微积分学的逐次积分(英:iterated integral)是在计算多重积分时将其中一些变量视为任意常数,重复进行多次积分而得到的积分。例如,对于二变量函数f ( x, y )的二重积分, 先将y视为常数,并且关于x积分∫ f ( x , y ) dx ,得到关于y的函数,进一步对y进行积分,这就得到了逐次积分。
![{\displaystyle \int \left(\int f(x,y)dx\right)dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c139ca9a62ec816b4a7ac74a8f6ecfd693790493)
考虑逐次积分的概念时,重要的一点就是
![{\displaystyle \iint f(x,y)\,dx\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/249e141d1af5a91d6e815bcd9e6ef3af301e7aa9)
逐次积分与多重积分实际上是兩个不同的概念。但是即使两者不同,但由于富比尼定理,它们在足够宽松的条件下计算出的结果一致。
一种简化的表示法是
![{\displaystyle \int dy\int f(x,y)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26e4d2bf8b1016818e642a218002f5fb06d6a92)
这种记号也很常用,但这并不是∫ dy和∫ f ( x ) dx的乘积。只不过是逐次积分的一种表示方法。
顺序积分是按照dxdy等指定的顺序来计算的,一般是从内到外依次计算。(即先对x积分之后在对y积分)。
例子
简单的计算
对于逐次积分
![{\displaystyle \int \left(\int (x+y)\,dx\right)dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3044582818cad33eab2f938876349385425ee2af)
的计算,首先将y作为常数,对括号里面关于x 积分(此步骤称为部分积分(英:partial integration)),
![{\displaystyle \int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20dee57a5ac41ad7a8cf9f96547a5d309092e029)
这是个常见的单变量积分,之后再对y积分可得
![{\displaystyle \int {\Bigl (}{\frac {x^{2}}{2}}+yx{\Bigr )}dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5352ddab7ae28627a337dd881570ee1757b1b652)
要注意的是,在该计算过程中应该出现的积分常数被省略了。第一次进行积分时出现的积分常数对于x来说是一个“常数”,严格来说,它是一个可能包含y的函数。这是因为,对f(x,y)关于x偏微分时,只含有y的项会被当作常数,而常数的导数为0,因此y的项就被消掉了。同样的,在第二次关于y的积分中,应该有关于x的函数被添加为“积分常数”。在这种情况下,多元函数的不定积分没有非常明确的意义。相对于单变量函数的原始函数与不定积分最多就差个常数,多变量函数的原始函数中可能和不定积分有很大的差异。
积分顺序
在逐次积分中,计算积分的顺序很重要。例如,对于很多稍微复杂的函数,如果计算顺序改变,结果就会改变。
假设正数单调递增数列 0 < a 0 < a 2 < … 满足a n → 1,定义连续函数g n在开区间 ( a n, a n +1 ) 中不为 0,此外始终为0,此外如果对于任何n 有
,则能定义一个函数f(x,y)
![{\displaystyle f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }(g_{n}(x)-g_{n+1}(x))g_{n}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5df58f1bc7a453093d4459b63ad366018d540f7)
这意味着对于每个 ( x, y ),最多有一个非零项。注意到这一点,有
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c2cbf3578f91a7f5d7c593fcba2c13b900516e)
(Rudin 1970) 。
参考
相关书籍
外部链接