在數學中,微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射,使得此映射及其逆映射均為光滑(即無窮可微)的。
對給定的兩個微分流形 M , N {\displaystyle M,N} ,若對光滑映射 f : M → → --> N {\displaystyle f:M\to N} ,存在光滑映射 g : N → → --> M {\displaystyle g:N\to M} 使得 f ∘ ∘ --> g = i d N {\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{N}} 、 g ∘ ∘ --> f = i d M {\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{M}} ,則稱 f {\displaystyle f} 為微分同胚。此時逆映射 g {\displaystyle g} 是唯一的。
若在微分流形 M , N {\displaystyle M,N} 之間存在微分同胚,則稱 M {\displaystyle M} 與 N {\displaystyle N} 是微分同胚的,通常記為 M ≃ ≃ --> N {\displaystyle M\simeq N} 。
對於 C r {\displaystyle C^{r}} 流形,可採同樣辦法定義 C r {\displaystyle C^{r}} 微分同胚之概念。
考慮
此微分同胚可由下述映射給出:
對維度 ≤ ≤ --> 3 {\displaystyle \leq 3} 的流形,可證明同胚的流形必為微分同胚;換言之,此時流形上的拓撲結構確定了微分結構。在四維以上則存在反例,最早的構造是約翰·米爾諾的七維怪球,米爾諾更證明了七維球上恰有28種微分流形結構,它們都可表成某個在 S 4 {\displaystyle S^{4}} 上的 S 3 {\displaystyle S^{3}} -叢。在1980年代,西蒙·唐納森與邁克爾·哈特利·弗里德曼的證明在 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 上有不可數個相異的微分結構。