在數學的同調代數中,尚努埃爾(Schanuel)引理是一條簡易的基本結果,可用來比較一個模離投射性有多遠。
敘述
設R是環,
- 0 → K → P → M → 0
- 0 → K' → P ' → M → 0
是兩條左R-模的短正合序列,P和P '是投射模,則K ⊕ P '同構於K ' ⊕ P。
證明
定義P ⊕ P '的子模如下,其中φ : P → M,φ' : P ' → M:
![{\displaystyle X=\{(p,q)\in P\oplus P^{\prime }:\phi (p)=\phi ^{\prime }(q)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5c4ed57dddd816830167c23496b9d84897ddcc)
定義映射 π : X → P為自X投射第一個座標至P。φ' 是滿射,所以對任何p ∈ X,都有q ∈ P ' 使得φ(p) = φ'(q)。故有(p,q) ∈ X,得 π (p,q) = p。因此π 是滿射。
考慮π 的核:
由此可知有短正合序列
![{\displaystyle 0\rightarrow K^{\prime }\rightarrow X\rightarrow P\rightarrow 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2f31b77f33639c486f116922239bc34fbd0d05)
因為P是投射的,所以序列分裂,故有X ≅ K ' ⊕ P。
同理可得
![{\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow X\rightarrow P^{\prime }\rightarrow 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94d74d7842165391e025a24674fed3529725533)
因此X ≅ P ' ⊕ K。結合X的兩等價式,結果得證。
長正合序列
以上證明也可推廣至長正合序列。[1]
應用
設
是M的一個投射分解,使得
是投射的,則M的每個投射分解都是如此。
證明
設
是另一個投射分解。考慮短正合序列
![{\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {ker} (f_{0})\rightarrow P_{0}\rightarrow M\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4cff0eaaab096479c8bb2dc7b10627984273c1)
![{\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {ker} (g_{0})\rightarrow Q_{0}\rightarrow M\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1c0b91e979962e811f1c477a433b4e64effdfa)
從尚努埃爾引理可知
,而從假設知
是投射的,故
是投射模的直和項,因此也是投射的。
起源
斯蒂芬·尚努埃爾在歐文·卡普蘭斯基1958年秋季學期芝加哥大學的同調代數課上發現這個證法。卡普蘭斯基在書上說:他在課上給出了一個模的投射分解的一步,並指出若在一個分解中這個核是投射的,則在所有分解中都是投射的,又說雖然命題簡單,但須過些時候才能證。尚努埃爾回應說這容易證,於是描述了大概,就是後來以其命名的引理。他們討論了幾天後,得到了完整的證明。[2]
參考
- ^ Lam, T.Y. Lectures on Modules and Rings. Springer. 1999. ISBN 0-387-98428-3. pgs. 165–167.
- ^ Kaplansky, Irving. Fields and Rings. University Of Chicago Press. 1972. ISBN 0-226-42451-0. pgs. 165–168.