Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

Fungsi kuintik

Grafik polinomial dengan derajat 5, mempunyai tiga akar real dan empat titik kritis.

Dalam aljabar, fungsi kuintik adalah fungsi berbentukdengan merupakan anggota dari lapangan, Anggota tersebut secara umum berupa bilangan rasional, bilangan real ataupun bilangan kompleks, serta bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan sebuah polinomial dengan derajat lima.

Karena mempunyai derajat bernilai ganjil, fungsi kuintik normal tampak mirip seperti fungsi kubik normal saat menggambarkannya, kecuali mempunyai satu buah maksimum lokal dan satu buah minimum lokal tambahan. Turunan dari fungsi kuintik adalah fungsi kuartik.

Dengan menetapkan g(x) = 0, dan mengasumsi bahwa a ≠ 0, akan menghasilkan persamaan kuintik dalam bentuk:

Memecahkan persamaan kuintik dalam bentuk akar adalah masalah utama dalam aljabar pada abad ke-16, ketika menemukan solusi dari persamaan kubik dan persamaan kuartik. Hingga pada setengah abad ke-19, kemustahilan untuk mendapatkan solusi umum dari polinomial tersebut dibuktikan dengan menggunakan teorema Abel–Ruffini.

Mencari akar dari persamaan kuintik

Mencari akar dari polinomial telah menjadi masalah matematika yang menonjol. Persamaan polinomial seperti persamaan linear, persamaan kuadrat, persamaan kubik dan persamaan kuartik selalu dapat diselesaikan dengan menggunakan faktorisasi dan kemudian diubah menjadi akar, tidak peduli apakah akarnya bernilai bilangan rasional atau irasional, bilangan real atau bilangan kompleks, dan ada rumus-rumus yang menghasilkan solusi yang dibutuhkan. Sayangnya, persamaan polinomial seperti persamaan kuintik tidak mempunyai ekspresi akar untuk solusinya atas bilangan rasional. Pernyataan ini dikenal sebagai teorema Abel–Ruffini, yang pertama kali pernyataan tersebut diterbitkan pada tahun 1799, dan buktinya diselesaikan pada tahun 1824. Teorema ini juga berlaku untuk persamaan derajat yang lebih tinggi. Sebagai contoh, akar dari persamaan kuintik x5x + 1 = 0 tidak dapat diubah menjadi ekspresi radikal.

Ada beberapa persamaan kuintik yang dapat diselesaikan dengan menggunakan ekspresi akar. Akan tetapi, solusi tersebut umumnya terlalu rumit untuk digunakan pada praktiknya. Sebagai gantinya, aproksimasi numerik dihitung menggunakan algoritma pencarian akar untuk polinomial.

Persamaan kuintik yang terpecahkan

Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar, dan persamaan tersebut didefinisikan dengan polinomial tersederhanakan, seperti x5x4x + 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x − 1)2. Sebagai contoh, persamaantelah diperlihatkan[1] mempunyai solusi dalam ekspresi akar jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi bilangan bulat atau bernilai ±15, ± 22440, atau ± 2759640. Pada kasus ini, polinomial tersebut dapat disederhanakan.

Penyelesaian persamaan kuintik tersederhanakan disederhanakan secara langung agar membentuk penyelesaian polinomial dengan derajat yang lebih kecil, sehingga yang tersisa hanyalah persamaan kuintik tak tersederhanakan. Karena itu, istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. Kuintik terpecahkan (bahasa Inggris: solvable quintic) adalah polinomial kuintik tak tersederhanakan yang akarnya dapat dinyatakan dalam ekspresi akar.

Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, Évariste Galois mengembangkan teknik yang memunculkan teori grup dan teori Galois. Ketika menerapkan teknik tersebut, Arthur Cayley menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah sebarang persamaan kuintik terselesaikan (dapat diselesaikan).[2] Kriteria tersebut menjelaskan sebagai berikut.[3]

Diberikan persamaan maka transformasi Tschirnhaus x = yb5a, yang menekan persamaan kuintik (dengan kata lain, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan dengan

Kedua persamaan kuintik di atas terselesaikan dengan akar jika dan hanya jika kedua persamaan tersebut dapat difaktorkan dalam persamaan derajat yang lebih rendah dengan koefisien bilangan rasional atau polinomial P2 − 1024zΔ, yang bernama resolven Cayley, mempunyai akar rasional di z, dengandan Hasil Cayley memungkinkan seseorang untuk menguji apakah persamaan kuintik tersebut terpecahkan. Jika demikian, maka mencari akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mencari akar dalam ekspresi radikal yang melibatkan koefisien dari persamaan kuintik dan akar rasional dari resolven Cayley.

Pada tahun 1888, George Paxton Young[4] menjelaskan cara menyelesaikan suatu persamaan kuintik terselesaikan tanpa menyediakan rumus yang eksplisit. Rumus tersebut ditulis dalam tiga halaman oleh Daniel Lazard.[5]

Solusi selain dalam ekspresi akar

Sekitar tahun 1835, Jerrard memperlihatkan bahwa persamaan kuintik dapat diselesaikan dengan menggunakan ultraradikal (atau juga dikenal sebagai radikal Bring), sebuah akar real dari persamaan t5 + ta = 0 untuk bilangan real a. Pada tahun 1858, Charles Hermite memperlihatkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam fungsi theta Jacobi dan fungsi modular eliptik iringannya, dengan menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal dalam menyelesaikan persamaan kubik melalui fungsi trigonometri. Di sekitar waktu yang sama, Leopold Kronecker dan Francesco Brioschi menggunakan teori grup dan mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk memperoleh hasil Hermite. Felix Klein kemudian menemukan metode yang mengaitkan simetri dari ikosahedron, teori Galois, dan fungsi modular eliptik yang dipakai dalam solusi Hermite; menjelaskan alasan fungsi tersebut harus dipakai, dan mengembangkan solusinya sendiri dengan menggunakan fungsi hipergeometrik diperumum.[6] Fenomena yang serupa terjadi dalam persamaan berderajat 7 (atau persamaan septik) dan persamaan berderajat 11, saat Klein mempelajarinya.

Penerapan persamaan kuintik dalam mekanika benda angkasa

Memecahkan lokasi titik Lagrangian dari orbit astronomi dengan massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.

Lebih tepatnya, lokasi dan adalah solusi untuk persamaan berikut, dengan gaya gravitasi dua objek bermassa terhadap objek ketiga (sebagai contoh, Matahari dan Bumi terhadap satelit seperti Gaia di dan SOHO di ) memberikan gaya sentripetal satelit yang diperlukan untuk tetap berada dalam orbit sinkron dengan Bumi di sekitar Matahari:

Tanda ± mewakili masing-masing dan ; adalah konstanta gravitasi, adalah kecepatan sudut, adalah jarak satelit ke Bumi, jarak Matahari ke Bumi (yaitu, sumbu semi-mayor orbit bumi), serta , , dan adalah massa satelit, Bumi, dan Matahari.

Menggunakan Hukum Ketiga Kepler dan menyusun ulang semua partisipan persamaan menghasilkan kuintik:

dengan , , , (jadi untuk ), , .

Menyelesaikan kedua hasil kuintik ini akan menghasilkan r = 1.501 x 109 m untuk dan r = 1.491 x 109 m untuk . Titik Lagrangian Matahari–Bumi dan biasanya menggunakan jarak sejauh 1,5 juta km dari Bumi.

Jika massa dari objek yang lebih kecil ( jauh di bawah massa objek yang lebih besar (), maka persamaan kuintiknya dapat direduksi, serta dan akan kurang lebih berada pada radius bola Hill, sesuai dengan:

yang juga akan menghasilkan r = 1.5 x 109 m untuk satelit pada dan dalam sistem Matahari-Bumi.

Lihat pula

Catatan

  1. ^ Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard form, the golden section, and square Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf Diarsipkan 2023-04-17 di Wayback Machine.
  2. ^ A. Cayley. "On a new auxiliary equation in the theory of equation of the fifth order", Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1861).
  3. ^ Formulasi hasil Cayley ini diambil dari Lazard (2004) paper.
  4. ^ George Paxton Young. Solvable Quintics Equations with Commensurable Coefficients American Journal of Mathematics 10 (1888), 99–130 at JSTOR Diarsipkan 2023-07-26 di Wayback Machine.
  5. ^ (Lazard 2004, hlm. 207)
  6. ^ (Klein 1888); a modern exposition is given in (Tóth 2002, Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, p. 66)

Referensi

  • Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Œuvres de Charles Hermite, t.2, pp. 5–21, Gauthier-Villars, 1908.
  • Felix Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, trans. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. ISBN 0-486-49528-0.
  • Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. XLVI, 1858 (1), pp. 1150–1152.
  • Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics x5 + ax + b, American Mathematical Monthly, Vol. 101 (1994), pp. 986–992.
  • Ian Stewart, Galois Theory 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1. Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
  • Jörg Bewersdorff, Galois theory for beginners: A historical perspective, American Mathematical Society, 2006. ISBN 0-8218-3817-2. Chapter 8 (The solution of equations of the fifth degree di Wayback Machine (diarsipkan tanggal 31 March 2010)) gives a description of the solution of solvable quintics x5 + cx + d.
  • Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 3, September 2003, pp. 90–94.
  • Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 1, March 2003, pp. 1–3.
  • Lazard, Daniel (2004). "Solving quintics in radicals". Dalam Olav Arnfinn Laudal; Ragni Piene. The Legacy of Niels Henrik Abel. Berlin. hlm. 207–225. ISBN 3-540-43826-2. Diarsipkan dari versi asli tanggal January 6, 2005. 
  • Tóth, Gábor (2002), Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli 

Pranala luar

Read other articles:

Come leggere il tassoboxAntilopini Antilope cervicapra Classificazione scientifica Dominio Eukaryota Regno Animalia Phylum quadribiformi Classe Mammalia Ordine Artiodactyla Famiglia Bovidae Sottofamiglia AntilopinaeJohn Edward Gray, 1821 Generi Ammodorcas Antidorcas Antilope Dorcatragus Eudorcas Gazella Litocranius Madoqua Nanger Neotragus Oreotragus Ourebia Procapra Raphicerus Saiga Gli antilopini (Antilopinae Gray, 1821) costituiscono una sottofamiglia di bovidi (mammiferi artiodattili), rappr…

Thomas a Becket beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Thomas a Becket (disambiguation). SaintThomas BecketUskup CanterburyPenunjukan24 Mei 1162Awal masa jabatan3 Juni 1162Masa jabatan berakhir29 Desember 1170PendahuluTheobald of BecPenerusRichard of DoverImamatTahbisan imam1154 (deacon)2 Juni 1162 (priest)Tahbisan uskup3 Juni 1162oleh Henry of BloisInformasi pribadiLahir21 Desember c. 1119Cheapside, London, Kingdom of EnglandMeninggal29 Desember 1170 (age 50 or 51)Katedral Cant…

هدية عباس مناصب رئيس مجلس الشعب السوري[1][2]   في المنصب6 يونيو 2016  – 20 يوليو 2017  محمد جهاد اللحام  نجدة إسماعيل أنزور  معلومات شخصية الميلاد سنة 1958[3]  دير الزور  الوفاة 13 نوفمبر 2021 (62–63 سنة)  دير الزور[4]  سبب الوفاة نوبة قلبية[4]  مو

Нереализованный проект (1972—1977 гг.) федеративного арабского государства в Северной АфрикеАрабская Исламская Республикаараб. الجمهورية العربية الإسلامية ‎ Флаг, который предполагалось использовать Проект Арабской Исламской Республики на карте Северной Африки ← ←&…

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Маріо. Маріо Дюмонфр. Mario Dumont Народився 19 травня 1970(1970-05-19) (53 роки)Cacounad, Rivière-du-Loupd, Ба-Сен-Лоран, Квебек, КанадаГромадянство Квебек,  КанадаНаціональність квебекуаДіяльність телеведучий, політикAlma mater Університет Кон

American country music radio program (1924–1968) Ad National Barn Dance, broadcast by WLS-AM in Chicago, Illinois starting in 1924, was one of the first American country music radio programs and a direct precursor of the Grand Ole Opry.[1] National Barn Dance also set the stage for other similar programs, in part because the clear-channel signal of WLS could be received throughout most of the Midwest and even beyond in the late evening and nighttime hours, making much of the United Sta…

Air forces of the People's Liberation Army's Central Theater Command Central Theater Command Air Force中国人民解放军中部战区空军Emblem of the People's Liberation Army Air ForceActive2016–presentCountry People's Republic of ChinaAllegiance Chinese Communist PartyBranchPeople's Liberation Army Air ForceGarrison/HQBeijingMotto(s)为人民服务Serve the PeopleColors   Red and BlueMarchMarch of the Chinese Air ForceCommandersCurrentcommanderHan Shengyan [zh]…

A Christmas Carol (film 2009)Poster layar lebarSutradara Robert Zemeckis Produser Melissa Cobb Ditulis oleh Robert Zemeckis Charles Dickens BerdasarkanA Christmas Carol oleh Charles DickensPemeranJim CarreyColin FirthGary OldmanPenata musikAlan SilvestriSinematograferRobert PresleyPenyuntingJeremiah O'DriscollPerusahaanproduksiWalt Disney PicturesImageMovers DigitalDistributorWalt Disney PicturesTanggal rilisAmerika Utara:6 November 2009Britania Raya:3 November 2009Indonesia:18 Novemb…

CEMSNama sebelumnyaCommunity of European Management Schools (and International Companies)JenisJaringanDidirikan1988KetuaProfessor Gregory Whitwell, Dean of the University of Sydney Business SchoolDirektur EksekutifNicole de FontainesStaf akademikGabungan dari 34 sekolahJumlah mahasiswa1.300+ dari 80+ negara (kelompok 2019–20)Lokasi34 negara di 6 benuaKampusBanyak situsAlumni15,000+ (108 negara, bekerja di lebih dari 75 negara)Situs webwww.cems.org Global Alliance in Management Education atau C…

Ukrainian-American dance champion, choreographer, and instructor In this name that follows Eastern Slavic naming conventions, the patronymic is Aleksandrovich and the family name is Chmerkovskiy. Maksim ChmerkovskiyМаксим ЧмерковськийChmerkovskiy in 2007BornMaksim Aleksandrovich Chmerkovskiy (1980-01-17) January 17, 1980 (age 43)Odesa, Ukrainian SSR, Soviet UnionOccupation(s)Dancer, choreographer, instructorKnown forDancing with the Stars (2006–present)Spouse Pe…

SMP Negeri 30 DepokBenteng Gelatik SchoolInformasiDidirikan08 Juli 2021JenisNegeriAkreditasiANomor Statistik Sekolah20102112630Nomor Pokok Sekolah Nasional70011262Kepala SekolahAtiyatul Farida, S.PdJumlah kelasVII: 10, VIII: 10, IX: 10Rentang kelasVII, VIII, IXKurikulumKurikulum 2013StatusSekolah Standar NasionalAlamatLokasiJalan Gelatik Raya №6, Depok Jaya, Kec. Pancoran Mas, Depok, Jawa Barat, IndonesiaTel./Faks.(021) 77838482Situs webSitus ResmiSurelsmpn30depok@gmail.comMoto …

Debate about whether and under which circumstances should a fetus be allowed to be aborted The abortion debate is a longstanding, ongoing controversy that touches on the moral, legal, medical, and religious aspects of induced abortion.[1] In English-speaking countries, the debate most visibly polarizes around adherents of the self-described pro-choice and pro-life movements. Pro-choice emphasizes a woman's right to bodily autonomy, while the pro-life position argues that a fetus is a hum…

Defunct flying squadron of the Royal Air Force No. 208 Squadron RAFActiveRoyal Naval Air Service26 October 1916 – 1 April 1918Royal Air Force1 April 1918 – 7 November 1919 1 February 1920 - 30 March 1959 1 April 1959 - 10 September 1971 1 March 1974 - 31 March 1994 1 April 1994 -13 April 2016Country United KingdomBranch Royal Air ForceRoleAdvanced flying training Instructor training Conversion trainingBaseRAF ValleyNickname(s)The Flying ShuftisMotto(s)Vigilant[1]AircraftBAE Systems H…

1972 film by Federico Fellini This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Roma 1972 film – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2017) (Learn how and when to remove this template message) RomaTheatrical release posterDirected byFederico FelliniScreenplay by Federico Fellini Bernardino Zapp…

كرد محمد باشا (بالتركية العثمانية: كرد محمد پاشا)‏  معلومات شخصية تاريخ الوفاة العقد 1600  مواطنة الدولة العثمانية  مناصب والي مصر   في المنصب1594  – 1596  حافظ أحمد باشا الخادم  أمير محمد باشا  الحياة العملية المهنة سياسي  اللغات العثمانية  تعديل مصدري - ت…

MMA event in 2021 UFC Fight Night: Rozenstruik vs. SakaiThe poster for UFC Fight Night: Rozenstruik vs. SakaiInformationPromotionUltimate Fighting ChampionshipDateJune 5, 2021VenueUFC ApexCityEnterprise, Nevada, United StatesAttendanceNone (behind closed doors)[1]Event chronology UFC Fight Night: Font vs. Garbrandt UFC Fight Night: Rozenstruik vs. Sakai UFC 263: Adesanya vs. Vettori 2 UFC Fight Night: Rozenstruik vs. Sakai (also known as UFC Fight Night 189, UFC on ESPN+ 47 and UFC Vegas…

Swedish football club This article is about IFK Norrköping's men's football department. For the women's team, see IFK Norrköping (women). Football clubIFK NorrköpingFull nameIdrottsföreningenKamraterna NorrköpingNickname(s)IFK Peking (Beijing)Snoka Kamraterna (The comrades) VitaBlå (WhiteBlue)Founded29 May 1897; 126 years ago (1897-05-29)StadiumPlatinumCars Arena, Norrköping (Östgötaporten, Nya Parken, Idrottsparken)Capacity17,234ChairmanSakarias MårdhManagerGlen Ridd…

Ảnh 1.1 Ứng suất trong vật liệu biến dạng liên tục. Ứng suấtKý hiệu thường gặpσĐơn vị SIpascalĐơn vị khácpsi, barTrong hệ SIPa = kg⋅m−1⋅s−2 Ảnh 1.2 ứng suất kéo trên một mẫu hình lập phương Ảnh 1.4 Ứng suất kéo trong thanh trụ. ứng suất hay lực phân bố trên một mặt cắt của thanh trụ không phải là một đơn vị. Ngoài ra, ứng suất trung bình τ a v g {\displaystyle \tau _{\mat…

Municipality in Nordeste, BrazilItapecuru MirimMunicipalityCountry BrazilRegionNordesteStateMaranhãoMesoregionNorte MaranhensePopulation (2020 [1]) • Total68,723Time zoneUTC -3 Itapecuru Mirim is a municipality in the state of Maranhão in the Northeast region of Brazil.[2][3][4][5] The municipality contains part of the 1,535,310 hectares (3,793,800 acres) Upaon-Açu/Miritiba/Alto Preguiças Environmental Protection Area, created in …

Team sport This article is about the indoor team sport. For the beach team sport, see Beach volleyball. For other uses, see Volleyball (disambiguation). See also: Throwball and Newcomb ball This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Volleyball – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2015) …

Kembali kehalaman sebelumnya