舒勃尼科夫-德哈斯效应 (Shubnikov–de Haas effect、SdH)是指在低温 和强磁场 条件下,材料的电导率 随磁场变化出现振荡的现象,最初由万德尔·德哈斯 和列夫·舒勃尼科夫 于1930年发表[ 1] 。舒勃尼科夫-德哈斯效应是物质内在的量子力学 性质在宏观 上的一种表现。舒勃尼科夫-德哈斯效应也常常被用于确定载流子 的有效质量 。
概述
在低温和强磁场条件下,位于导带 的自由电子 的运动模式类似于简谐振子 。若磁场强度发生变化,简谐振子的振荡周期也会随之变化,产生的能谱由朗道能级 构成。这些朗道能级会进一步分裂成塞曼能级 。每一朗道能级内的共振能量、塞曼能量和电子态的数量(eB/h)都会随磁场的增大而增大。当某一能级高于费米能 ,位于此能级的电子开始自由流动,造成材料的电输运性质和热力学 性质产生周期性的振荡,其中电导率的振荡即为舒勃尼科夫-德哈斯效应。
理论
二维电子气中的边缘通道(edge channels)
对于盒中 的二维电子气体 ,在有磁场的条件下,系统的能量特征值 可用朗道能级来描述。如右图所示,每一能级在中央区域都较为平坦,而在边缘区域都向上弯曲。
若费米能 EF 位于图一所示的两个朗道能级之间(红色虚线)[ 注 1] ,电子在材料内部的散射只发生在边缘部分。对应的电子态常被称作“边缘通道(edge channels)”。
Landauer-Büttiker 理论(弹道输运 )可用于描述此类电子输运。运用 Landauer-Büttiker 理论可计算多个接触点 1 ≤ m ≤ n 之间的净电流 Im 。若化学势 为 µm ,则
I
m
=
2
e
⋅ ⋅ -->
i
h
(
μ μ -->
m
− − -->
∑ ∑ -->
l
≠ ≠ -->
m
T
m
l
μ μ -->
l
)
{\displaystyle I_{m}=2{\frac {e\cdot i}{h}}\left(\mu _{m}-\sum _{l\neq m}T_{ml}\mu _{l}\right)}
1
其中 e 为基本电荷 ,h 为普朗克常数 ,i 表示边缘通道的数量[ 注 2] 。矩阵 Tml 表示从一个不为 m 的接触点 l 传输一个电子到接触点 m 的概率。净电流 Im 在 (1 ) 式中由进入接触点 m 的电流和从接触点 m 传导至所有其他接触点 l ≠ m 的电流构成。
应用
舒勃尼科夫-德哈斯效应可以用于确定样品的二维电子密度。对于给定的磁通量
Φ Φ -->
{\displaystyle \Phi }
,每一朗道能级上自旋 S = 1/2 的电子的极大值 D 为:
D
=
(
2
S
+
1
)
Φ Φ -->
Φ Φ -->
0
=
2
Φ Φ -->
Φ Φ -->
0
{\displaystyle D=\left(2S+1\right){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}=2{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}}
2
代入磁通量量子 表达式 Φ0 = h ⁄ 2e ,以及磁通量 Φ = B ∙ A,式 (2 ) 化为:
D
=
2
e
⋅ ⋅ -->
B
⋅ ⋅ -->
A
h
{\displaystyle D=2{\frac {e\cdot B\cdot A}{h}}}
令 N 为单位面积上状态数量的最大值,则 D = N ∙ A 且
N
=
2
e
⋅ ⋅ -->
B
h
{\displaystyle N=2{\frac {e\cdot B}{h}}}
对于给定的 i 个边缘通道,且每一个边缘通道都在单位面积内被 N 个电子填满,单位面积内的总电子数 n 为
n
=
i
⋅ ⋅ -->
N
=
2
⋅ ⋅ -->
i
⋅ ⋅ -->
e
⋅ ⋅ -->
B
h
{\displaystyle n=i\cdot N=2\cdot i\cdot {\frac {e\cdot B}{h}}}
单位面积内的总电子数 n 常被当作样品的电子密度。另外,
B
i
=
n
⋅ ⋅ -->
h
2
⋅ ⋅ -->
e
⋅ ⋅ -->
i
{\displaystyle B_{i}={\frac {n\cdot h}{2\cdot e\cdot i}}}
高掺杂Bi2 Se3 中测量到的舒勃尼科夫-德哈斯最小值点关于其对应的磁通量密度的倒数 1/Bi 呈线性相关。
1
B
i
=
2
⋅ ⋅ -->
e
⋅ ⋅ -->
i
n
⋅ ⋅ -->
h
{\displaystyle {\frac {1}{B_{i}}}={\frac {2\cdot e\cdot i}{n\cdot h}}}
Δ Δ -->
(
1
B
)
=
1
B
i
+
1
− − -->
1
B
i
=
2
⋅ ⋅ -->
e
n
⋅ ⋅ -->
h
{\displaystyle \Delta \left({\frac {1}{B}}\right)={\frac {1}{B_{i+1}}}-{\frac {1}{B_{i}}}={\frac {2\cdot e}{n\cdot h}}}
3
对于给定的样品,式 (3 ) 右侧的物理量均为常数。若绘制边缘通道 i 关于其对应的磁通量密度的倒数 1/Bi ,可得一条斜率为
2
⋅ ⋅ -->
e
n
⋅ ⋅ -->
h
{\displaystyle {\frac {2\cdot e}{n\cdot h}}}
的直线,由斜率可计算样品的电子密度 n[ 注 3] 。例如,右图中测量了高掺杂 的Bi2 Se3 的舒勃尼科夫-德哈斯效应,并对得到的数据点进行线性拟合 [ 2] 。根据所得的斜率 0.00618/T,可计算此样品的电子密度
n
=
2
⋅ ⋅ -->
e
0.00618
/
T
⋅ ⋅ -->
h
≈ ≈ -->
7.82
⋅ ⋅ -->
10
14
/
m
2
{\displaystyle n={\frac {2\cdot e}{0.00618/\mathrm {T} \cdot h}}\approx 7.82\cdot 10^{14}/\mathrm {m} ^{2}}
另外,通过施加不同方向的磁场并测量振荡周期,舒勃尼科夫-德哈斯效应还能用于构建样品电子费米面 的图像。
相关物理效应
注释
^ 由于样品中的缺陷会影响费米能 EF 的位置,此处严格来讲只是一个近似。之后的推导过程也完全忽略缺陷的影响。
^ 边缘通道的数量 i 和填充因子(filling factor)ν = 2 ∙ i 的关系密切。因子2缘于自旋简并。
^ 式 (3 ) 所用的是国际单位制 。在厘米-克-秒制 中,
Δ Δ -->
(
1
B
)
=
2
⋅ ⋅ -->
e
n
⋅ ⋅ -->
h
⋅ ⋅ -->
c
{\displaystyle \Delta \left({\frac {1}{B}}\right)={\frac {2\cdot e}{n\cdot h\cdot c}}}
。
参考资料
^ SCHUBNIKOW, L.; DE HAAS, W. J. A New Phenomenon in the Change of Resistance in a Magnetic Field of Single Crystals of Bismuth. Nature. 1930-10-04, 126 (3179): 500–500. doi:10.1038/126500a0 .
^ Cao, Helin; Tian, Jifa; Miotkowski, Ireneusz; Shen, Tian; Hu, Jiuning; Qiao, Shan; Chen, Yong P. Quantized Hall Effect and Shubnikov–de Haas Oscillations in Highly Doped Bi2Se3: Evidence for Layered Transport of Bulk Carriers. Physical Review Letters . 2012, 108 : 216803. Bibcode:2012PhRvL.108u6803C . PMID 23003290 . doi:10.1103/PhysRevLett.108.216803 .
延伸阅读
Schubnikow, L.; de Haas, W.J. Magnetische Widerstandsvergrösserung in Einkristallen von Wismut bei tiefen Temperaturen [Magnetic resistance increase in single crystals of bismuth at low temperatures] (PDF) . Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science. 1930, 33 : 130–133 [2018-04-12 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2018-04-13) (德语) .
Schubnikow, L.; de Haas, W.J. Neue Erscheinungen bei der Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Wasserstoff (I) [New phenomena in the change in resistance of bismuth crystals in a magnetic field at the temperature of liquid hydrogen (I)] (PDF) . Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science. 1930, 33 : 363–378 [2018-04-12 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2019-06-05).
Schubnikow, L.; de Haas, W.J. Neue Erscheinungen bei der Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Wasserstoff (II) (PDF) . Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science. 1930, 33 : 418–432 [2018-04-12 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2016-12-26).
Schubnikow, L.; de Haas, W.J. Die Widerstandsänderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Stickstoff [The change in resistance of bismuth crystals in a magnetic field at the temperature of liquid nitrogen] (PDF) . Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science. 1930, 33 : 433–439 [2018-04-12 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2016-12-26).
外部链接