt)+d_{k}\sin(kt)]\end{aligned}}}
以及相应导数：
x
′
(
t
)
=
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
[
− − -->
k
a
k
sin
-->
(
k
t
)
+
k
b
k
cos
-->
(
k
t
)
]
y
′
(
t
)
=
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
[
− − -->
k
c
k
sin
-->
(
k
t
)
+
k
d
k
cos
-->
(
k
t
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}x'(t)&=\sum _{k=1}^{\infty }[-ka_{k}\sin(kt)+kb_{k}\cos(kt)]\\y'(t)&=\sum _{k=1}^{\infty }[-kc_{k}\sin(kt)+kd_{k}\cos(kt)]\end{aligned}}}
考虑帕塞瓦尔恒等式 （注意这里是实数情形），可以得到：
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
k
2
(
a
k
2
+
b
k
2
+
c
k
2
+
d
k
2
)
=
∫ ∫ -->
0
2
π π -->
[
x
′
(
t
)
]
2
+
[
y
′
(
t
)
]
2
π π -->
d
t
=
2
(
1
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k^{2}(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}+c_{k}^{2}+d_{k}^{2})=\int _{0}^{2\pi }{\frac {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}{\pi }}\mathrm {d} t=2\qquad (1)}
其中第二个等号是因为弧长参数表示的微分满足
[
x
′
(
t
)
]
2
+
[
y
′
(
t
)
]
2
=
1
{\displaystyle [x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}=1}
根据格林公式 ，得到封闭图形面积为
S
=
∫ ∫ -->
0
2
π π -->
x
(
t
)
y
′
(
t
)
d
t
{\displaystyle S=\int _{0}^{2\pi }x(t)y'(t)\mathrm {d} t}
S
π π -->
=
∫ ∫ -->
0
2
π π -->
x
(
t
)
y
′
(
t
)
π π -->
d
t
=
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
k
(
a
k
d
k
− − -->
b
k
c
k
)
(
2
)
{\displaystyle {\frac {S}{\pi }}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {x(t)y'(t)}{\pi }}\mathrm {d} t=\sum _{k=1}^{\infty }k(a_{k}d_{k}-b_{k}c_{k})\qquad (2)}
整理与联系上述等式(1)与(2)，得：
4
π π -->
2
− − -->
4
π π -->
S
=
2
π π -->
2
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
[
k
2
(
a
k
2
+
b
k
2
+
c
k
2
+
d
k
2
)
− − -->
2
k
(
a
k
d
k
− − -->
b
k
c
k
)
]
=
2
π π -->
2
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
[
(
k
a
k
− − -->
d
k
)
2
+
(
k
b
k
+
c
k
)
2
+
(
k
2
− − -->
1
)
(
c
k
2
+
d
k
2
)
]
⩾ ⩾ -->
0
{\displaystyle {\begin{aligned}4\pi ^{2}-4\pi S&=2\pi ^{2}\sum _{k=1}^{\infty }[k^{2}(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}+c_{k}^{2}+d_{k}^{2})-2k(a_{k}d_{k}-b_{k}c_{k})]\\&=2\pi ^{2}\sum _{k=1}^{\infty }[(ka_{k}-d_{k})^{2}+(kb_{k}+c_{k})^{2}+(k^{2}-1)(c_{k}^{2}+d_{k}^{2})]\\&\geqslant 0\end{aligned}}}
此时可以证明S 存在最大值（初等证明里没有证明解的存在性），即该不等式取等号时的情况，当且仅当满足以下条件：
{
a
1
− − -->
d
1
=
0
b
1
+
c
1
=
0
a
k
=
b
k
=
c
k
=
d
k
=
0
k
⩾ ⩾ -->
2
{\displaystyle {\begin{cases}a_{1}-d_{1}=0\\b_{1}+c_{1}=0\\a_{k}=b_{k}=c_{k}=d_{k}=0&k\geqslant 2\end{cases}}}
最终可以得到参数方程即为圆：
{
x
=
a
0
2
+
a
1
cos
-->
t
+
b
1
sin
-->
t
y
=
c
0
2
− − -->
b
1
cos
-->
t
+
a
1
sin
-->
t
{\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {a_{0}}{2}}+a_{1}\cos t+b_{1}\sin t\\y={\dfrac {c_{0}}{2}}-b_{1}\cos t+a_{1}\sin t\end{cases}}}
证毕。
^ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze , J. reine angew Math.
18 , (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
^ 福原満洲雄、山中健，変分学入門，朝倉書店，1978.3.
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }[a_{k}\cos(kt)+b_{k}\sin(kt)]\\y(t)&={\frac {c_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }[c_{k}\cos(kt)+d_{k}\sin(kt)]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26376b10276886e3391c848cca4998c385c7900f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'(t)&=\sum _{k=1}^{\infty }[-ka_{k}\sin(kt)+kb_{k}\cos(kt)]\\y'(t)&=\sum _{k=1}^{\infty }[-kc_{k}\sin(kt)+kd_{k}\cos(kt)]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba4c742ff861ef2154197681f3c30d9ce794a7c)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k^{2}(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}+c_{k}^{2}+d_{k}^{2})=\int _{0}^{2\pi }{\frac {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}{\pi }}\mathrm {d} t=2\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64966efba941bec5c8be5a95ce26a692b41c9145)
![{\displaystyle [x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c71fc21cd4f7fd990f4ba07446efc5950f97d90)
![{\displaystyle {\begin{aligned}4\pi ^{2}-4\pi S&=2\pi ^{2}\sum _{k=1}^{\infty }[k^{2}(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}+c_{k}^{2}+d_{k}^{2})-2k(a_{k}d_{k}-b_{k}c_{k})]\\&=2\pi ^{2}\sum _{k=1}^{\infty }[(ka_{k}-d_{k})^{2}+(kb_{k}+c_{k})^{2}+(k^{2}-1)(c_{k}^{2}+d_{k}^{2})]\\&\geqslant 0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd4ed33ba23c3766c230272e405fcb798f39f72)
