無差拍控制(dead-beat control)是離散控制理論的一種問題,是針對特定系統,要找到可以在最短時間內讓輸出進入穩態的輸入信號。
可以證明在N階的線性系統中,若系統為零可控(null controllable,是指可以利用特定輸入使狀態變為0),其最少的步數不會超過N步(依初始條件而不同)。 解法是用反饋的方式,使閉迴路轉移函數的極點都在z平面的原點(有關z平面及轉移函數的細節,請參考Z轉換)。因此線性系統的例子很容易找到解。因此一個極點都在z平面的閉迴路轉移函數有時也會稱為無差拍轉移函數(dead beat transfer function)。
非線性系統的無差拍控制是一個仍在研究中的問題(可以參考以下Nesic的參考資料)。
無差拍控制器因為其動態特性良好,常用在過程控制中。此控制器是典型的回控控制器,其控制增益是依系統階數及正規化自然頻率的表來設定。
無差拍控制的特性如下:
- 零穩態誤差(Steady-state error)
- 最短上昇時間
- 最短安定時間
- 過沖量/下衝量小於2%
- 非常高的控制信號輸出
用法
無差拍控制中唯一的控制參數是取樣週期h。因為誤差在N個取樣週期後會變成0,因此其安定時間不會大於Nh。
當取樣週期減少時,控制信號的大小會明顯變大。因此,在進行無差拍控制時,很重要的是小心的選擇取樣週期[1]。
再者,因為控制器是用消去受控體的零點和極點來進行,因此需準確的知道零點和極點,否則,就有可能沒有無差拍特性[2]。
遞移函數
假設受控體的遞移函數如下
![{\displaystyle \mathbf {G} (z)={\frac {B(z)}{A(z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be392a58427e1929c714a398143a1b5bed32fd1f)
其中
![{\displaystyle A(z)=a_{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots a_{m}z^{-m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f377c94b51d78b48eeebf3d3fb37fab4133ec83a)
![{\displaystyle B(z)=b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots b_{n}z^{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336a9d9682dacba5949385e7453aad37f79c884a)
無差拍控制器的遞移函數是[3]:
![{\displaystyle \mathbf {C} (z)={\frac {A(z)/B(1)}{z^{d}-B(z)/B(1)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961e2a4d153fe01d85068f79a040c4e22f0c44f3)
其中d是要實現此控制器,需要有的最小系統延遲。例如有二個極點的系統,從控制器到輸出至少需要2步的延遲,因此d = 2。
閉迴路遞減函數為:
![{\displaystyle \mathbf {L} (z)={\frac {B(z)/B(1)}{z^{d}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b3e019bb59672fbc841416b56816f88047d518)
所有的極點都在原點。
參考資料
- Kailath, Thomas: Linear Systems, Prentice Hall, 1980, ISBN 9780135369616
- [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆) Nesic et al.:Output dead beat control for a class of planar polynomial systems
- Dorf, Richard C.; Bishop, Robert H. Modern Control Systems. Upper Saddle River, NJ 07458: Pearson Prentice Hall. 2005: 617–619.